2021-2022学年河南省郑州市金水区经纬中学九年级（下）开学数学试卷（一模）（含解析）

2021-2022学年河南省郑州市金水区经纬中学九年级（下）开学数学试卷（一模）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为 米． 用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某班数学老师结合中国共产党建党一百周年，在班级内组织了一堂“正方体展开图猜猜看”活动课，下图是该正方体展开图的一种，那么原正方体中，与“党”字所在面对面上的汉字是(    )

A. 礼 B. 年 C. 百 D. 赞

4. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

5. 已知：直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 郑州市某中学获评“年河南省中小学书香校园”，学校在创建过程中购买了一批图书．已知购买科普类图书花费元，购买文学类图书花费元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少本，求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图：已知菱形的顶点，且，点在轴的正半轴上．按以下步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交菱形的对角线于点，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在一个不透明的袋子里，有个黑球和个白球，除颜色外全部相同，现从中任意摸两个球，则摸到个黑球、个白球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是(    )
   图象与坐标轴的交点为和；
   当或时，函数值随值的增大而增大；
   当时，函数有最大值是；
   函数与直线有个公共点，则的取值范围是．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 已知一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象位于一、三象限，则______填，或
12. 若关于的不等式组的解集为，则取值范围是______．
13. 二次函数的图象上有三个点，分别为，，，则，，的大小关系是______．
14. 如图，正方形和正方形的边长分别为和，点、分别为、边上的点，为的中点，连接，则的长为______ ．

15. 如图，在扇形中，，，点是弧上一动点，连接，点是的中点，连接并延长，交于点，则图中阴影部分面积的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
17. 本小题分
    某校九年级有个班，每班名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取名学生作为一个样本经行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本书为，当时为一般读者；当时为良好读者；当时为优秀读者．
    下列四种抽取方法最具有代表性的是______ ；
    A.随机抽取一个班的学生   随机抽取名学生
    C.随机抽取名男生      随机抽取名女生
    由上述最具代表性的抽取方法抽取名学生一学期阅读本数的数据如下：
                                       
                                         
                                     
                                  
    根据以上数据回答下列问题
    求样本中优秀读者的频率；
    估计该校九年级优秀读者的人数；
    在样本为一般读者的学生中随机抽取人，用树形图或列表法求抽得人的课外书籍阅读本数都为的概率．
18. 本小题分
    如图所示，某工程队准备在山坡山坡视为直线上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡处不计此人身高观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为已知塔高米，塔所在的山高米，米，图中的点、、、、在同一平面内，求山坡的坡度．参考数据，；，
     

19. 本小题分
    小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称
    下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是______；
    ；；；．
    已知二次函数的图象上存在不同的两点与关于原点对称，其中．
    求及的值；
    点是该二次函数图象上点，之间的一个动点含端点，，若点的纵坐标最小值为，求此二次函数解析式．
20. 本小题分
    定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
    
    如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示．
    如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连接并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角．
21. 本小题分
    某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入，试销的天中，该村第一天卖出土特产千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出千克，第天的售价为元千克，关于的函数解析式为，且第天的售价为元千克，第天的售价为元千克．已知土特产的成本是元千克，每天的利润是元利润销售收入成本．
    ______，______；
    求每天的利润元与销售的天数天之间的函数关系式；
    在销售土特产的天中，当天利润不低于元的共有多少天？
22. 本小题分
    如图，在中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，过点作射线的垂线，垂足为点，连接设，．
    小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
    下面是小石的探究过程，请补充完整：
    通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：

说明：补全表格时相关数据保留一位小数
建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
点是边的中点时，的长度约为______．
 

23. 本小题分
       问题发现
    如图，在和中，，，点时线段上一动点，连接．
    填空：
    的值为______； 的度数为______．
    类比探究
    如图，在和中，，，点是线段上一动点，连接请判断的值及的度数，并说明理由；
    拓展延伸
    如图，在的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．
    
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，，而，
所以，
所以最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．根据科学记数法的表示形式解答即可．
【解答】
解： ，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“礼”与“赞”是相对面，
“建”与“百”是相对面，
“党”与“年”是相对面；
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：
，
而，
，

，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式的值得到，再把代入得，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】
解：是的外角，
，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：设科普类图书平均每本的价格是元，则可列方程为：．
故选：．
直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少本得出等式进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作于．

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
由作图可知：平分，
，
，
，，
，
，
故选：．
如图，作于证明是等边三角形，求出即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的情况，其中摸到个黑球、个白球的情况有种，
摸到个黑球、个白球的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的情况，其中摸到个黑球、个白球的有种情况，再由概率公式求解即可．
本题考查的是画树状图法求概率，画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：，和坐标都满足函数，
是错误的；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此是正确的；
由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值并非最大值，故错误．
由图象可知，函数与直线有个公共点，则的取值范围是，故正确．
故选：．
由，和坐标都满足函数知是错误的；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此是正确的；
从图象上看，当或，函数值有大于的值，因此是错误的；
由图象可知，函数与直线有个公共点，则的取值范围是，故正确．
此题主要考查了二次函数的应用，理解“鹊桥”函数的定义，掌握它与之间的关系以及两个函数性质的联系和区别是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【解答】
解：从图可以看出，
时，的面积的表达式为二次函数，
时，函数值不变，故BC，
当后函数表达式为直线表达式；
时，；
当时，，
即，
故，
故选：．
【分析】
从图可以看出，时，的面积的表达式为二次函数，时，函数值不变，故BC，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．  

