2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级下学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. B. C. D.
4.如果不等式组的解集是，则的范围是( )
A. B. C. D.
5.如图，，，，要根据“”证明≌，则还需要添加一个条件是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，于交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是( )
A. 、是的内角平分线B. 点到三边的距离相等
C. 也是的一条内角平分线D.
8.如图，在等边中，，分别是，上的点，且，与相交于点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.有一捆粗细均匀的钢筋总质量为千克，如果从中截下米长的一段，称得其质量为千克，那么这捆钢筋的总长度为( )
A. 米B. 米C. 米D. 米
10.将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子有意义，则的取值范围是______．
12.一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服完”，若每次服用这种药的剂量为，则的取值范围是______．
13.如果是一个完全平方式，那么的值是______．
14.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是______．
15.如图，中，，，将绕点逆时针旋转得，若交于点，当______时，为等腰三角形．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解不等式组：．
先化简，再求值：，其中．
17.本小题分
利用因式分解说明：能被整除．
18.本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的三个顶点，，．
将以点为旋转中心旋转，得到，请画出的图形．
平移，使点的对应点坐标为，请画出平移后对应的的图形．
若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
19.本小题分
如图，直线：与轴的交点为，直线与直线：的交点的坐标为．
______，______；
直接写出关于的不等式的解集______；
求的面积．
20.本小题分
王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求和的值．
解：，
．
即，
，，
，．
为什么要对进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
若，求的值；
已知、、是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长．
21.本小题分
九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．
操作探究：
如图，为等腰三角形，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接，则______，与的数量关系是______；
迁移探究：
如图，中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，点正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系；
拓展应用：
如图，在等腰三角形中，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接当时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】
解：从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、，不是最简分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、是最简分式，符合题意；
D、，不是最简分式，不符合题意．
故选：．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，关键是记忆一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】
【解析】解：，
解得：，
不等式组解集是，
．
故选B．
首先解第一个不等式求得不等式的解集，然后根据不等式组解集是，即可确定的范围．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间．
5.【答案】
【解析】解：条件是，
理由是：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，以及角平分线的定义，关键是熟知等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
根据等腰三角形的三线合一的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据角平分线的定义即可求得的度数．
【解答】
解：是的中线，，
，
，
，
，
是的角平分线，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：由尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线，
点到三边的距离相等，也是的一条内角平分线，
故D选项不正确，
故选：．
利用尺规作图的痕迹可得、是的内角平分线，即可得出答案．
本题主要考查了基本作图及角平分线的性质，解题的关键是熟记角平分线的作图方法．
8.【答案】
【解析】解：在等边中，，，，
≌，
，
而，
．
故选：．
在等边中，，，，由此可以证明≌，根据全等三角形的性质得到，而，所以．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定等内容，比较简单．
9.【答案】
【解析】解：这捆钢筋的总长度为米，
答：这捆钢筋的总长度为米．
故选：．
先求出千克钢筋的长度，即米，再求出千克钢筋的长度．
本题主要考查了列代数式问题，能够求出千克钢筋的长度是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
三角板每秒旋转，
点的位置秒一循环．
，
第秒时，点的对应点的坐标为．
故选：．
由题意点，再由三角板每秒旋转，可得出点的位置秒一循环，由此即可得出第秒时，点的对应点的坐标与点坐标相同，此题得解．
本题考查了坐标与图形的变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据每秒旋转的角度，找出点的位置秒一循环是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意，每日用量，分次服完，
则，，
，，
若每天服用次，则所需剂量为之间，
若每天服用次，则所需剂量为之间，
故一次服用这种药的剂量为之间．
则的取值范围是：．
故答案为：．
确定每天服用，次或次每次的剂量；每天服用，次或次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量确定范围即可．
本题考查不等式的定义，应找到每天服用时次或次每次的剂量；每天服用时次或次每次的剂量，然后找到最大值与最小值确定范围即可．
13.【答案】
【解析】解：，
在中，．
故答案是：．
本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的倍，所以，故．
本题考查了完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的倍，因此要注意积的倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
是中的角平分线，，
，
由图可知，，
，
解得．
故答案为．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质、等边对等角的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分，，三种情况讨论求解．
【解答】
解：绕点逆时针方向旋转得到，
，
，
，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
时，，无解，
时，，解得，
时，，解得，
综上所述，旋转角度数为或．
故答案为：或．
16.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为；
，
当时，原式．
【解析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集；
先化简所求式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式
，
能被整除．
【解析】利用提公因式法对原式进行变形，即，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示：即为所求；
如图所示：即为所求；
旋转中心坐标．
【解析】利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
19.【答案】
【解析】解：直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
，
，
，
解得；
故答案为：，；
观察图象可知，不等式的解集为；
故答案为：；
直线：与轴的交点为，
，
，
，
．
把代入求得，把代入，即可求得的值；
根据图象即可求得；
求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交问题，三角形面积，数形结合是解题的关键．
20.【答案】解：，
，
即，
，，
解得，，
；
，
，
，，
，，
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长；
当为腰长时，，，能组成三角形，的周长．
此三角形的周长为或．
【解析】已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出与的值，即可求出、的值；
由，应用因式分解的方法，判断出，求得、的值，再分为腰长，为腰长两种情况，分别求出三角形的周长．
此题主要考查了配方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
21.【答案】解：；．
由旋转的性质，可知≌，
为等边三角形，平分，为等边三角形，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
．
或．
【解析】【分析】
此题主要考了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练进行分类讨论是解本题的关键．
证明为等边三角形，根据旋转的性质得≌，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，；
根据旋转的性质得≌，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得；
分以下两种情况进行讨论：当点在右边时，当点在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】
解：为等腰三角形，，，
为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
≌，
为等边三角形，，，
，
，
，
，是的中点，
，
，
故答案为：，；
见答案；
分以下两种情况进行讨论：
如图当点在右边时，
，，
为等腰直角三角形，
．
，
，
由旋转的性质，得，
为等边三角形，
是的中点，
，平分，
，
，
；
如图，当点在左边时，
同理，可得，，
．
综上所述，的长为或．