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2024届中考冲刺阶段-中考真题（2022深圳）及变式题-解答题部分（深圳2024中考专用）
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1．
【答案】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键．
2．请回答下列问题．
（1）计算．
（2）化简计算：，其中．
【答案】（1）． （2）；．
【分析】（1）根据整数指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简，再代入条件求值即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查整数指数幂运算，特殊角的三角函数值，以及分式化简求值问题，熟练掌握运算法则以及特殊角的三角函数值是解题关键．
3．计算：．
【答案】
【分析】先进行特殊角的三角函数值运算、零指数幂运算、化简二次根式、绝对值运算，再合并即可解答．
【详解】原式＝
＝．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、化简二次根式、绝对值等知识，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．
4．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
5．计算：．
【答案】
【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、将特殊角的三角函数值代入、化简二次根式及化简绝对值，再按照实数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、化最简二次根式、化简绝对值和实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值并正确计算是解题的关键．
6．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值，然后计算加减法即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式，然后计算加减法即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
7．先化简，再求值：其中
【答案】，
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将代入得原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．先化简：，再从中选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【分析】原式先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值代入求值即可．
【详解】
，
，，
且，
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
9．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2）2（x+5），
【分析】（1）先分别计算零指数幂，代入三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，在计算加减法；
（2）先计算括号中的异分母分式加减法，将除法化为乘法，再约分化简，最后将字母的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
=
=1；
（2）原式=
=
=2（x+5），
当时，原式=．
【点睛】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，以及零指数幂定义，负整数指数幂定义，特殊三角函数值，正确掌握运算法则是解题的关键．
10．先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算及乘除运算法则进行化简，再由分式有意义的条件求得x的取值范围，再选合适的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，且，
当时，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算及乘除运算法则是解题的关键．
11．先化简，再求值，其中
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
12．先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【答案】；；
【分析】先把分式进行化简，再求出不等式组的解集，取x＝1，代入求出答案即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
解不等式组得：﹣2≤x≤2，
取不等式组的整数解x＝1，代入分式得：
原式＝＝＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值和不等式组的解集，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是关键，注意选择数值代入时，要保证原分式的分母不为0，“除化乘”时引入的分母也不为0．
13．某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】(1)50人，；
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．
14．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)学校这次调查共抽取了_________名学生；
(2)补全条形统计图：
(3)在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为_________；
(4)设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
(4)估计该校喜欢舞蹈的学生人数为名
【分析】（1）用“围棋”的人数除以其所占百分比，计算即可得出答案；
（2）首先计算出“书法”人数所占百分比，再用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
【详解】（1）解：（名），
∴学校这次调查共抽取了名；
故答案为：
（2）解：，
“书法”的人数为（名），
补全图形如下：
（3）解：在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为．
故答案为：；
（4）解：（名），
∴估计该校喜欢舞蹈的学生人数为名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
15．为了迎接2019年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题；
（1）本次调查中共抽查了______名学生，扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学九年级共有学生520人，请你估计该校九年级约有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
【答案】（1）50，72；（2）补全的条形统计图如图所示；见解析；（3）该校九年级约有104名学生的数学成绩可以达到优秀．
【分析】（1）根据良好的学生数和所占的百分比可以求得本次调查的学生数和扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得成绩为“中”的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校九年级约有多少名学生的数学成绩可以达到优秀．
【详解】（1）本次调查的学生有：22÷44%=50（名），
扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是：360°×=72°，
故答案为：50，72；
（2）成绩为“中”的学生有：50-10-22-8=10，
补全的条形统计图如图所示；
（3）520×=104（名），
答：该校九年级约有104名学生的数学成绩可以达到优秀．
【点睛】此题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．2021年是中国共产党成立100周年．为此，某校举行“建党100周年知识竞赛”，满分为10分，学生成绩均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，对应定为A，B，C，D四个等级，学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制如下统计图，请回答下列问题：
（1）学校随机抽取的学生人数为；
（2）补全条形统计图；
（3）学校抽取学生“建党100周年知识竞赛”的平均成绩是多少？
（4）如果该校共有学生3200人，且规定等级为A，B，C的为优秀，则该校学生“建党100周年知识竞赛”成绩为优秀的有多少人？
【答案】（1）40人；（2）见解析；（3）分；（4）2560人
【分析】（1）由等级的频数为除以它的频率即可得到答案；
（2）先求解C等级的人数为：人，再补全统计图即可；
（3）先求总得分，再利用总得分除以总人数即可得到答案；
（4）利用总体的总人数乘以成绩为优秀的学生的频率可得答案．
【详解】解：（1）由等级的频数为频率为
所以学校随机抽取的学生人数为：（人），
故答案为：40人
（2）C等级的人数为40－（4＋16＋8）＝12，补全统计图如下：
（3）学校抽取学生“建党100周年知识竞赛”的平均成绩是：
（分）
（4）
答：该校学生“建党100周年知识竞赛”成绩为优秀的约有2560人．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
17．每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令入痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，真爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题．
(1)参加此安全竞赛的学生共有______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级，学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率．
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据特等奖的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数乘以获得“二等奖”的学生人数所占的百分比求出获得“二等奖”的学生人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出恰好是1名七年级和1名九年级学生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）参加此次有奖征稿活动的学生有：（人）；
故答案为；40；
（2）二等奖人数为：(人)，
条形统计图补充完整如下图：
（3）获得一等奖的学生中，人来自七年级，人来自八年级, 人来自九年级，用表示七年级学生，表示八年级学生，C和D表示九年级的两名学生，树状图如下，
由图可知，共有种结果，每种结果出现的可能性相等，其中满足恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有种，所以恰好是一名七年级和一名九年级的概率为，
答:两人恰好是一名七年级和一名九年级的概率为．
18．李老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对九（1）班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C；一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，李老师一共调查了 名同学，其中女生共有 名．
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【答案】（1）20，11；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）用特别好（A）的人数÷特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类别人数及女生数，再求女生总人数；
（2）由女生数及总人数，得出男生数及“D”类别男生数，再求“C”类别女生数，补充条形统计图；
（3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解．
【详解】解：（1）调查学生数为3÷15%＝20（人），
“D”类别学生数为20×（1﹣25%﹣15%﹣50%）＝2（人），其中男生为2﹣1＝1（人），
调查女生数为20﹣1﹣4﹣3﹣1＝11（人），
故答案为20，11；
（2）补充条形统计图如图所示；
（3）根据李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，
可以将A类与D类学生分为以下几种情况：
利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
20．在校园手工制作活动中，甲、乙两人接到手工制作纸花任务，已知甲每小时制作纸花比乙每小时制作纸花少20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同
(1)求甲、乙两人每小时各制作纸花多少朵？
(2)本次活动学校需要该种纸花不少于350朵，若由甲、乙两人共同制作，则至少需要几小时完成任务？
【答案】(1)甲每小时制作纸花60朵，每小时制作纸花80朵；(2)至少需要2.5小时完成任务.
