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福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），文件包含福建省三明市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题docx、三明一中2023-2024学年下学期3月月考高二数学答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中含项的系数为（ ）
A.-30 B.0 C.15 D.30
2.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. B. C.2 D.
3.某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件表示“甲选手答对第一道题”，事件表示“甲选手答对第二道题”，则（ ）
A. B. C. D.
4.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A.10 B.20 C.24 D.30
5.四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种
7.已知，则（ ）
A.-15 B.-6 C.6 D.15
8.已知定义在上的函数的导数为，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ）
A.第9行中从左到右第6个数是126
B.
C.
D.
10.已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A.
B.
C.
D.以上均不正确
11.已知直线分别与函数和的图象交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
13.函数的极大值为__________.
14.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若股子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若股子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷次股子后，记球在甲手中的概率为，则__________；__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和.（用数字作答）
16.（15分）车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
17.（15分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
18.（17分）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖.顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响.
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列.
19.（17分）已知函数的导函数为.
（1）证明：函数有且只有一个极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
三明一中2023-2024学年下学期3月月考高二数学科试卷
参考答案
一､选择题1-12
二､填空题：
12.64 13. 14.；
三､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解.
【详解】（1）依题意，展开式的通项公式
，
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此，解得，
所以的值为7.
（2）由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为.
16.185种选派方法.
【分析】方法一：设代表2位老师傅，分情况利用组合数即可求解.方法二：分三种情况，5名男钳工有名被选上，利用组合数即可求解.方法三：4名女车工都被选
上､有3名被选上或有2名被选上，利用组合数即可求解.
【详解】方法一：设代表2位老师傅.
都不在内的选派方法有（种），
都在内且当钳工的选派方法有（种），
都在内且当车工的选派方法有（种），
都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有（种），
有一人在内且当钳工的选派方法有（种），
有一人在内且当车工的选派方法有（种），
所以共有
（种）选派方法.
方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有（种），
5名男钳工有3名被选上的方法有（种），
5名男钳工有2名被选上的方法有（种），
所以共有（种）选派方法.
方法三：4名女车工都被选上的方法有（种），
4名女车工有3名被选上的方法有（种），
4名女车工有2名被选上的方法有（种），
所以共有（种）选派方法.
17.（1）0.054
（2）
【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，记事件：这个零件是次品，
由题意可得，
由全概率公式可得：
.
（2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
.
18.（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列.
【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件A，
则；
（2）由题意可知的可能取值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
19.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）求导，结合函数单调性及零点存在定理说明的单调性即可证明；
（2）换元，并分离参数求函数最值即可求解.
【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，且，令，则，
所以（即在上单调递增，
又，
所以在上有唯一零点，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且只有一个极值点.
（2）恒成立，
即恒成立，
即恒成立，即恒成立.
令，则，所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，解得，
即实数的取值范围为.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
A
D
D
C
A
A
A
ABD
ABC
ABD
0
10
40
90
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.的展开式中含项的系数为（ ）
A.-30 B.0 C.15 D.30
2.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. B. C.2 D.
3.某单位开展主题为“学习强国，我学习我成长”的知识竞赛活动，甲选手答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为.用事件表示“甲选手答对第一道题”，事件表示“甲选手答对第二道题”，则（ ）
A. B. C. D.
4.某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A.10 B.20 C.24 D.30
5.四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A.150种 B.300种 C.720种 D.1008种
7.已知，则（ ）
A.-15 B.-6 C.6 D.15
8.已知定义在上的函数的导数为，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（ ）
A.第9行中从左到右第6个数是126
B.
C.
D.
10.已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（ ）
A.
B.
C.
D.以上均不正确
11.已知直线分别与函数和的图象交于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有__________种（用数字作答）.
13.函数的极大值为__________.
14.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若股子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若股子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷次股子后，记球在甲手中的概率为，则__________；__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和.（用数字作答）
16.（15分）车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？
17.（15分）现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为，第2台车床加工的零件次品率为，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为，从这些零件中任取一个.
（1）求这个零件是次品的概率；
（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.
18.（17分）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖.顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖.小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响.
（1）求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
（2）设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列.
19.（17分）已知函数的导函数为.
（1）证明：函数有且只有一个极值点；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
三明一中2023-2024学年下学期3月月考高二数学科试卷
参考答案
一､选择题1-12
二､填空题：
12.64 13. 14.；
三､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解.
【详解】（1）依题意，展开式的通项公式
，
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此，解得，
所以的值为7.
（2）由（1）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为
当时，展开式中对应的有理项为
所以展开式中有理项的系数之和为.
16.185种选派方法.
【分析】方法一：设代表2位老师傅，分情况利用组合数即可求解.方法二：分三种情况，5名男钳工有名被选上，利用组合数即可求解.方法三：4名女车工都被选
上､有3名被选上或有2名被选上，利用组合数即可求解.
【详解】方法一：设代表2位老师傅.
都不在内的选派方法有（种），
都在内且当钳工的选派方法有（种），
都在内且当车工的选派方法有（种），
都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有（种），
有一人在内且当钳工的选派方法有（种），
有一人在内且当车工的选派方法有（种），
所以共有
（种）选派方法.
方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有（种），
5名男钳工有3名被选上的方法有（种），
5名男钳工有2名被选上的方法有（种），
所以共有（种）选派方法.
方法三：4名女车工都被选上的方法有（种），
4名女车工有3名被选上的方法有（种），
4名女车工有2名被选上的方法有（种），
所以共有（种）选派方法.
17.（1）0.054
（2）
【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：记事件：第一台车床加工的零件，记事件：第二台车床加工的零件，记事件：这个零件是次品，
由题意可得，
由全概率公式可得：
.
（2）解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为
.
18.（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）设出事件，分两种情况讨论：第一次抽中但第二次没抽中，前两次抽中但第三次没抽中，结合独立事件和互斥事件的概率计算公式求解出结果；
（2）先分析的可能取值，然后计算出对应概率，由此可求的分布列.
【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件A，
则；
（2）由题意可知的可能取值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
19.（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）求导，结合函数单调性及零点存在定理说明的单调性即可证明；
（2）换元，并分离参数求函数最值即可求解.
【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，且，令，则，
所以（即在上单调递增，
又，
所以在上有唯一零点，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数有且只有一个极值点.
（2）恒成立，
即恒成立，
即恒成立，即恒成立.
令，则，所以，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，解得，
即实数的取值范围为.1
2
3
4
5
6
7
8
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D
A
D
D
C
A
A
A
ABD
ABC
ABD
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