11.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，，
，得，
反比例函数的图象位于一、三象限，
，
，
故答案为：．
根据一次函数的图象经过点，，可以求得的值，根据反比例函数的图象位于一、三象限，可以判断的正负，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和一次函数的性质解答．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大并结合不等式组的解集可得的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次函数的解析式，
该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为．
，，为二次函数的图象上三个点，
且三点横坐标距离对称轴的距离远近顺序为：
、、，
三点纵坐标的大小关系为：．
故答案为．
二次函数的抛物线开口向上，对称轴为根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：延长交于，过作于，交于，

四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，
中，由勾股定理得：．
故答案为：．
作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得，从而得的长，根据矩形得，最后由勾股定理计算可得结论．
本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，，
当的值最大时，阴影部分的面积最小，
，
当时，的值最大，
此时，，
，
，
阴影部分的面积的最小值为：．
故答案为：．
根据，推出当的值最大时，阴影部分的面积最小，求出的最大值即可．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式

，
则当，时，原式． 

【解析】首先把分式进行化简，然后计算分式的除法，最后代入、的值计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解这类题的关键是利用分解因式的方法化简分式．
 

17.【答案】 

【解析】解：、、不具有全面性，
故选：；

样本中优秀读者人，
样本中优秀读者的频率为：；
该校九年级优秀读者的人数为：人；
画树状图得：

共有种等可能的结果，抽得人的课外书籍阅读本数都为的有种情况，
抽得人的课外书籍阅读本数都为的概率为：．
根据抽取方法的代表性可求得答案；
由样本中优秀读者人，即可求得样本中优秀读者的频率；
由可求得该校九年级优秀读者的人数；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得人的课外书籍阅读本数都为的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，过点作于，于，

则四边形为矩形．
在中，，，
；
在中，，，
；
，
，
，
解得米，
米，
米，
米，
米，
米，
，
坡度为：． 

【解析】过点作于，于，则四边形为矩形，先解，得出；解，得出；再根据，列出方程，求出，进而求出，，然后在中利用三角函数的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意，一次函数关于原点对称必经过原点，
故答案为：；

二次函数图像上点关于原点对称的点为，
把点代入二次函数解析式得：Ⅰ，
把点代入二次函数解析式得：Ⅱ，
Ⅰ式Ⅱ得：，
，
，
把代入Ⅰ得，，
，，
；
由知二次函数解析式为：，
二次函数图象对称轴为，
当时，因为，
所以的最小值为，
解得，此时二次函数解析式为；
当时，因为，
所以点的纵坐标即为的最小值，
即，解得不合题意，舍去．
综上所述，二次函数解析式为．
根据一次函数性质，关于原点对称，即属于正比例函数，据此判断即可；
二次函数图像上点关于原点对称的点为，将桌点代入二次函数中计算即可求得及的值；
将中结论代入得，，化为二次函数顶点式，据此分析最小值即可求得的值，从而求出二次函数解析式．
本题主要考查中心对称的性质，一次函数及二次函数点的特征，根据二次函数最值求参数等知识点，明确中心对称点的特征是解题关键
 

20.【答案】解：是中的遥望角，
，，
，
，
；
如图，延长到点，
四边形内接于，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，，
，
，
是的外角平分线，
是中的遥望角． 

【解析】根据遥望角的定义得到，，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
延长到点，根据圆内接四边形的性质得到，得到，根据圆周角定理得到，进而得到，根据遥望角的定义证明结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理、三角形外角性质、熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】 ，
由题意，第天的销售量为，
第天的售价为，
当时，
，
当时，
，
综上，，且为正整数，
当，时，
，
解得：，，
，
当时，，且为正整数，
可取，，，，，，，，，，，，，共天，
当，时，
，
解得：，
，
当时，，且为正整数，
可取，，共天，
天，
综上，当天利润不低于元的共有天． 

【解析】解：第天的售价为元千克，
当时，，
，
把，代入中，
，
解得：，
第天的售价为元千克，
当时，，
，
把代入中，
得：，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

根据“第天的售价为元千克，第天的售价为元千克”将和的值代入相应的函数解析式求解；
先求得第天的销售量，然后根据利润售价成本价销售量分段列出函数解析式；
结合一次函数和二次函数的性质及利润不低于元的条件分析求解．
本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
 

22.【答案】时，；
；
． 

【解析】解：由题意，测量得时，  
根据已知数据画出图象如下图：

根据题意测量可得约为
故答案为：
根据题意画图测量即可．
本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法，应用了数形结合的数学思想．
 

23.【答案】略 

【解析】解：，

，
，
，且，
∽

故答案为：，
，
理由如下：，，
，

，，
∽

，且
∽
，

若点在线段上，如图，

由知：，

，，
，
，且点是中点，
，
且是直角三角形
，

，

若点在线段延长线上，如图

同理可得：，
，
，

综上所述：的长为或
由直角三角形的性质可得，可得，通过证明∽，可得的值；
通过证明∽，可得的值，，即可求的度数；
分点在线段上和延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证，即可求，由相似三角形的性质可得，，
由勾股定理可求的长．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明∽是本题的关键．