陕西省西安市蓝田县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

C（北师大版）

2023～2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学

（建议完成时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.下列一元二次方程中，二次项系数为1且一次项系数为3的是（        ）

A.   B.    C.   D.

2.关于矩形的性质，以下说法不正确的是（        ）

A.对角互补    B.是中心对称图形  C.是轴对称图形   D.对角线互相垂直

3.如图，四边形ABCD是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，顶点D在x轴的正半轴上，则顶点B的坐标是（        ）

（第3题图）

A. B.    C.     D.

4.方程根的符号是（        ）

A.两根一正一负   B.两根都是负数   C.两根都是正数   D.无法确定

5.利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则m，n的值分别为（        ）

A.，   B.，  C.，   D.，

6.已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，下列结论不正确的是（        ）

A.当时，它是矩形      B.当AC⊥BD时，它是矩形

C.当AC平分∠BAD时，它是菱形     D.当时，它是菱形

7.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EC⊥BD，垂足为点C，若，EF⊥CF，.则BE的长为（        ）

（第7题图）

A.3      B.     C.     D.

8.已知a、b、c是△ABC的三边，并且关于x的方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，正确的结论是（        ）

A.等腰三角形   B.直角三角形   C.等腰直角三角形  D.等边三角形

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是           .（写出一个即可）

10.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形的面积为           .

（第10题图）

11.王刚同学在解关于x的方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为           .

12.如图，在高3m，长4m的矩形墙面上有一块矩形装饰板（图中阴影部分），装饰板的上面和左右两边都留有相同宽度的空白墙面.若矩形装饰板的面积为4，设相同宽度的空白墙面的宽度为x m，根据题意列方程为           .

（第12题图）

13.如图，在矩形ABCD中，，点E是矩形ABCD内一点，连接BE、CE，，连接DE并延长交BC于点M，点F在BE上，连接CF，，若，则CM的长为           .

（第13题图）

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.（5分）

解方程：.

15.（5分）

如图，在矩形ABCD中，，，AC与BD交于点O.求△BOC与ADOC的周长差.

（第15题图）

16.（5分）

关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值.

17.（5分）

如图，在正万形ABCD中，E、F分别为AB、BC边上的点，且，连接CE，延长AB至G使得，延长GF交CE于点H，求证：GH⊥CE.

（第17题图）

18.（5分）

如图，在四边形ABCD中，，点O是四边形ABCD内一点，连接OA、OB、OD，，，，求证：四边形ABCD是菱形.

（第18题图）

19.（5分）

我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.

（1）请判断方程是不是倍根方程；并说明理由；

（2）若是倍根方程，则           .

20.（5分）

如图，点O是菱形ABCD内的一点，连接OB，OC，BO平分∠ABC，，.请判断四边形ABCD是正方形吗？并说明理由.

（第20题图）

21.（6分）

已知关于x的一元一次方程.若一个面积为15的矩形的两邻边长正好是方程的两根，求该矩形的周长.

22.（7分）

如图，菱形ABCD中，，点E在边BC上，点F在边CD上.若E是BC的中点，连接AE、AF、EF，，求证：F是CD的中点.

（第22题图）

23.（7分）

“唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻峨眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人.某文创产品店销售唐妞团扇，团扇的成本为8元/把.据市场分析，销售单价定为10元/把时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20把.针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元/把？

（第23题图）

24.（8分）

如图，在中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F.

（第24题图）

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）若四边形ABCD为菱形，H为AB的中点，连接OH，若，，求OH的长.

25.（8分）

阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.

例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解.

再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，

解得：，，

∵且，

∴不是原方程的解，

∴原方程的解为.

请仔细阅读材料，解下列方程：

（1）；

（2）.

26.（10分）

问题解决：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且，连接AE，BF，设AE、BF交于H.请判断AE与BF的数量关系和位置关系.并说明理由；

图1

拓展深究：

（2）如图2，若将边长为4的正方形ABCD折叠，使得点A落在BC的中点E处，折痕为GF，点在AB边上，点F在CD上，连接AE、GE，求折痕GF的长.

图2

C（北师大版）

2023～2024学年度第一学期第一次阶段性作业

九年级数学参考答案及评分标准

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1.A  2.D  3.A  4.C  5.D  6.B  7.C  8.B

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.0（答案不唯一） 10. 11.， 12.（他形式正确也可） 13.3

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.解：，

∴，，，

，

，

所以，.

（注：其他解法正确也可）

15.解：

∵矩形ABCD中，，，

∴，，

∴的周长的周长，

∴与的周长之差为2.

16.解：

∵关于x的方程有实数根，

∴，

∴，

解得：，

∵m为正整数，

∴.

17.证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

18.证明：

∵，，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形ABCD是菱形.

19.解：

（1）方程是倍根方程，

理由如下：

由方程，

解得，，

∴，

∴方程是倍根方程.

（2）1或4.

20.解：四边形ABCD是正方形.

理由如下：

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵BO平分∠ABC，

∴，

∴四边形ABCD是正方形.

21.解：

设矩形两邻边分别为：a，b，

∵矩形面积为15，

∴，

∴，

解得，（舍去），

∴原方程化为，

∴矩形的两邻边长之和为9，

∴矩形的周长为18.

22.证明：连接AC，

∵在菱形ABCD中，，

∴，.

∴△ABC等边三角形，

∴E是BC的中点，

∴.

∵，

∴.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴，

∴F是CD的中点.

23.解：设销售单价应定为x元，所以每把团扇盈利元，

由题意可得，，

解得：，，

因为要让顾客得到实惠，所以取，

∴销售单价应定为12元/把.

24.（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴.

∵，

∴四边形AECF是平行四边形.

∵AE⊥BC，

∴，

∴四边形AECF是矩形.

（2）解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴，，

∵四边形AECF是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵H为AB的中点，

∴，

∴OH是△ABC的中位线，

∴.

25.解：

（1），

，

∴或.

解方程，得或，

∴，，.

（2），

方程两边平方，得，

即，

整理，得.

解得，.

经检验，是原方程的解.

∴原方程的解为.

26.解：

（1），且.

理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

在△ABE和△BCF中，

，

∴，

∴，.

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，且.

（2）如图，过点G作于M，

在正方形ABCD中，，

∴，

∴四边形AGMD是矩形，，

由翻折变换得，

∵，，

∴.

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴.

∵点E是BC的中点，

∴，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，，

∴GF的长为.