2023年山东省青岛二十六中中考数学三模试卷（含解析）

2023年山东省青岛二十六中中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  如图所示几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某射击爱好者的次射击成绩单位：环依次为：，，，，，，，，，，则下列结论正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

5.  如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，再绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  如图，正方形纸片的边长为，、分别是、边上的点，连接，把正方形纸片沿折叠，使点落在上的一点，若，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：
；
；
；
；
，
其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  计算：______．

10.  已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是        ．

11.  年政府工作报告中指出：我国有亿在校学生，要坚持把教育这个关乎千家万户和中华民族未来的大事办好．将亿用科学记数法表示应为______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，，，点坐标是，若反比例函数的图象经过点，则的值为______ ．

13.  如图所示，，，将扇形绕边的中点顺时针旋转得到扇形，弧交于点，则图中阴影部分的面积为______ ．

14.  如图，在正方形纸片中，对角线、交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交、于点、，连接下列结论；；；；四边形是菱形．其中正确的结论有______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
已知：．
求作：一个圆，使圆心到，距离相等，并且与线段相切，切点为线段中点．

16.  本小题分
解不等式组：
化简：

17.  本小题分
在学习“轴对称现象”内容时，老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明利用手中的一副三角尺和一个量角器如图所示进行探究．
小明在这三件文具中任取一件，结果是轴对称图形的概率是______；取三件中任意一件的可能性相同
小明发现在、两把三角尺中各选一个角拼在一起无重叠无缝隙会得到一个更大的角，若每个角选取的可能性相同请用画树状图或列表的方法说明拼成的角是钝角的概率是多少．
 

18.  本小题分
年月日土耳其发生级地震，牵动世界各国人民的心为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩单位：分整理成：，：，：，：四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：
被抽取学生的测试成绩的频数表

根据以上信息，解答下列问题：
填空：        ，        ；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在        等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数；
如果分以上含分为优秀，请估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数．

19.  本小题分
如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为测得在点的仰角，测得在点的仰角求银幕的高度参考数据：，，，，，
 

20.  本小题分
对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整．

【作图】列表

其中， ______ ．
描点并连线：请根据上述数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出该函数的图象．
【应用】
平行于轴的一条直线与的图象有两个交点，则的取值范围为______ ．
已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出方程的解为______ ．

21.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．

22.  本小题分

某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量千克与每千克售价元的关系如表所示

       写出每周销售量千克与每千克售价元的函数关系式； 

       由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？

       在的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利元？说明理由．

23.  本小题分
已知：如图，在平行四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于．
求证：≌；
当平行四边形的边或角满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由．

24.  本小题分
发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点米时达到最大高度米，如图所示，现将发石车至于与山坡底部处，山坡上有一点，距离的水平距离为米，垂直高度米，是高度为米的防御墙．
求石块运行的函数关系式；
计算说明石块能否飞越防御墙；
石块飞行时与坡面之间的最大距离是多少？
如果发石车想恰好击中点，那么发石车应向后平移多远？
 

25.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是；同时，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，当一个点到达终点，另一个点立即停止运动连接，，，设运动时间为，解答下列问题：
当为何值时，？
设的面积为，求与之间的函数关系式；
连接，是否存在某一时刻，使得平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
利用绝对值的定义进行解答即可．
本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：第个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
第个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
第个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
第个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
综上，只有第个图形符合题意，
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形、矩形、正方形、等腰梯形、圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看是长方形，由几何体上边半圆凹槽底边看不见用虚线表示是．

故选：．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，把握好看的方向以及什么时候用虚线，什么时候用实线是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、出现了次，出现的次数最多，该组成绩的众数是，故本选项不符合题意；
B、该组成绩的中位数是，故本选项不符合题意；
C、该组成绩，故本选项符合题意；
D、该组成绩数据的方差，故本选项不符合题意；
故选：．
根据众数、中位数、平均数和方差的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义，解题的关键是正确理解各概念的含义．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，得到，求出，即可求解．
【解答】

解：连接．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．

6.【答案】 

【解析】解：以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的倍，，
点的对应点的坐标为，即，
绕原点顺时针旋转得到，则变换后的点的对应点的坐标为，
故选：．
根据位似变换的性质求出位似变换后点的对应点的坐标，再根据旋转变换的性质求出旋转变换后的点的对应点的坐标．
本题考查的是位似变换的性质、旋转变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似图形的概念、旋转变换的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形为正方形，
，，
，
，
由折叠及轴对称的性质可知，≌，垂直平分，
，，
，
又，
，
在与中
，
≌，
，，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠及轴对称的性质可知，≌，垂直平分，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：对称轴在轴的右侧，
，
由图象可知：，
，
故不正确；
，
，
，
故不正确；
由对称知，当时，函数值小于，即，
故不正确；
，，
，
，即，
故正确；
当时，值最大．
，
故，即，
故正确．
故正确．
故选：．
由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：一次函数与反比例函数有交点，
方程有实数根，
整理，得，
，
解得，
，

故答案为：．
由于一次函数与反比例函数有交点，则可知方程有实数根，将方程变形为，利用判别式即可求出的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了根的判别式．
 

11.【答案】 

【解析】解：亿．
故答案是：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于，

，
，
，
，
，
∽，
，
设，则，，
，，
，
，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
过点作于，先利用已知证明三角形相似，再利用相似三角形性质求出点的坐标，即可求解．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，同角的余角相等等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质求出点坐标是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，，延长交于
由题可知，四边形是正方形，
，
在中，，，
，
在正方形中的阴影部分面积为
，


