2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x−2)=x2−2xB. (x+1)2=x2+2x+1
C. x+2=x(1+2x)D. x2−4=(x+2)(x−2)
3.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 24xB. −1−xx−1C. x+1x2+1D. x−1x2−1
4.如果不等式组x+4<3x−4x>n的解集是x>4，则n的范围是( )
A. n≥4B. n≤4C. n=4D. n<4
5.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是( )
A. AE=DF
B. ∠A=∠D
C. CD=AE
D. AB=DC
6.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是( )
A. 20°
B. 35°
C. 40°
D. 70°
7.如图，AE于BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是( )
A. AE、BF是△ABC的内角平分线B. 点O到△ABC三边的距离相等
C. CG也是△ABC的一条内角平分线D. AO=BO=CO
8.如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是( )
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
9.有一捆粗细均匀的钢筋总质量为m千克，如果从中截下2米长的一段，称得其质量为n千克，那么这捆钢筋的总长度为( )
A. mn米B. 2mn米C. mn2米D. (2mn−2)米
10.将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=4，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，点A的对应点A′的坐标为( )
A. (0,4)
B. (−2 3,2)
C. (2 3,2)
D. (0,−4)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子 x−2024x−2024有意义，则x的取值范围是______．
12.一种药品的说明书上写着：“每日用量90～150mg，分2～3次服完”，若每次服用这种药的剂量为x(mg)，则x的取值范围是______．
13.如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是______．
14.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是______．
15.如图，△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=24°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得△DEC，若CD交AB于点F，当α=______时，△ADF为等腰三角形．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
(1)解不等式组：5x−6≤2(x+3)3x+14>1−x−13．
(2)先化简，再求值：x2−6x+9x2−9÷x−1x+3，其中x=3− 3．
17.(本小题8分)
利用因式分解说明：257−512能被12整除．
18.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(−2,2)，B(0,5)，C(0,2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．
(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(−2,−6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19.(本小题10分)
如图，直线l1：y=12x+32与y轴的交点为A，直线l1与直线l2：y=kx的交点M的坐标为M(3,a)．
(1)a= ______，k= ______；
(2)直接写出关于x的不等式12x+32≥kx的解集______；
(3)求△AOM的面积．
20.(本小题10分)
王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求m和n的值．
解：m2+2mn+2n2−6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2−6n+9=0．
即(m+n)2+(n−3)2=0，
∴m+n=0，n−3=0，
∴m=−3，n=3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
(1)若x2−4xy+5y2+2y+1=0，求xy的值；
(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2−10a+b2−12b+61=0，求此三角形的周长．
21.(本小题16分)
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
(1)如图1，△OAB为等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE= ______°，OF与DE的数量关系是______；
迁移探究：
(2)如图2，(1)中的其他条件不变，当△OAB绕点O逆时针旋转，点D正好落在∠AOB的角平分线上，得到△ODE，求出此时∠BAE的度数及OF与DE的数量关系；
拓展应用：
(3)如图3，在等腰三角形OAB中，OA=OB=4，∠AOB=90°.将△OAB绕点O旋转，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF.当∠EAB=15°时，请直接写出OF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】
解：A.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
3.【答案】C
【解析】解：A、24x=2x，不是最简分式，不符合题意；
B、−1−xx−1=−1，不是最简分式，不符合题意；
C、x+1x2+1是最简分式，符合题意；
