2022高考数学一轮复习专题30 极值点偏移问题的研究（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题30 极值点偏移问题的研究（解析卷），共18页。试卷主要包含了题型选讲，构造函数的极值点偏移问题等内容，欢迎下载使用。
 专题30 极值点偏移问题的研究

一、题型选讲

题型一、常见的极值点偏移问题
常见的极值点偏移问题主要有以下几种题型：1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知函数．
(1)当时，设函数的最小值为，证明：；
(2)若函数有两个极值点，证明：．
【解析】（1），令，解得，
当时，，当时，，
，，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，，
当时，；
（2），，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，
又函数有两个极值点，则，
，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，，
又，，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
，，即，
．
例2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数，其中，为的导函数，设，且恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的零点为，函数的极小值点为，求证：.
【解析】（1）由题设知，，
，，
由，得，所以函数在区间上是增函数；
由，得，所以函数在区间上是减函数.
故在处取得最小值，且.
由于恒成立，所以，得，
所以的取值范围为；
（2）设，则.
设，
则，
故函数在区间上单调递增，由（1）知，，
所以，，
故存在，使得，
所以，当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增.
所以是函数的极小值点.因此，即.
由（1）可知，当时，，即，整理得，
所以.
因此，即.
所以函数在区间上单调递增.
由于，即，
即，
所以.
又函数在区间上单调递增，所以.
例3、(2019无锡期末）已知函数f(x)＝ex－x2－ax(a>0)．
(1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0 成立；
(2) 若函数y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：0，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)
进而f(x)>f(0)＝1>0，即对于任意x>0，都有f(x)>0.(6分)
(2) f′(x)＝ex－ax－a，因为x1，x2为f(x)的两个极值点，
所以即
两式相减，得a＝
两式相减，得a＝，(8分)
则所证不等式等价