．
故答案为：．

将阴影部分转化成，作出辅助线，分别求出三个部分的面积进行求解即可．
此题考查圆中阴影部分面积，解题关键是将不规则的图形面积转化为规则的图形面积的和差，再进行计算．
 

14.【答案】 

【解析】解：折叠正方形纸片，使落在上，
，故正确；
设，则，，
，
，故错误；
，
，
，
，
，故正确；
，
，
且，，
，
，故正确；
，
且，，
，
四边形是菱形，故正确；
故答案为：．
根据折叠正方形纸片，使落在上，则，故正确；设，则，，则，可判断错误；用表示出和的长，即可判断正确；因为，，可得出，即可判断正确；因为，且，，则有，则可判断正确．
本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定，三角函数等知识，关键是熟记正方形的性质，并将正方形的性质运用到翻折问题中是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图，即为所求作．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

16.【答案】解：，
由不等式，得
，
由不等式，得
，
故原不等式组的解集是；




． 

【解析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题；
根据分式的减法和乘法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：结果是轴对称图形的概率是，
故答案为：；

设角为，，，分别为，，，，，；
画树状图如图所示，

一共有种结果，每种结果出现的可能性是相同的，而其中可以拼成的这个角是钝角的结果有种，
这个角是钝角的概率是．
找到沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形即可；
根据概率公式计算即可解答．
此题为轴对称图形与概率的综合应用，考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】     

【解析】解：抽取的样本容量为：，
故；
；
故答案为：；；
此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在等级，
此次被抽取学生的测试成绩的平均数为：分；
故答案为：；
人，
答：估计全校名学生中此次测试成绩优秀的学生人数大约为人．
用等级的人数除以即可得出样本容量，再用的频数除以样本容量可得的值；用样本容量减去其它等级的频数可得的值；
根据中位数的定义以及平均数的计算方法解答即可；
用全校人数乘样本中分以上含分所占百分比即可．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：延长、交于、，
由题意知，，
在中，，
，
即，
在中，，
，
即，
，，
，
，
，

解得：，
．
答：银幕的高度约为． 

【解析】延长、交于、，在中，由三角函数的定义用表示出即，在中，由三角函数的定义用表示出即，根据得到关于的方程，解方程求出即可求出．
本题考查了解直角三角形的应用，仰角的定义，以及三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解决问题的关键．
 

20.【答案】  或  ，， 

【解析】解：作图函数中，
令，则
故答案为：；
函数图象如图所示；


应用如图所示，
当在上方时，即时，与的图象有两个交点；当在上时，即时，与的图象有两个交点；
故答案为：或；

如图所示，两函数的三个交点坐标分别为，，，
的解即为三个交点的横坐标的值，
即，，．
故答案为：，，．
作图将点的横坐标直接代入函数解析式求出纵坐标即可；描点画图即可；
应用两个交点即直线在上方时和上时，直接看图求即可；方程的解即两函数交点的横坐标的值，直接看图判断坐标即可．
本题主要考查了二次函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质、二次函数的图象以及二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是描点画图，根据图象交点直接求解．
 

21.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：由表格中数据可得：，
把代入得：
；

当时，，
解得：，即该种水果每千克售价最多定为元；

设超市销售该种水果每周获利元，
由题意可得：，
解得：
经检验：是原方程的根，
答：超市销售该种水果能到达每周获利元． 

【解析】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出与的函数的关系式是解题关键．
直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
直接利用代入求出答案；
利用进而得出答案．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，分别是，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在与中，，
≌；
解：当时，四边形是正方形，
理由：，
，
是的中点，
，
，
矩形是正方形． 

【解析】根据平行四边形得到，，，根据线段中点的定义得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是矩形，根据全等三角形的判定定理得到结论；
根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设石块运行的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得：，
解析式为：，即；
石块能飞越防御墙，理由如下：
把代入得
，
，
石块能飞越防御墙；
设的解析式为，
把代入得：，
，
的解析式为，
如图，设抛物线上一点，过点作轴，交于点，则，

的长

二次项系数为负，
图象开口向下，有最大值．
当时，．
石块飞行时与坡面之间的最大距离是米．
设向左平移后的解析式为，
把代入解析式，得，
解得，舍．
．
如果发石车想恰好击中点，那么发石车应向后平移米． 

【解析】设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案；
把代入，求得的值，与作比较即可；
用待定系数法求得的解析式为，设抛物线上一点，过点作轴，交于点，则，用含的式子表示出关于的表达式，再利用二次函数的性质可得答案；
设向左平移后的解析式为，把代入解析式求得即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
，
，
，
∽，
，即，
解得；
作于，又，
∽
，
即，
解得，，


；
．

作于，
则当时，平分，
在中，，
，，
∽，
，即，
解得，，
当时，平分．
 

【解析】先利用勾股定理计算的长，然后根据相似直接列方程求解即可；
作出辅助线得到相似三角形，根据相似比列方程可将边长都用表示出来，然后根据面积公式直接列出函数解析式即可；
根据角平分线的性质得到垂线段相等，根据勾股定理可求出的长，然后推论出相似三角形，根据相似比直接列方程求解即可．
本题考查相似三角形和勾股定理，解题关键是通过相似比列出方程进行求解．