D、x−1x2−1=x+1，不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，关键是记忆一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】B
【解析】解：x+4<3x−4⋯ ①x>n⋯ ②，
解①得：x>4，
∵不等式组解集是x>4，
∴n≤4．
故选B．
首先解第一个不等式求得不等式的解集，然后根据不等式组解集是x>4，即可确定n的范围．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、<较大的数，那么解集为x介于两数之间．
5.【答案】D
【解析】解：条件是AB=DC，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
AB=DCBE=CF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选：D．
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及角平分线的定义，关键是熟知等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据等腰三角形的三线合一的性质可得AD⊥BC，根据直角三角形的两个锐角互余可求得∠ACD的度数，再根据角平分线的定义即可求得∠ACE的度数．
【解答】
解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠CAD=20°，
∴∠ACD=90°−∠CAD=90°−20°=70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=12∠ACD=35°．
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：∵由尺规作图的痕迹可得AE、BF是△ABC的内角平分线，
∴点O到△ABC三边的距离相等，CG也是△ABC的一条内角平分线，
故D选项不正确，
故选：D．
利用尺规作图的痕迹可得AE、BF是△ABC的内角平分线，即可得出答案．
本题主要考查了基本作图及角平分线的性质，解题的关键是熟记角平分线的作图方法．
8.【答案】C
【解析】解：∵在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠CBE=∠1，
而∠CBE+∠2=60°，
∴∠1+∠2=60°．
故选：C．
在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，由此可以证明△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠1，而∠CBE+∠2=60°，所以∠1+∠2=60°．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定等内容，比较简单．
9.【答案】B
【解析】解：这捆钢筋的总长度为m⋅2n=2mn(米)，
答：这捆钢筋的总长度为2mn米．
故选：B．
先求出1千克钢筋的长度，即2n米，再求出m千克钢筋的长度．
本题主要考查了列代数式问题，能够求出1千克钢筋的长度是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵OA=4，∠AOB=30°，
∴A(2 3,2)，
∵三角板每秒旋转60°，
∴点A′的位置6秒一循环．
∵2022÷6=337，
∴第2022秒时，点A的对应点A′的坐标为(2 3,2)．
故选：C．
由题意点A(2 3,2)，再由三角板每秒旋转60°，可得出点A′的位置6秒一循环，由此即可得出第2022秒时，点A的对应点A′的坐标与A点坐标相同，此题得解．
本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点A′的位置6秒一循环是解题的关键．
11.【答案】x>2024
【解析】解：由题意得：x−2024>0，
解得：x>2024，
故答案为：x>2024．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】30≤x≤75
【解析】解：由题意，每日用量90～150mg，分2～3次服完，
则90÷2=45mg，150÷2=75mg，
90÷3=30mg，150÷3=50mg，
若每天服用2次，则所需剂量为45～75mg之间，
若每天服用3次，则所需剂量为30～50mg之间，
故一次服用这种药的剂量为30～75mg之间．
则x的取值范围是：30≤x≤75．
故答案为：30≤x≤75．
确定每天服用90mg，2次或3次每次的剂量；每天服用150mg，2次或3次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可．
本题考查不等式的定义，应找到每天服用90mg时2次或3次每次的剂量；每天服用150mg时2次或3次每次的剂量，然后找到最大值与最小值确定范围即可．
13.【答案】±30
【解析】解：∵(3x±5)2=9x2±30x+25，
∴在9x2+kx+25中，k=±30．
故答案是：±30．
本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx=±2×3x×5=±30x，故k=±30．
本题考查了完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．
14.【答案】3
【解析】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
12×4×2+12×AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为3．
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】28°或44°
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【解答】
解：∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=12(180°−α)，
∴∠DAF=∠DAC−∠BAC=12(180°−α)−24°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=24°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，12(180°−α)=12(180°−α)−24°，无解，
