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2020-2021学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷(1)
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这是一份2020-2021学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷(1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
3．（3分）若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＜﹣2nC．D．m2＞n2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
6．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．（3分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则C′点的坐标为（ ）
A．（1，）B．（1，）C．（1，1+）D．（1，3﹣）
8．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20B．24C．25D．26
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．3D．
10．（3分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．则下列结论：①BD＝CE：②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
一定正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是 ．
13．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ．
14．（3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
18．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．
19．（9分）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）．
（1）不等式x+3≤mx+的解集为 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
20．（9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
21．（10分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23．（11分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
2020-2021学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：左起第一、三个图形是中心对称图形，第二、四个图形不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
3．（3分）若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＜﹣2nC．D．m2＞n2
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵m＞n，
∴m+2＞n+2，﹣2m＜﹣2n，＞，
而m2不一定大于n2，例如﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．
【解答】解：，
解①得x≥1，
解②得x＜2，
利用数轴表示为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
6．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】利用三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的两边之和大于第三边，正确，不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，不符合题意；
C、三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分，正确，不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故原命题错误，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性，难度不大．
7．（3分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则C′点的坐标为（ ）
A．（1，）B．（1，）C．（1，1+）D．（1，3﹣）
【分析】根据图形中的数据，利用勾股定理可以得到AC的长，然后根据旋转的性质，即可得到点C′的坐标．
【解答】解：由图可得，AC＝＝，
∵将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，
∴AC′＝AC＝，
∴C′点的坐标为（1，1+），
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、坐标与图形的变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20B．24C．25D．26
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；
【解答】解：∵平移距离为4，
∴BE＝4，
∵AB＝8，DH＝3，
∴EH＝8﹣3＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴
∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．3D．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则OE垂直平分AC，
则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
10．（3分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．则下列结论：①BD＝CE：②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
一定正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，由全等三角形的性质得出AO＝AP，证明△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②错误；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴BD×AH＝CE×AF，且BD＝CE，
∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③正确；
如图，在线段PE上截取OE＝PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP＝AO，
∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO＝60°，且AP＝AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 3 ．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是 8cm ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△FDC、△EDB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠DCB＝∠CDF
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBE＝∠BDE，∠FCD＝∠DCB＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△AEF的周长＝AF+FE+AE＝AF+DF+DE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC，
∵AB＝5cm，AC＝3cm，
∴△AEF的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，熟练掌握平行线的性质和对相等的线段进行有效的等量代换是解答本题的关键．
13．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a＝1．
14．（3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ．
【分析】根据定义先列不等式：2x﹣1≥﹣x+3和2x﹣1＜﹣x+3，确定其y＝min{2x﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
【解答】解：由题意得：
，
解得：，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，
∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，
∴当x＜时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，
如图所示，当x＝时，y＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ＝ 20°或40° ．
【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD＝BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝30°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×（30°+θ）＝180°，
解得θ＝20°；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，
即90°﹣θ＝30°+θ，
解得θ＝40°；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+30°+θ＝210°＞180°（不合题意），
故答案为：20°或40°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所有整数解的和为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）连接B1B2、C1C2、A1A2，它们相交于一点，则这个点为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形．对称中心的坐标为（，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．
【分析】如图，作辅助线；证明△DGF≌△ECF，得到DG＝CE，此为解决该问题的关键性结论；证明BD＝GD，即可解决问题．
【解答】证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；
则△DGF≌△ECF，
∴DG＝CE；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其应用、全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
19．（9分）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）．
（1）不等式x+3≤mx+的解集为 x≤﹣1 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）直线y＝x+3落在直线y＝mx+下方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（2）先将点M（﹣1，b）代入y＝x+3，求出b，得到M（﹣1，2），把M（﹣1，2）代入y＝mx+，求出直线BD的解析式，得到B（2，0）．再求出A（﹣3，0），那么AB＝5，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+相交于点M（﹣1，b），
∴不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．
故答案为x≤﹣1；
