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2025年高考数学一轮复习专题4.7 极值点偏移问题-(原卷版+解析版)
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题型一对称变换法
例1.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)(多选)已知关于的方程有两个不等的实根,且,则下列说法正确的有( )
A.B.C.D.
例2.(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)已知函数,a为实数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,是函数的导函数,且,,证明:
练习1.(2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末)已知函数().
(1)试讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,(),求证:.
练习2.(2023秋·广东揭阳·高三统考期末)已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)当有两个零点时,分别设为,,试判断与2的大小关系,并证明.
练习3.(2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习)已知函数.
(1)求函数的单调区间和最大值;
(2)设函数有两个零点,证明:.
练习4.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)若,求证:.
练习5.(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当时,若,求证:
题型二差值代换法
例3.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,
(ⅰ)求实数a的取值范围;
(ⅱ)求证:.
例4.(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)已知函数.
(1)若有两个零点,的取值范围;
(2)若方程有两个实根、,且,证明:.
练习6.(2022春·四川南充·高二阆中中学校考阶段练习)已知函数.
(1)若函数为增函数,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个极值点、.求证:.
练习7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,(其中是自然对数的底数)
(1)试讨论函数的零点个数;
(2)当时,设函数的两个极值点为、且,求证:.
练习8.(2022春·全国·高二期末)设函数().
(1)当时试讨论函数f(x)的单调性;
(2)设,记,当时,若方程有两个不相等的实根,,证明.
练习9.(2022春·全国·高二期末)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的图象与的图象交于,两点,证明:.
练习10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数
(1)求证:当时,;
(2)当方程有两个不等实数根时,求证:
题型三比值代换法
例5.(2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模)已知函数,.
(1)当时,恒成立,求a的取值范围.
(2)若的两个相异零点为,,求证:.
例6.(2023·全国·模拟预测)已知函数.
(1)讨论函数的极值点的个数;
(2)若函数恰有三个极值点、、,且,求的最大值.
练习11.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)设函数,且恒成立,求实数的取值范围;
(2)求证:;
(3)设函数的两个零点、,求证:.
练习12.(2022秋·福建宁德·高三校考期中)已知函数.
(1)讨论的零点个数.
(2)若有两个不同的零点,证明:.
练习13.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,(e为自然对数的底数)
(1)当时,恰好存在一条过原点的直线与,都相切,求b的值;
(2)若,方程有两个根,(),求证:.
练习14.(2023·新疆·校联考二模)已知函数,,其中为自然对数的底数.
(1)若有两个极值点,求的取值范围;
(2)记有两个极值点为、,试证明:.
练习15.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)若有2个不同的零点(),求证:.
题型四对数均值不等式
例7.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)若有唯一零点,设满足条件的值为与证明:①与互为相反数;②;
(2)设.若存在两个不同的极值点、,证明.
参考数据:,
例8.(2022春·四川南充·高二统考期末)设函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)设,记,当时,若方程有两个不相等的实根,求证:.
练习16.(2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习)已知函数,.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若存在,且当时,,证明:.
练习17.(2023·全国·高三专题练习)设函数为的导函数.
(1)求的单调区间;
(2)讨论零点的个数;
(3)若有两个极值点且,证明:.
练习18.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.
(1)求证:,;
(2)若存在、,且当时,使得成立,求证:.
练习19.(2023·四川绵阳·校考模拟预测)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个不相同的零点,设的导函数为.证明:.
练习20.(2023·全国·高三专题练习)设函数.
(1)若对恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知方程有两个不同的根、,求证:,其中为自然对数的底数.
题型一
对称变换法
题型二
差值代换法
题型三
比值代换法
题型四
对数均值不等式