【分析】（1）根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”列方程求解即可；
（2）根据“不少于350朵”列出不等式求解即可.
【详解】(1)设乙每小时制作纸花朵，根据题意，得
解得x=80
经检验，x=80 是原方程的解.
，
∴甲每小时制作纸花60朵，每小时制作纸花80朵.
(2)设需要小时完成任务，根据题意，得
解得y≥2.5
∴至少需要2.5小时完成任务.
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【分析】（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得：，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．某花卉市场计划购进A，B两种盆栽共120盒，这两种盆栽的进价和售价如表所示：
(1)已知用1200元全部购进A种盆载的数量比用1200元全部购进B种盆栽的数量多10盆，求x的值；
(2)花卉市场规定B种盆栽的进货数量不超过A种盆栽进货数量的3倍，应该怎样制定方案使花卉市场在销售完这两种盆载后获得的利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)的值为40
(2)购进中盆栽30盏，购进种盆栽90台时，销售利润最大，最大值为2250元
【分析】（1）由题意：用1200元全部购进A种盆载的数量比用1200元全部购进B种盆栽的数量多10盆，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种盆栽a盆，则购进B种盆栽（120-a）盆，销售利润w元，由题意：B种盆栽的进货数量不超过A种盆栽进货数量的3倍，列出一元一次不等式，解得a≥30，再由题意得w=-5a+2400，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
答：x的值为40；
（2）解：设购进A种盆栽a盆，则购进B种盆栽（120-a）盆，销售利润w元，
由题意得：120-a≤3a，
解得：a≥30，
由（1）可知，1.5x=1.5×40=60，
由题意得：w=（55-40）a+（80-60）（120-a）=-5a+2400，
∵-5＜0，
∴w随着a的增大而减小，
当a=30时，w最大=-5×30+2400=2250，
此时120-a=90，
答：购进A种盆栽30盆，购进B种盆栽90盆时，销售利润最大，最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了．已知2021年每千克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
【答案】(1)2022年桑葚每千克的价格为18元；
(2)最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【分析】（1）设2022年桑葚每千克的价格为x元，根据题意列得分式方程，解方程即可得解；
（2）设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，求得m关于t的反比例函数，利用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设2022年桑葚每千克的价格为x元，则2021年桑葚每千克的价格为元，2021年桑葚产量为千克，2022年桑葚产量为千克，
由题意得，
解得，
经检验，，都是分式方程的解，
∵2021年每千克价格不低于14元，
∴，
∴，
∴应舍去，只取，
答：2022年桑葚每千克的价格为18元；
（2）解：设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，
则，其中，
∵m是t的反比例函数，且，
∴m随t的增大而减少，
∴当时，m有最大值，最大值为，
答：最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出方程或函数关系式．
24．为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”．现年级决定购买A、B两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知A种礼品的单价比B种礼品的单价便宜3元，用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍．
(1)求A种礼品的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种礼品共150件，其中购买A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍．设购买A种礼品m件，所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求所需的最少经费．
【答案】(1)A种礼品的单价为6元
(2)w＝﹣3m+1350，所需的最少经费为1014元
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元，根据“用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍”列方程求解即可；
（2）根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元
由题意得：，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是原方程的解，且符合题意．
∴A种礼品的单价为6元．
（2）解：由（1）可知，B种笔记本的单价为9元，
设购买A种礼品m件，则购买B种礼品（150﹣m）件，
由题意得：w＝6m+9（150﹣m）＝﹣3m+1350，
又∵﹣3＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍，
∴m≤3（150﹣m），解得：m≤112．5，
∵m为整数，
∴当m＝112时，w最小值＝1014．
答：所需的最少经费为1014元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解答本题的关键．
25．二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数的自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值．
则的值为______．
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）______．
(5)根据函数图象，判断方程的根的个数为______个．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)当时，随的增大而增大（答案不唯一）
(5)，，
【分析】
（1）根据分母不为分式有意义，可得答案；
（2）将代入函数解析式计算求解；
（3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，分析函数增减性；
（5）作直线，交函数图象于，，，分别过点，，，作轴，轴，轴，交轴于点，，，根据图象，可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，
故答案为：．
（2）解：当时，，
∴，
故答案为：．
（3）解：该函数图象如图所示：
（4）当时，随的增大而增大；
故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．
（5）作直线，交函数图象于，，，分别过点，，，作轴，轴，轴，交轴于点，，，如图：
由图象可得点，，，
∴方程的根为，，，
∴方程的根有3个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，求函数值，函数图象的性质，分式有意义的条件，利用数形结合思想解题是关键．
27．操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，
（2）根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是，
故答案为：；
由得，，
方程的根可以看作是函数与x轴交点，
通过图象可知函数与x轴交点近似为，
或，
故答案为：或；
根据图象可知，当时，随的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
则m的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，
则的取值范围是．
28．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学学习小组对函数的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中 ， ；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整．
(3)下列关于该函数的说法，错误的是 （ ）
A．函数图像是轴对称图形； B．当x时，函数值y随自变量x的增大而减小；
C．函数值y都是非负数； D．若函数图像经过点和，则；
(4)点和在函数图像上，且，则a与b的大小关系是 ．
【答案】(1)x取任意实数
(2)①，；②见解析；③见解析
(3)B
(4)ab
【分析】本题考查二次函数的图象，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．
（1）根据解析式直接可得答案；
（2）①把代入解析式可得m的值，把代入解析式可得n的值；
②根据的值描点即可；
③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象；
（3）观察函数图象，逐项判断即可得答案；
（4）由可得，即知．
【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是x取任意实数；
故答案为：x取任意实数；
（2）①当时，，
当时，，，
故答案为：，；
②补充点如图：
③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图；
（3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意，
函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意；
若函数图象经过点和，则；故D正确，不符合题意，
故答案为：B；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：．
29．已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得；
（2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为，
在图中补全该图象如下：
．
（2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4，
当时，，
由二次函数的对称性可知，当时，，
①当时，
则在内，随的增大而增大，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去；
②当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴，符合题意；
③当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去，
