福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省三明市第一中学2024-2025学年高二上学期8月开学考试数学试卷（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ）

A. B. C. D.
2. 若构成空间一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量
B. 若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直
C. 是任意一个平面的一个法向量
D. 一个平面的法向量是不唯一的
4. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）

A 1B. 2C. 4D. 8
7. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A. B. 1C. D.
8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ）

A.
B. 当时，
C. 若，，则
D. 平行六面体的体积
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则，使得D. 若，则
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则向量，夹角是锐角
B. 空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
11. 在四面体中，已知，，则（ ）
A. 直线AC与DB所成的角为
B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为
D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，，且，则________．
13. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________.
14. 正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
16. 已知空间三点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若，，求．
17. 如图，在平行六面体中，，.

（1）求体对角线的长度；
（2）求证：四边形为正方形.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，.
（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）证明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.三明一中2024-2025学年上学期高二8月月考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 如图，在长方体中，，，，点P是的中点，则点P的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的坐标的写法，结合中点公式，即可求解.
【详解】由题意，长方体中，，，，
可得，
因为点为的中点，由中点公式可得，点的坐标为.
故选：A.
2. 若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共面的条件对选项逐一分析即可.
【详解】构成空间的一组基底，则不共线，
假设共面，则存在不全为零的实数，使，即，
则，则，与不共线矛盾，故不共面；
，故共面；
，故共面；
，故共面.
故选：.
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量
B. 若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直
C. 是任意一个平面的一个法向量
D. 一个平面的法向量是不唯一的
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方向向量的定义，平面的法向量的定义及性质即可判断.
【详解】对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量，是正确的；
对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若是平面的一个法向量，则与平面内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；
对于C，由平面的法向量的定义可知，是任意一个平面的一个法向量，是错误的；
对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的.
故选：C.
4. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则，
∴．
故选:B．
5. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，
故选：C.
6. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）

A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，
由数量积的几何意义可知，.
故选：A
7. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果.
【详解】由题意取，则，
所以到的距离为
.
故选：C
8. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ）

A.
B. 当时，
C. 若，，则
D. 平行六面体的体积
【答案】C
【解析】
【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断.
【详解】对于A，，而，故，正确；
对于B，，当时，有意义，则，正确；
对于C，因为，，所以，，所以，错误；
对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，
就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则，使得D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线线，线面，面面位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系.
【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若，则，
所以则，使得，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：ACD.
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则向量，的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.
【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误；
对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.
对C，因为，且，所以四点共面,故C正确.
对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故选：BC.
11. 在四面体中，已知，，则（ ）
A. 直线AC与DB所成的角为
B. 直线AD与平面ABC所成角的正弦值为
C. 平面ABC与平面ABD夹角的余弦值为
D. 若E，F分别是AB，CD上的动点，则EF的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意，把四面体放置在一个长方体中，设长方体棱长分别为，求得，以为坐标原点，结合向量的坐标运算，以及向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，把四面体放置在一个长方体中，如图所示，
设长方体的棱长分别为，可得，解得，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
对于A中，直线与为异面直线，所以直线与所成的角，
则，所以A不正确；
对于B中，由，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角为，
可得，所以B正确；
对于C中，由，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，
设平面和平面所成的角为，
可得，所以C正确；
对于D中，取的中点，分别连接，
因为，可得和，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证，
所以线段为异面直线和的公垂线段，即和上两动点的最短距离，
又由，，所以，即和上两动点的最短距离为，
所以D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.
【详解】由于，所以，解得，
故答案为：2
13. 已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量为平面的法向量，则z＝________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间位置的向量关系即可求解.
【详解】平面的法向量为，依题意，，则，
因此，所以.
故答案为：
14. 正方体的棱长为分别为上的点，，分别为上的动点.若点在同一球面上，当平面时，该球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标，求出平面的法向量，根据平面，可得,进而求出的坐标，再根据外接球球心O在过的外心且垂直面ABP的垂线MN上，结合球心到球面上任何一点的距离都相等，即可求出半径以及球的表面积.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设平面的法向量为，，
则，令，解得，所以，
又平面，所以,所以，
解得：，
再根据下图：作的平行线,分别为的中点，连接,
因为为直角三角形，故的外接球球心在过的外心且垂直面的垂线上，
连接GO,根据球心到球面上任何一点的距离都相等，
故,故,由题可设，,所以，
又,
所以,解得：，所以
所以,
所以球的表面积为,
故答案为：
【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由于是的中点,所以，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
（2）由于是的中点,所以，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；
（3）由于，分别，的中点，所以，又是的中点，，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；
【小问1详解】
解：因为是的中点，所以，
所以，；
【小问2详解】
解：因为是的中点,所以，
所以，；
【小问3详解】
解：因为，分别，的中点，所以，
又是的中点，，
所以， .
16. 已知空间三点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求实数的值；
（2）若，，求．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案.
【小问1详解】
，
故，
，
因为互相垂直，所以，
解得或；
【小问2详解】
，
设，则且，
解得或，
故或；
17. 如图，在平行六面体中，，.

（1）求体对角线长度；
（2）求证：四边形为正方形.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出.
（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得.
【小问1详解】
在平行六面体中，，
由，，
得，
所以.
【小问2详解】
在平行六面体中，，则四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，即，则为菱形；
又，则，即，
所以四边形为正方形.
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，.
（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；
（ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可.
【小问1详解】
取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点，
∴，∵，∴，
∴四边形ABMN是平行四边形，∴，
又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．
【小问2详解】
∵，∴，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC，
∴平面ABCD，
又AD，平面ABCD，∴，而，，
∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图：则，
∵M为棱PC的中点，
∴
（i），
设平面BDM的一个法向量为n=x,y,z，
则，令，则，∴，
平面PDM的一个法向量为，
∴，
所以平面面夹角的余弦值为.
（ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是，
设，
则，
由（2）知平面BDM的一个法向量为，，
∴点Q到平面BDM的距离是，
∴，∴．
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）证明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明；
（2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解；
（3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解.
【小问1详解】
取平面内的任意两点，，
则两式相减得，，
即，所以，从而，
故是平面的法向量.
【小问2详解】
记平面，的法向量为，，
设直线l的方向向量，
因为直线l为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线l的单位方向向量为.
【小问3详解】
设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面、、的法向量为，，，
与（2）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题.