②∠ADF=∠AFD时，12(180°−α)=24°+α，解得α=44°，
③∠DAF=∠AFD时，12(180°−α)−24°=24°+α，解得α=28°，
综上所述，旋转角α度数为28°或44°．
故答案为：28°或44°．
16.【答案】解：(1)5x−6≤2(x+3)①3x+14>1−x−13②，
解不等式①，得：x≤4，
解不等式②，得：x>1，
∴原不等式组的解集为1(2)x2−6x+9x2−9÷x−1x+3
=(x−3)2(x+3)(x−3)⋅x+3x−1
=x−3x−1，
当x=3− 3时，原式=3− 3−33− 3−1=−2 3−3．
【解析】(1)先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
(2)先化简所求式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式=(52)7−512
=514−512
=512(52−1)
=512×24
=512×12×2，
∴257−512能被12整除．
【解析】利用提公因式法对原式进行变形，即257−512=512×12×2，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求；
(3)旋转中心坐标(0,−2)．
【解析】(1)利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
(2)利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
(3)利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
19.【答案】3 1 x≤3
【解析】解：(1)∵直线l1与直线l2的交点为M(3,a)，
∴M(3,a)在直线y=12x+32上，也在直线y=kx上，
∴a=12×3+32=3，
∴M(3,3)，
∴3=3k，
解得k=1；
故答案为：3，1；
(2)观察图象可知，不等式12x+32≥kx的解集为x≤3；
故答案为：x≤3；
(3)∵直线l1：y=12x+32与y轴的交点为A，
∴A(0,32)，
∴OA=32，
∵M(3,3)，
∴S△AOM=12OA⋅xA=12×32×3=94．
(1)把M(3,a)代入y=12x+32求得a，把M(3,3)代入y=kx，即可求得k的值；
(2)根据图象即可求得；
(3)求得A的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交问题，三角形面积，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵x2−4xy+5y2+2y+1=0，
∴x2−4xy+4y2+y2+2y+1=0，
即(x−2y)2+(y+1)2=0，
∴x−2y=0，y+1=0，
解得x=−2，y=−1，
∴xy=(−2)×(−1)=2；
(2)∵a2−10a+b2−12b+61=0，
∴(a−5)2+(b−6)2=0，
∴a−5=0，b−6=0，
∴a=5，b=6，
当a为腰长时，5，5，6能组成三角形，△ABC的周长=5+5+6=16；
当b为腰长时，5，6，6能组成三角形，△ABC的周长=5+6+6=17．
∴此三角形的周长为16或17．
【解析】(1)已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出x、y的值；
(2)由a2+b2=10a+12b−61，应用因式分解的方法，判断出(a−5)2+(b−6)2=0，求得a、b的值，再分a为腰长，b为腰长两种情况，分别求出三角形的周长．
此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
21.【答案】解：(1)90；DE=2OF．
(2)由旋转的性质，可知△OAB≌△ODE，
∵△OAB为等边三角形，OD平分∠AOB，△ODE为等边三角形，
∴∠DOE=60°，∠AOD=12∠AOB=30°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，∠BAE=∠OAB−∠OAE=15°，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴DE=OE= 2OF．
(3)2 3或2．
【解析】【分析】
此题主要考了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练进行分类讨论是解本题的关键．
(1)证明△OAB为等边三角形，根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，求出∠AOE=120°，根据等腰三角形的性质可得∠DAE=30°，OF⊥AE，即可得∠BAE=90°，DE=OA=2OF；
(2)根据旋转的性质得△OAB≌△ODE，由OD平分∠AOB得∠AOD=30°，可得∠AOE=90°，∠OAE=45°，即可得∠BAE=15°，根据等腰直角三角形的性质可得DE= 2OF；
(3)分以下两种情况进行讨论：①当点E在OB右边时，②当点E在OB左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：(1)∵△OAB为等腰三角形，OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，
∴△OAB≌△ODE，
∴△ODE为等边三角形，OA=OB=AB=DE=OE，∠AOB=∠OAB=60°，
∴∠AOE=120°，
∴∠AEB=∠OAE=30°，
∴∠BAE=90°，
∵OA=OE，F是AE的中点，
∴OF⊥AE，
∴DE=OA=2OF，
故答案为：90，DE=2OF；
(2)见答案；
(3)分以下两种情况进行讨论：
①如图3−1.当点E在OB右边时，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°．
∵∠EAB=15°，
∴∠OAE=60°，
由旋转的性质，得OA=OB=OE=OD=4，
∴△OAE为等边三角形，
∵F是AE的中点，
∴OF⊥AE，OF平分∠AOE，
∴∠AOF=12∠AOE=30°，
∴AF=12OA=2，
∴OF= 3AF=2 3；
②如图3−2，当点E在OB左边时，
同理，可得∠OAE=30°，OF⊥AE，
∴OF=12OA=2．
综上所述，OF的长为2 3或2．