（2）∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），
∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），
将M（﹣1，2）代入y＝mx+，
得2＝﹣m+，解得m＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．
∴AB＝5，
∴S△ABM＝×5×2＝5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积．
20．（9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后求出∠DEM+∠MDE＝90°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DME＝90°，最后根据垂直的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴∠DEM+∠MDE＝∠DEM+∠ADB+∠ADE＝∠DEM+∠AEC+∠ADE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
在△DEM中，∠DME＝180°﹣（∠DEM+∠MDE）＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
21．（10分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
∴，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30﹣z），
∴z≥，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 12 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，将y＝4x+，写成y＝4x+可得答案；
（2）将y＝x+化为若y＝x﹣3++3，再根据提供的方法求解即可；
（3）得出长方形的长、宽、面积之间的关系式，再联系（1）中的方法求解．
【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得，
y＝4x+＝4x+≥2＝12，
∴当4x＝时，即x＝时，y的最小值为12，
故答案为：，12；
（2）∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9，
当x﹣3＝时，即x＝6时，y的最小值为9，
答：当x＝6时，y的最小值为9；
（3）设这个长方形的长为xm，则宽为＝（50﹣x）m，
∴长方形的面积S＝x（50﹣x），
由题意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50，
由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2，
即≤25，
但且仅当x＝50﹣x时，即x＝25时，x•（50﹣x）取最大值，最大值为25×（50﹣25）＝625，
此时宽为50﹣x＝25，S最大值为625，
答：当长方形的长、宽均为25m时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为625m2．
【点评】本题考查分式的乘除法，理解阅读材料中所提供的方法是解决问题的关键．
23．（11分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 EF＝BE+DF ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解答】解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
【点评】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
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1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
3．（3分）若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＜﹣2nC．D．m2＞n2
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
6．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7．（3分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则C′点的坐标为（ ）
A．（1，）B．（1，）C．（1，1+）D．（1，3﹣）
8．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20B．24C．25D．26
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．3D．
10．（3分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．则下列结论：①BD＝CE：②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
一定正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是 ．
13．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 ．
14．（3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
18．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．
19．（9分）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）．
（1）不等式x+3≤mx+的解集为 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
20．（9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
21．（10分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
23．（11分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
2020-2021学年河南省郑州市金水区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：左起第一、三个图形是中心对称图形，第二、四个图形不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．（3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17B．15C．13D．13或17
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
3．（3分）若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．m+2＞n+2B．﹣2m＜﹣2nC．D．m2＞n2
【分析】利用不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵m＞n，
∴m+2＞n+2，﹣2m＜﹣2n，＞，
而m2不一定大于n2，例如﹣1＞﹣2，（﹣1）2＜（﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可．
【解答】解：，
解①得x≥1，
解②得x＜2，
利用数轴表示为：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．（3分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．
【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，
∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．
6．（3分）下列命题中，错误的是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】利用三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的两边之和大于第三边，正确，不符合题意；
B、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，不符合题意；
C、三角形的一条中线能将三角形的面积分成相等的两部分，正确，不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故原命题错误，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、角平分线的性质、三角形的中线的性质及等边三角形的对称性，难度不大．
7．（3分）如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则C′点的坐标为（ ）
A．（1，）B．（1，）C．（1，1+）D．（1，3﹣）
【分析】根据图形中的数据，利用勾股定理可以得到AC的长，然后根据旋转的性质，即可得到点C′的坐标．
【解答】解：由图可得，AC＝＝，
∵将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，
∴AC′＝AC＝，
∴C′点的坐标为（1，1+），
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、坐标与图形的变化﹣旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（3分）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（ ）
A．20B．24C．25D．26
【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四边形ABEH＝S阴即可解决问题；
【解答】解：∵平移距离为4，
∴BE＝4，
∵AB＝8，DH＝3，
∴EH＝8﹣3＝5，
∵S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ABEH＝S阴
∴阴影部分的面积为＝×（8+5）×4＝26
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（ ）
A．2B．4C．3D．
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代换得到FC＝AF＝3，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，则OE垂直平分AC，
则AF＝FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
10．（3分）如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．则下列结论：①BD＝CE：②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．
一定正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性质可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面积公式可得AH＝AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性质可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，由全等三角形的性质得出AO＝AP，证明△APO是等边三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②错误；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴BD×AH＝CE×AF，且BD＝CE，
∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③正确；
如图，在线段PE上截取OE＝PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，
∴△AOE≌△APD（SAS），
∴AP＝AO，
∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO＝60°，且AP＝AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP＝PO，