综上，的取值范围为．
30．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______．
(2)若点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
【答案】(1)，轴
(2)
(3)函数图象见解析，
【分析】本题考查二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，关键是求二次函数的解析式．
（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）当时，，当时，并结合函数图象求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
二次函数为，
对称轴为轴．
故答案为：，轴；
（2）解：把代入得，，
，
对称轴为轴，
该图象上点的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图所示：
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
31．一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为
(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；
（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： ，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．
【详解】（1）∵
∴为的中位线
∴D为的中点
∵
∴
（2）过N点作，交于点D，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： ．
∵．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
32．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数可得，即可求解；
（3）由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
33．【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”），
∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点P，作使其与直线相切，切点为P，不妨在直线上另取一点Q，连接，请你判断与的数量关系；并说明理由；
【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿着方向带球跑动，球门米，米,米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
【答案】（1）＜，＜（2） （3）15米
【分析】（1）根据三角形外角性质，得即；
（2）根据(1)的解答，可判定；
（3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置．
本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，切线性质定理，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．
【详解】（1）与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案为：＜，＜．
（2）；理由如下：
与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴．
（3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置
过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米
∴米，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，设，
∴，
解得，
故，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）
∴，
∴．
答：的长度为15米．
34．（1）如图1，已知点，是轴上的动点，过点作交轴于点是中点，求证．
（2）在（1）的条件下，可知在线段的垂直平分线上，若点，则是否有最小值？最小值为多少？
（3）如图2，在中，为中点，圆过，两点且分别交于点，连接，当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为多长？
【答案】（1）见解析；（2）有最小值，最小值为；（3）当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为．
【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：；
（2）点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，则当时，最小；
（3）利用圆和三角形的相关知识综合分析即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接、,
∵，
∴为直角三角形，
∵是中点，
∴是斜边上的中线，
∴,
同理，是斜边上的中线，
∴,
∴．
（2）解：如图，过点作于点，连接,，
∵,为中点，
∴,
∴点在线段的垂直平分线上，
作线段的垂直平分线交轴，轴于点，，当,最小，
连接，则,
∵，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴,
∴，即,
∴，
∵，
∴，
∵在中，
当时，最小，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴有最小值，最小值为．
（3）解：如图1,连接, ,延长至点,使,连接,，
∵,，
∴,
∴,，
∴AG// BF，
∵,
∴,
∴，
又∵是直径,
∴,
∴,
∴,
设的半径为,连接, ,则，
∵,,
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
当点与点重合,点与点重合时,如图2所示,连接交于点，
由可知,
∴,
∴是的中点，
∵是的中点,
∴，
设,则，
在中，由勾股定理，得,
即,解得,
易得点在线段的垂直平分线上运动,由图易得,点到的距离为
，
同理可得,当过点时,点与点重合,点与点重合,
此时易求得的半径为,点到的距离为，
∴点经过的路径长为．
【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形、圆的性质、等腰三角形、三角形三边关系、极端原理、最值求法、相似三角形等多个知识点，综合性很强，正确理解题意是解题的关键．
35．如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以为直径的交y轴于C，D两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为，．
(1)求的半径；
(2)动点P在的圆周上运动，连接，交于点N．
①如图1，当平分时，求的值；
②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)①50；②是，
【分析】（1）连接，设圆的半径为r，在中，可得即可求的半径；
（2）①连接和，由平分得和，进一步得到，再根据的性质即可求得答案；
②根据切线性质得，则有，即有，得，由，得，进一步得到，有，即可求得答案．
【详解】（1）解：（1）如图1中，连接．
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，解得r＝5，
∴的半径为5．
（2）①如图2中，连接，．
∵是直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②如图3中，连接，．
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、相似三角形的判断和性质和圆心角定理，熟练掌握三角形相似的判定，利用相似的性质并结合圆的性质是解题的关键．
36．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4）
【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理得出等式化简即可；
（2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可；
（3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论；
（4）由点的坐标即可得出结果．
解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用．
【详解】解：（1），，，
在中，，
，
化简得：，
故答案为：；
（2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：
（3）由题意得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
与x轴有两个交点，
即与x轴相交；
（4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，
则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是．
故答案为：．
37．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
38．如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4或
【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形 ，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二： 将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；
②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H作于M， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；
（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；
（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E和A重合，G和D重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B作于M，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，
由勾股定理得，则，据此可得．
【详解】解：（1）①选择思路一：
证明：连接， 如图所示，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
选择思路二：
证明：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②思路一：由（1）①知，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴，即；
