第八章　§8.２　第2课时　非线性回归模型作业练习

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第2课时　非线性回归模型1．解　(1)应该选择模型①，因为模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，经验回归方程的预测精度高．(2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得eq \x\to(x)＝eq \f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq \x\to(y)＝eq \f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，eq \i\su(i＝1,5,x)eq \o\al(2,i)＝364－62＝328.eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq \f(1 273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq \f(206.4,68.8)＝3，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))eq \x\to(x)＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.②把x＝18代入①中所求经验回归方程，得eq \o(y,\s\up6(^))＝3×18＋8.04＝62.04(万元)，故预测值为62.04万元．2．解　(1)根据散点图知，开始的点在某条直线附近，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此y＝c＋dln x更适合作为y关于x的回归模型．(2)因为w＝ln x，所以y＝c＋dln x，即y＝c＋dw，eq \x\to(y)＝eq \f(\i\su(i＝1,20,y)i,20)＝eq \f(102.4,20)＝5.12，eq \x\to(w)＝eq \f(\i\su(i＝1,20,w)i,20)＝eq \f(52,20)＝2.6，eq \o(d,\s\up6(^))＝eq \f(272.1－20×5.12×2.6,137－20×2.62)≈3.26，eq \o(c,\s\up6(^))＝5.12－3.26×2.6≈－3.36，所以eq \o(y,\s\up6(^))＝3.26w－3.36，即eq \o(y,\s\up6(^))＝3.26ln x－3.36.(3)当x＝e2时，eq \o(y,\s\up6(^))＝3.26ln e2－3.36＝3.16(千斤)．所以大棚蔬菜亩产量约为3.16千斤．3．解　(1)由eq \i\su(i＝1,10,t)i＝22.00，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝230，得eq \x\to(t)＝2.2，eq \x\to(y)＝23，所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,10, )(\a\vs4\al\co1(ti－\x\to(t)))(\a\vs4\al\co1(yi－\x\to(y))),\i\su(i＝1,10, )(\a\vs4\al\co1(ti－\x\to(t)))2)＝eq \f(\i\su(i＝1,10,t)iyi－10\x\to(t) \x\to(y),\i\su(i＝1,10,t)\o\al(2,i)－10\x\to(t)2)＝eq \f(569－10×2.2×23,50.92－10×2.2×2.2)＝25，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^))eq \x\to(t)＝23－25×2.2＝－32，所以模型②中，y关于x的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝25ln x－32.(2)由表中的数据，有102.28>36.19，则1－eq \f(102.28,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2)<1－eq \f(36.19,\i\su(i＝1,10, )yi－\x\to(y)2)，所以模型①的R2小于模型②的R2，说明回归模型②刻画的拟合效果更好；当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为eq \o(y,\s\up6(^))＝25ln 20－32＝25(2ln 2＋ln 5)－32≈25(2×0.693 1＋1.609 4)－32＝42.89(万元)．4．解　(1)由题可得eq \x\to(x)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋3＋4＋5＋6))＝3.5，eq \x\to(y)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12))＝4，eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6＋6×12＝121，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，所以eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq \f(121－6×3.5×4,91－6×3.52)≈2.11≈2.1，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up6(^)) eq \x\to(x)＝4－2.11×3.5≈－3.4，方案①的经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝2.1x－3.4，对eq \o(y,\s\up6(^))＝eeq \o(d,\s\up6(^))x＋eq \o(c,\s\up6(^))两边取对数得ln eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(d,\s\up6(^))x＋eq \o(c,\s\up6(^))，令eq \o(z,\s\up6(^))＝ln eq \o(y,\s\up6(^))，则eq \o(z,\s\up6(^))＝eq \o(d,\s\up6(^))x＋eq \o(c,\s\up6(^)).eq \x\to(z)＝eq \f(1,6)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5))＝0.85，eq \o(d,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,6,x)izi－6\x\to(x) \x\to(z),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq \f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52)≈0.63≈0.6，eq \o(c,\s\up6(^)) ＝eq \x\to(z)－eq \o(d,\s\up6(^)) eq \x\to(x)＝0.85－0.63×3.5≈－1.4，方案②的非线性经验回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝e0.6x－1.4.(2)方案①的决定系数Req \o\al(2,1)＝1－eq \f(18.29,\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)；方案②的决定系数Req \o\al(2,2)＝1－eq \f(0.65,\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)，则Req \o\al(2,1)