∵PE＝PO+OE，
∴PE＝AP+PD，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为 3 ．
【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），
∴a＝2a﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF过点D，则△AEF的周长是 8cm ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△FDC、△EDB均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，∠DCB＝∠CDF
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝∠DBE＝∠BDE，∠FCD＝∠DCB＝∠CDF，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△AEF的周长＝AF+FE+AE＝AF+DF+DE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC，
∵AB＝5cm，AC＝3cm，
∴△AEF的周长＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，熟练掌握平行线的性质和对相等的线段进行有效的等量代换是解答本题的关键．
13．（3分）如果不等式组无解，则a的取值范围是 a≤1 ．
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a＝1．
14．（3分）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为 ．
【分析】根据定义先列不等式：2x﹣1≥﹣x+3和2x﹣1＜﹣x+3，确定其y＝min{2x﹣1，﹣x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
【解答】解：由题意得：
，
解得：，
当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，
∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当2x﹣1＜﹣x+3时，x＜，
∴当x＜时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，
如图所示，当x＝时，y＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，则θ＝ 20°或40° ．
【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD＝BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【解答】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝30°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×（30°+θ）＝180°，
解得θ＝20°；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，
即90°﹣θ＝30°+θ，
解得θ＝40°；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+30°+θ＝210°＞180°（不合题意），
故答案为：20°或40°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）解不等式组并求它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后找出整数求和即可．
【解答】解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
所以它的整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
所以所有整数解的和为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．（9分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2，成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
（3）连接B1B2、C1C2、A1A2，它们相交于一点，则这个点为对称中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形．对称中心的坐标为（，）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE．
【分析】如图，作辅助线；证明△DGF≌△ECF，得到DG＝CE，此为解决该问题的关键性结论；证明BD＝GD，即可解决问题．
【解答】证明：如图，过点D作DG∥AE，交BC于点G；
则△DGF≌△ECF，
∴DG＝CE；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
∵DG∥AE，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠DBG＝∠DGB，
∴DG＝BD，
∴BD＝CE．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其应用、全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
19．（9分）如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C，直线y＝mx+分别与x轴、y轴交于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）．
（1）不等式x+3≤mx+的解集为 x≤﹣1 ．
（2）求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．
【分析】（1）直线y＝x+3落在直线y＝mx+下方的部分对应的x的取值范围即为所求；
（2）先将点M（﹣1，b）代入y＝x+3，求出b，得到M（﹣1，2），把M（﹣1，2）代入y＝mx+，求出直线BD的解析式，得到B（2，0）．再求出A（﹣3，0），那么AB＝5，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与直线y＝mx+相交于点M（﹣1，b），
∴不等式x+3≤mx+的解集为x≤﹣1．
故答案为x≤﹣1；
（2）∵直线y＝x+3过点M（﹣1，b），
∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），
将M（﹣1，2）代入y＝mx+，
得2＝﹣m+，解得m＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
∴当y＝0时，x＝2，∴B（2，0）．
∵直线AC的解析式为y＝x+3，
∴当y＝0时，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．
∴AB＝5，
∴S△ABM＝×5×2＝5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式以及三角形的面积．
20．（9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．证明：
（1）△ABD≌△ACE
（2）BD⊥CE．
【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后求出∠DEM+∠MDE＝90°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DME＝90°，最后根据垂直的定义证明即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∴∠DEM+∠MDE＝∠DEM+∠ADB+∠ADE＝∠DEM+∠AEC+∠ADE＝∠DAE+∠ADE＝90°，
在△DEM中，∠DME＝180°﹣（∠DEM+∠MDE）＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
21．（10分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求解；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，根据题意得到由题意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根据一次函数的性质，即可求解；
【解答】解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，
根据题意，得
，
∴，
∴A的单价30元，B的单价15元；
（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为W元，
由题意可知，z≥（30﹣z），
∴z≥，
W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，
当z＝8时，W有最小值为570元，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．
22．（10分）阅读材料：
对于两个正数a、b，则a+b≥2（当且仅当a＝b时取等号）．
当ab为定值时，a+b有最小值；当a+b为定值时，ab有最大值．
例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．
解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，当且仅当x＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．
根据上面的阅读材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，若y＝4x+，则当x＝ 时，y有最小值，最小值为 12 ．
（2）已知x＞3，若y＝x+，则x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法，将y＝4x+，写成y＝4x+可得答案；
（2）将y＝x+化为若y＝x﹣3++3，再根据提供的方法求解即可；
（3）得出长方形的长、宽、面积之间的关系式，再联系（1）中的方法求解．
【解答】解：（1）由题目中提供的方法可得，
y＝4x+＝4x+≥2＝12，
∴当4x＝时，即x＝时，y的最小值为12，
故答案为：，12；
（2）∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9，
当x﹣3＝时，即x＝6时，y的最小值为9，
答：当x＝6时，y的最小值为9；
（3）设这个长方形的长为xm，则宽为＝（50﹣x）m，
∴长方形的面积S＝x（50﹣x），
由题意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50，
由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2，
即≤25，
但且仅当x＝50﹣x时，即x＝25时，x•（50﹣x）取最大值，最大值为25×（50﹣25）＝625，
此时宽为50﹣x＝25，S最大值为625，
答：当长方形的长、宽均为25m时，所围成的长方形的花园的面积最大，最大面积为625m2．
【点评】本题考查分式的乘除法，理解阅读材料中所提供的方法是解决问题的关键．
23．（11分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．
（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系 EF＝BE+DF ；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；
（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可．
【解答】解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝4，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，
x2＝（3﹣x）2+12，
解得：x＝，
即DE＝．
【点评】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．
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