思路二：由（1）①知，
∴，
如图所示，过点H作于M，则四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
综上所述，；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
∵在中，点F为的中点，
∴，
∴ ，
∴；
（3）∵E在边上，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵为直角三角形，
∴不能作为斜边，
①当时，
∵，
∴和共线，
∴E和A重合，G和D重合，如图：
∴由正方形的性质可得，
∴；
当时，连接，过B作于M，如图：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，F是中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
39．【问题提出】
(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米
【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；
（2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵等边的边长为，
∴，，
∴
又∵，
∴的面积为，
故答案为：．
（2）如图所示，延长到使得，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
∠，
，
，
，
又，
，
，，
又，
；
（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
，，
，
，
过点作于，作于，则四边形是矩形，
，
，
，
当的面积最小时，的面积最小；
如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，
设，
，
，
，，
，
当最小时，的面积最小，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，
平方米
存在一个面积最小的，其最小值为平方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键．
40．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
(3)拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
41．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．
①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．
【答案】(1) 详见解析
(2)
(3)和
【分析】（1）①由等边对等角结合三角形内角和定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出；
（2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出；
（3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出；
当E落在上，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．
【详解】（1）①由题意可知，，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
②证明：由旋转的性质可知，，
，
．
（2），，
由勾股定理得，，
的锐角顶点D恰好落在的斜边上，
，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，经检验，是方程的解，
，
．
（3）①当E落在上时，如图所示，连接、、，
由M是中点和旋转可知，，
又
，
，
又四边形是菱形
和在同一直线，F在的延长线上，
由（1）①可知（已证）
，
，
菱形中，，，如图所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点
由旋转可知，，
四边形是菱形
，
在对角线的中点上，即在和的交点上
是的中点，是的中点
，
，
由旋转可知，
、、、四点共圆
如下图所示，连接和
，
，
在中，，
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质与应用、四点共圆等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形．
42．综合与探究．
【特例感知】
（1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积；
【拓展提升】
（3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）见详解
（2）
（3）6或或或18
【分析】（1）证明，从而得出；
（2）连接，作，交的延长线于，作于，可证得是等边三角形，进而求得，可证得，从而得出，从而求得，可证得，从而，进而求得，根据得，求得，进一步得出结果；
（3）以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，可求得直线的解析式为，从而设，可证得，从而，，进而表示出的坐标，同样得出点坐标，从而表示出和，分三种情形列方程：当时，根据勾股定理列出方程，求得的值，进而得出，同样方法得出当时和当时的情况．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图1，
连接，作，交的延长线于，作于，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
；
（3）如图2，
以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，
作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，
，
直线的解析式为，设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，即：，
，，
，即，
，
同理可得：，，
，即：，
，
当时，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
综上所述：或18或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
盆栽种类
进价（元/盆）
售价（元/盆）
种
55
种
80
…
1
2
3
4
…
…
…
x
…
2
1
0
1
2
…
y
…
3
0
m
1
n
0
3
…
思路一
思路二
第一步
如图2，连接，，证明；
如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步
利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达
1．
【答案】
【分析】根据零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，准确求解零指数幂、二次根式、锐角三角函数值、负指数幂是解题的关键．
2．请回答下列问题．
（1）计算．
（2）化简计算：，其中．
【答案】（1）． （2）；．
【分析】（1）根据整数指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简，再代入条件求值即可．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查整数指数幂运算，特殊角的三角函数值，以及分式化简求值问题，熟练掌握运算法则以及特殊角的三角函数值是解题关键．
3．计算：．
【答案】
【分析】先进行特殊角的三角函数值运算、零指数幂运算、化简二次根式、绝对值运算，再合并即可解答．
【详解】原式＝
＝．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂、化简二次根式、绝对值等知识，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．
4．计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，化简绝对值，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
【详解】解：
5．计算：．
【答案】
【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂、将特殊角的三角函数值代入、化简二次根式及化简绝对值，再按照实数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、化最简二次根式、化简绝对值和实数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值并正确计算是解题的关键．
6．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及绝对值，然后计算加减法即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式，然后计算加减法即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
7．先化简，再求值：其中
【答案】，
【分析】利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：原式
=
将代入得原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．先化简：，再从中选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【分析】原式先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值代入求值即可．
【详解】
，
，，
且，
当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，理解分式有意义的条件，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
9．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2）2（x+5），
【分析】（1）先分别计算零指数幂，代入三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，在计算加减法；
（2）先计算括号中的异分母分式加减法，将除法化为乘法，再约分化简，最后将字母的值代入计算即可．
【详解】解：（1）
=
=1；
（2）原式=
=
=2（x+5），
当时，原式=．
【点睛】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，以及零指数幂定义，负整数指数幂定义，特殊三角函数值，正确掌握运算法则是解题的关键．
10．先化简：，然后在1，2，3中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算及乘除运算法则进行化简，再由分式有意义的条件求得x的取值范围，再选合适的值代入计算即可．
【详解】解：，
，
∵，，
∴，且，
当时，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算及乘除运算法则是解题的关键．
11．先化简，再求值，其中
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式
【点睛】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
12．先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个合适的值代入求值．
【答案】；；
【分析】先把分式进行化简，再求出不等式组的解集，取x＝1，代入求出答案即可．
【详解】解：
＝
＝
＝，
解不等式组得：﹣2≤x≤2，
取不等式组的整数解x＝1，代入分式得：
原式＝＝＝．
【点睛】本题考查分式的化简求值和不等式组的解集，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是关键，注意选择数值代入时，要保证原分式的分母不为0，“除化乘”时引入的分母也不为0．
13．某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．
(1)本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ．
(2)补全条形统计图．
(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ．
(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．
【答案】(1)50人，；
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得合格人数所占百分比；
（2）总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
（3）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次抽查的总人数为（人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：50人，；
（2）解：不合格的人数为：；
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为，
故答案为：；
（4）解：列表如下：
由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图的关联，读懂统计图中的信息、画出树状图或列表是解题的关键．
14．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)学校这次调查共抽取了_________名学生；
(2)补全条形统计图：
(3)在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为_________；
(4)设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
【答案】(1)
(2)图见解析
(3)
(4)估计该校喜欢舞蹈的学生人数为名
【分析】（1）用“围棋”的人数除以其所占百分比，计算即可得出答案；
（2）首先计算出“书法”人数所占百分比，再用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；
（3）用乘以“围棋”人数所占百分比即可得；
（4）用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．
【详解】（1）解：（名），
∴学校这次调查共抽取了名；
故答案为：
（2）解：，
“书法”的人数为（名），
补全图形如下：
（3）解：在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为．
故答案为：；
（4）解：（名），
∴估计该校喜欢舞蹈的学生人数为名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
15．为了迎接2019年中考，某中学对全校九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题；
（1）本次调查中共抽查了______名学生，扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学九年级共有学生520人，请你估计该校九年级约有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？
【答案】（1）50，72；（2）补全的条形统计图如图所示；见解析；（3）该校九年级约有104名学生的数学成绩可以达到优秀．
【分析】（1）根据良好的学生数和所占的百分比可以求得本次调查的学生数和扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得成绩为“中”的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校九年级约有多少名学生的数学成绩可以达到优秀．
【详解】（1）本次调查的学生有：22÷44%=50（名），
扇形统计图中表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是：360°×=72°，
故答案为：50，72；
（2）成绩为“中”的学生有：50-10-22-8=10，
补全的条形统计图如图所示；
（3）520×=104（名），
答：该校九年级约有104名学生的数学成绩可以达到优秀．
【点睛】此题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．2021年是中国共产党成立100周年．为此，某校举行“建党100周年知识竞赛”，满分为10分，学生成绩均在7分以上，将成绩10分、9分、8分、7分，对应定为A，B，C，D四个等级，学校随机抽取部分学生的竞赛成绩绘制如下统计图，请回答下列问题：
（1）学校随机抽取的学生人数为；
（2）补全条形统计图；
（3）学校抽取学生“建党100周年知识竞赛”的平均成绩是多少？
（4）如果该校共有学生3200人，且规定等级为A，B，C的为优秀，则该校学生“建党100周年知识竞赛”成绩为优秀的有多少人？
【答案】（1）40人；（2）见解析；（3）分；（4）2560人
【分析】（1）由等级的频数为除以它的频率即可得到答案；
（2）先求解C等级的人数为：人，再补全统计图即可；
（3）先求总得分，再利用总得分除以总人数即可得到答案；
（4）利用总体的总人数乘以成绩为优秀的学生的频率可得答案．
【详解】解：（1）由等级的频数为频率为
所以学校随机抽取的学生人数为：（人），
故答案为：40人
（2）C等级的人数为40－（4＋16＋8）＝12，补全统计图如下：
（3）学校抽取学生“建党100周年知识竞赛”的平均成绩是：
（分）
（4）
答：该校学生“建党100周年知识竞赛”成绩为优秀的约有2560人．
【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
17．每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令入痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，真爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题．
(1)参加此安全竞赛的学生共有______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级，学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率．
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）根据特等奖的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）用总人数乘以获得“二等奖”的学生人数所占的百分比求出获得“二等奖”的学生人数，从而补全统计图；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出恰好是1名七年级和1名九年级学生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）参加此次有奖征稿活动的学生有：（人）；
故答案为；40；
（2）二等奖人数为：(人)，
条形统计图补充完整如下图：
（3）获得一等奖的学生中，人来自七年级，人来自八年级, 人来自九年级，用表示七年级学生，表示八年级学生，C和D表示九年级的两名学生，树状图如下，
由图可知，共有种结果，每种结果出现的可能性相等，其中满足恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有种，所以恰好是一名七年级和一名九年级的概率为，
答:两人恰好是一名七年级和一名九年级的概率为．
18．李老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对九（1）班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C；一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，李老师一共调查了 名同学，其中女生共有 名．
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请求所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【答案】（1）20，11；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）用特别好（A）的人数÷特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类别人数及女生数，再求女生总人数；
（2）由女生数及总人数，得出男生数及“D”类别男生数，再求“C”类别女生数，补充条形统计图；
（3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解．
【详解】解：（1）调查学生数为3÷15%＝20（人），
“D”类别学生数为20×（1﹣25%﹣15%﹣50%）＝2（人），其中男生为2﹣1＝1（人），
调查女生数为20﹣1﹣4﹣3﹣1＝11（人），
故答案为20，11；
（2）补充条形统计图如图所示；
（3）根据李老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，
可以将A类与D类学生分为以下几种情况：
利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
20．在校园手工制作活动中，甲、乙两人接到手工制作纸花任务，已知甲每小时制作纸花比乙每小时制作纸花少20朵，甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同
(1)求甲、乙两人每小时各制作纸花多少朵？
(2)本次活动学校需要该种纸花不少于350朵，若由甲、乙两人共同制作，则至少需要几小时完成任务？
【答案】(1)甲每小时制作纸花60朵，每小时制作纸花80朵；(2)至少需要2.5小时完成任务.
【分析】（1）根据“甲制作120朵纸花的时间与乙制作160朵纸花的时间相同”列方程求解即可；
（2）根据“不少于350朵”列出不等式求解即可.
【详解】(1)设乙每小时制作纸花朵，根据题意，得
解得x=80
经检验，x=80 是原方程的解.
，
∴甲每小时制作纸花60朵，每小时制作纸花80朵.
(2)设需要小时完成任务，根据题意，得
解得y≥2.5
∴至少需要2.5小时完成任务.
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
21．阳春三月催新芽，植树造林正当时，为提升人们的环保意识，传播普及“植绿、护绿、爱绿”的生态文明意识，同时又为大家创造亲身体验劳动的乐趣，感受美化环境的意义．开心农场在3月初推出了植树活动．农场购入甲、乙两种树苗，购买甲种树苗花费了4000元，购买乙种树苗花费了5400元，已知购买一棵甲种树苗比购买一棵乙种树苗多花4元，且购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍．
（1）求购买一棵甲种树苗、一棵乙种树苗各需要多少元？
（2）适逢植树节在周末，且天气晴好，不断有客户预约参加植树活动，于是农场决定第二次购入甲、乙两种树苗共300棵．在第二次购买中，一棵甲种树苗的价格比第一次购买时的价格降低了12.5%，一棵乙种树苗的价格比第一次购买时的价格减少了4元．如果第二次购买甲、乙两种树苗的总费用不超过10000元，那么该农场第二次最多可购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；（2）该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【分析】（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，根据“购买的乙种树苗的数量是购买的甲种树苗的数量的1.5倍”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设设该农场第二次购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（300－y）棵，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过10000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购买一棵乙种树苗需要x元，则购买一棵甲种树苗需要(x＋4)元，
由题意，得：，
解得：x＝36，
经检验：x＝36是原方程的解，
∴x＋4＝40，
答：购买一棵甲种树苗需要40元，购买一棵乙种树苗需要36元；
（2）40×（1－12.5%）＝35（元），
36－4＝32（元），
设该农场第二次可购买甲种树苗y棵，
由题意，得：35y＋32（300－y）≤10000，
解得：y≤，
∴y的最大整数值为133，
答：该农场第二次最多可购买甲种树苗133棵．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．某花卉市场计划购进A，B两种盆栽共120盒，这两种盆栽的进价和售价如表所示：
(1)已知用1200元全部购进A种盆载的数量比用1200元全部购进B种盆栽的数量多10盆，求x的值；
(2)花卉市场规定B种盆栽的进货数量不超过A种盆栽进货数量的3倍，应该怎样制定方案使花卉市场在销售完这两种盆载后获得的利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)的值为40
(2)购进中盆栽30盏，购进种盆栽90台时，销售利润最大，最大值为2250元
【分析】（1）由题意：用1200元全部购进A种盆载的数量比用1200元全部购进B种盆栽的数量多10盆，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种盆栽a盆，则购进B种盆栽（120-a）盆，销售利润w元，由题意：B种盆栽的进货数量不超过A种盆栽进货数量的3倍，列出一元一次不等式，解得a≥30，再由题意得w=-5a+2400，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
答：x的值为40；
（2）解：设购进A种盆栽a盆，则购进B种盆栽（120-a）盆，销售利润w元，
由题意得：120-a≤3a，
解得：a≥30，
由（1）可知，1.5x=1.5×40=60，
由题意得：w=（55-40）a+（80-60）（120-a）=-5a+2400，
∵-5＜0，
∴w随着a的增大而减小，
当a=30时，w最大=-5×30+2400=2250，
此时120-a=90，
答：购进A种盆栽30盆，购进B种盆栽90盆时，销售利润最大，最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了．已知2021年每千克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
【答案】(1)2022年桑葚每千克的价格为18元；
(2)最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【分析】（1）设2022年桑葚每千克的价格为x元，根据题意列得分式方程，解方程即可得解；
（2）设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，求得m关于t的反比例函数，利用函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设2022年桑葚每千克的价格为x元，则2021年桑葚每千克的价格为元，2021年桑葚产量为千克，2022年桑葚产量为千克，
由题意得，
解得，
经检验，，都是分式方程的解，
∵2021年每千克价格不低于14元，
∴，
∴，
∴应舍去，只取，
答：2022年桑葚每千克的价格为18元；
（2）解：设可以将桑葚采摘园的面积扩大m亩，新建采摘园每亩资金为t元，
则，其中，
∵m是t的反比例函数，且，
∴m随t的增大而减少，
∴当时，m有最大值，最大值为，
答：最多可以将桑葚采摘园的面积扩大亩．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出方程或函数关系式．
24．为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”．现年级决定购买A、B两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知A种礼品的单价比B种礼品的单价便宜3元，用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍．
(1)求A种礼品的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种礼品共150件，其中购买A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍．设购买A种礼品m件，所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求所需的最少经费．
【答案】(1)A种礼品的单价为6元
(2)w＝﹣3m+1350，所需的最少经费为1014元
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元，根据“用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍”列方程求解即可；
（2）根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元
由题意得：，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是原方程的解，且符合题意．
∴A种礼品的单价为6元．
（2）解：由（1）可知，B种笔记本的单价为9元，
设购买A种礼品m件，则购买B种礼品（150﹣m）件，
由题意得：w＝6m+9（150﹣m）＝﹣3m+1350，
又∵﹣3＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍，
∴m≤3（150﹣m），解得：m≤112．5，
∵m为整数，
∴当m＝112时，w最小值＝1014．
答：所需的最少经费为1014元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解答本题的关键．
25．二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【分析】（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
(1)函数的自变量的取值范围是______；
(2)下表是与的几组对应值．
则的值为______．
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）______．
(5)根据函数图象，判断方程的根的个数为______个．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)当时，随的增大而增大（答案不唯一）
(5)，，
【分析】
（1）根据分母不为分式有意义，可得答案；
（2）将代入函数解析式计算求解；
（3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，分析函数增减性；
（5）作直线，交函数图象于，，，分别过点，，，作轴，轴，轴，交轴于点，，，根据图象，可得答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∴，
故答案为：．
（2）解：当时，，
∴，
故答案为：．
（3）解：该函数图象如图所示：
（4）当时，随的增大而增大；
故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．
（5）作直线，交函数图象于，，，分别过点，，，作轴，轴，轴，交轴于点，，，如图：
由图象可得点，，，
∴方程的根为，，，
∴方程的根有3个．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，求函数值，函数图象的性质，分式有意义的条件，利用数形结合思想解题是关键．
27．操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，
（2）根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是，
故答案为：；
由得，，
方程的根可以看作是函数与x轴交点，
通过图象可知函数与x轴交点近似为，
或，
故答案为：或；
根据图象可知，当时，随的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
则m的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，
则的取值范围是．
28．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学学习小组对函数的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整．
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中 ， ；
②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整．
(3)下列关于该函数的说法，错误的是 （ ）
A．函数图像是轴对称图形； B．当x时，函数值y随自变量x的增大而减小；
C．函数值y都是非负数； D．若函数图像经过点和，则；
(4)点和在函数图像上，且，则a与b的大小关系是 ．
【答案】(1)x取任意实数
(2)①，；②见解析；③见解析
(3)B
(4)ab
【分析】本题考查二次函数的图象，掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．
（1）根据解析式直接可得答案；
（2）①把代入解析式可得m的值，把代入解析式可得n的值；
②根据的值描点即可；
③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象；
（3）观察函数图象，逐项判断即可得答案；
（4）由可得，即知．
【详解】（1）函数的自变量x的取值范围是x取任意实数；
故答案为：x取任意实数；
（2）①当时，，
当时，，，
故答案为：，；
②补充点如图：
③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如图；
（3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意，
函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意；
若函数图象经过点和，则；故D正确，不符合题意，
故答案为：B；
（4）∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案为：．
29．已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得；
（2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为，
在图中补全该图象如下：
．
（2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4，
当时，，
由二次函数的对称性可知，当时，，
①当时，
则在内，随的增大而增大，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去；
②当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴，符合题意；
③当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去，
综上，的取值范围为．
30．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
(1)则的值为______；对称轴为______．
(2)若点的坐标为，则该图象上点的对称点的坐标为______．
(3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______．
【答案】(1)，轴
(2)
(3)函数图象见解析，
【分析】本题考查二次函数的定义以及二次函数的图象和性质，关键是求二次函数的解析式．
（1）根据二次函数定义以及当时，随的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点对称点的坐标即可；
（3）当时，，当时，并结合函数图象求出的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
二次函数为，
对称轴为轴．
故答案为：，轴；
（2）解：把代入得，，
，
对称轴为轴，
该图象上点的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图所示：
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：．
31．一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯的中点为
(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．
(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．
(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得出为的中位线，可得出D为中点，即可得出的长度；
（2）过N点作，交于点D，可得出为等腰直角三角形，根据,可得出，设，则，根据，即可求得，再根据勾股定理即可得出答案；
（3）依题意得出点N路径长为： ，推导得出，即可计算给出，即可得出答案．
【详解】（1）∵
∴为的中位线
∴D为的中点
∵
∴
（2）过N点作，交于点D，
∵，
∴为等腰直角三角形，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴在中，；
（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合． 当点M运动至点A时，点N运动至点T，故点N路径长为： ．
∵．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴N点的运动路径长为： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以上知识，并能灵活运用是解题的关键．
32．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A、D的分别交于点E、F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)
【分析】（1）先判断出，得出，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数可得，即可求解；
（3）由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D在上，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的半径为5；
（3）如图2，连接，
、
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
33．【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴ _______（填“＞”，“＝”或“＜”），
∴______（填“＞”，“＝”或“＜”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点P，作使其与直线相切，切点为P，不妨在直线上另取一点Q，连接，请你判断与的数量关系；并说明理由；
【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿着方向带球跑动，球门米，米,米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
【答案】（1）＜，＜（2） （3）15米
【分析】（1）根据三角形外角性质，得即；
（2）根据(1)的解答，可判定；
（3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置．
本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，切线性质定理，熟练掌握圆周角定理，切线性质定理是解题的关键．
【详解】（1）与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案为：＜，＜．
（2）；理由如下：
与相交于点D，连接，可知，
∵是的外角，
∴，
∴．
（3）当经过点A，点B的与相切，切点为M，此时切点位置即可射门位置
过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米
∴米，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵，，设，
∴，
解得，
故，
∴，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）
∴，
∴．
答：的长度为15米．
34．（1）如图1，已知点，是轴上的动点，过点作交轴于点是中点，求证．
（2）在（1）的条件下，可知在线段的垂直平分线上，若点，则是否有最小值？最小值为多少？
（3）如图2，在中，为中点，圆过，两点且分别交于点，连接，当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为多长？
【答案】（1）见解析；（2）有最小值，最小值为；（3）当圆从过点变化到过时，点的运动轨迹为．
【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得：；
（2）点在线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线交轴，轴于点，则当时，最小；
（3）利用圆和三角形的相关知识综合分析即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接、,
∵，
∴为直角三角形，
∵是中点，
∴是斜边上的中线，
∴,
同理，是斜边上的中线，
∴,
∴．
（2）解：如图，过点作于点，连接,，
∵,为中点，
∴,
∴点在线段的垂直平分线上，
作线段的垂直平分线交轴，轴于点，，当,最小，
连接，则,
∵，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴,
∴，即,
∴，
∵，
∴，
∵在中，
当时，最小，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴有最小值，最小值为．
（3）解：如图1,连接, ,延长至点,使,连接,，
∵,，
∴,
∴,，
∴AG// BF，
∵,
∴,
∴，
又∵是直径,
∴,
∴,
∴,
设的半径为,连接, ,则，
∵,,
∴,
∴，
∵,
∴,
∴,
当点与点重合,点与点重合时,如图2所示,连接交于点，
由可知,
∴,
∴是的中点，
∵是的中点,
∴，
设,则，
在中，由勾股定理，得,
即,解得,
易得点在线段的垂直平分线上运动,由图易得,点到的距离为
，
同理可得,当过点时,点与点重合,点与点重合,
此时易求得的半径为,点到的距离为，
∴点经过的路径长为．
【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形、圆的性质、等腰三角形、三角形三边关系、极端原理、最值求法、相似三角形等多个知识点，综合性很强，正确理解题意是解题的关键．
35．如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以为直径的交y轴于C，D两点，C为的中点，弦交y轴于点F，且点A的坐标为，．
(1)求的半径；
(2)动点P在的圆周上运动，连接，交于点N．
①如图1，当平分时，求的值；
②如图2，过点D作的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)5
(2)①50；②是，
【分析】（1）连接，设圆的半径为r，在中，可得即可求的半径；
（2）①连接和，由平分得和，进一步得到，再根据的性质即可求得答案；
②根据切线性质得，则有，即有，得，由，得，进一步得到，有，即可求得答案．
【详解】（1）解：（1）如图1中，连接．
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，解得r＝5，
∴的半径为5．
（2）①如图2中，连接，．
∵是直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
②如图3中，连接，．
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、相似三角形的判断和性质和圆心角定理，熟练掌握三角形相似的判定，利用相似的性质并结合圆的性质是解题的关键．
36．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）与x轴相交；见解析；（4）
【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用，
（1）根据勾股定理得出等式化简即可；
（2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可；
（3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论；
（4）由点的坐标即可得出结果．
解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用．
【详解】解：（1），，，
在中，，
，
化简得：，
故答案为：；
（2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：
（3）由题意得：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
与x轴有两个交点，
即与x轴相交；
（4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，
则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是．
故答案为：．
37．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
38．如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．
【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：
（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．
【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4或
【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形 ，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二： 将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；
②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H作于M， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；
（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；
（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E和A重合，G和D重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B作于M，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，
由勾股定理得，则，据此可得．
【详解】解：（1）①选择思路一：
证明：连接， 如图所示，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
选择思路二：
证明：将线段绕点F逆时针旋转至，连接，如图所示，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴；
②思路一：由（1）①知，
∴，
∵为的中点，
∴
∴，
∴，即；
思路二：由（1）①知，
∴，
如图所示，过点H作于M，则四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
综上所述，；
（2）如图所示，连接，
∵四边形是正方形
∴，，
由旋转得，
∴是等腰直角三角形 ，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴；
∵在中，点F为的中点，
∴，
∴ ，
∴；
（3）∵E在边上，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∵为直角三角形，
∴不能作为斜边，
①当时，
∵，
∴和共线，
∴E和A重合，G和D重合，如图：
∴由正方形的性质可得，
∴；
当时，连接，过B作于M，如图：
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，F是中点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
39．【问题提出】
(1)如图1，在边长为的等边中，点在边上，，连接，则的面积为____
【问题探究】
(2)如图2，已知在边长为的正方形中，点在边上，点在边上，且，若，求的面积；
【问题解决】
(3)如图3是我市华南大道的一部分，因自来水抢修，需要在米，米的矩形区域内开挖一个的工作面，其中、分别在、边上不与点、、重合，且，为了减少对该路段的交通拥堵影响，要求面积最小，那么是否存在一个面积最小的若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在一个面积最小的，其最小值为平方米
【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解；
（2）延长到使得，连接，证明，，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，得出，过点作于，作于，则四边形是矩形，则，得出当的面积最小时，的面积最小；作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，当最小时，的面积最小，进而求得当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，然后根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵等边的边长为，
∴，，
∴
又∵，
∴的面积为，
故答案为：．
（2）如图所示，延长到使得，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，，
∠，
，
，
，
又，
，
，，
又，
；
（3）把绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
，，
，
，
过点作于，作于，则四边形是矩形，
，
，
，
当的面积最小时，的面积最小；
如图所示，作的外接圆，圆心为，连接，，，过点作于，
设，
，
，
，，
，
当最小时，的面积最小，
，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，最小值为米，
平方米
存在一个面积最小的，其最小值为平方米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，旋转的性质，圆的性质，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识并应用是解题的关键．
40．在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，．
(1)初步感知
如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________；
(2)迁移探究
如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接．求线段的长度．
(3)拓展应用
如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积存在最大值，请直接写出这个最大值为___________．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案；
（2）首先证明出，得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；
（3）根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得
∴，
解得：，
∴；
（3）解：∵为边的中点，
∴，
∴，
过A作于E，
∵点B到的距离小于，
∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
41．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质．
【操作探究】
(1)如图1，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到，当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与 交于点H．
①猜想： _________
②证明：．
【问题解决】
(2)在（1）的条件下，已知，，求的长．
【拓展提升】
(3)如图2，在菱形中，，， 将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点 N， 请直接写出的长．
【答案】(1) 详见解析
(2)
(3)和
【分析】（1）①由等边对等角结合三角形内角和定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出；
（2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出；
（3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出；
当E落在上，推导出E在菱形的对角线上，由，推导出E、M、B、N四点共圆，再利用和计算、，最后算出、．
【详解】（1）①由题意可知，，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
②证明：由旋转的性质可知，，
，
．
（2），，
由勾股定理得，，
的锐角顶点D恰好落在的斜边上，
，
A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得，经检验，是方程的解，
，
．
（3）①当E落在上时，如图所示，连接、、，
由M是中点和旋转可知，，
又
，
，
又四边形是菱形
和在同一直线，F在的延长线上，
由（1）①可知（已证）
，
，
菱形中，，，如图所示，
，，，
又，
，
在中，，，
，
和菱形等底等高
，
；
②当落在上时，如图所示，作交于点
由旋转可知，，
四边形是菱形
，
在对角线的中点上，即在和的交点上
是的中点，是的中点
，
，
由旋转可知，
、、、四点共圆
如下图所示，连接和
，
，
在中，，
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质与应用、四点共圆等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形．
42．综合与探究．
【特例感知】
（1）如图（a），是正方形外一点，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．求证：；
【类比迁移】
（2）如图（b），在菱形中，，，是的中点，将线段，分别绕点顺时针旋转得到，，交于点，连接，，求四边形的面积；
【拓展提升】
（3）如图（c），在平行四边形中，，，为锐角且满足．是射线上一动点，点，同时绕点顺时针旋转得到点，，当为直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）见详解
（2）
（3）6或或或18
【分析】（1）证明，从而得出；
（2）连接，作，交的延长线于，作于，可证得是等边三角形，进而求得，可证得，从而得出，从而求得，可证得，从而，进而求得，根据得，求得，进一步得出结果；
（3）以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，可求得直线的解析式为，从而设，可证得，从而，，进而表示出的坐标，同样得出点坐标，从而表示出和，分三种情形列方程：当时，根据勾股定理列出方程，求得的值，进而得出，同样方法得出当时和当时的情况．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
；
（2）如图1，
连接，作，交的延长线于，作于，
四边形是菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
由得，
，
，
，
；
（3）如图2，
以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立坐标系，
作，交的延长线于点，作于，作轴，过点作于，作于，
，
直线的解析式为，设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，即：，
，，
，即，
，
同理可得：，，
，即：，
，
当时，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
当时，
，
，
，
综上所述：或18或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
盆栽种类
进价（元/盆）
售价（元/盆）
种
55
种
80
…
1
2
3
4
…
…
…
x
…
2
1
0
1
2
…
y
…
3
0
m
1
n
0
3
…
思路一
思路二
第一步
如图2，连接，，证明；
如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步
利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达
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