广东省梅县东山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份广东省梅县东山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分：150分 总时长：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．已知为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．7
5．在中，，则的形状为（ ）
A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
6．如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）
A．B．8km/hC．D．10km/h
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若三角形的面积为，且，则（ ）
A．B．3C．D．
8．在中，，点D在所在平面内，对任意．都有该试卷源自 每日更新，享更低价下载。恒成立，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点Z的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则z的模为7
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到
B．是函数图象的一条对称轴
C．若，则的最小值为
D．方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．当时，为定值
C．当时，面积的最大值为
D．的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知复数z满足，则______．
13．定义是向量和的“向量积”，其长度为，其中为向量和的夹角．若，，则______．
14．在中，已知，，，点D和点E分别在边BC和AC上，AD平分角A，，AD，BE相交于点P，则______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（本小题满分13分）
已知复数（其中且，i为虚数单位），且为纯虚数．
（1）求实数a的值；
（2）若，求复数的共轭复数．
16．（本小题满分15分）
已知，．
（1）若，求的坐标：
（2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模．
17．（本小题满分15分）
已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，求面积的最大值．
18．（本小题满分17分）
如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设．
（1）将、用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大?
19．（本小题满分17分）
n元向量（n-tuplevectr）也叫n维向量，是平面向量的推广，设n为正整数，数集p中的n个元素构成的有序组称为P上的n元向量，其中为该向量的第i个分量。n元向量通常用希腊字母等表示，如，P上全体n元向量构成的集合记为．对于，，记，，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
（1）设，，，，，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
（2）对于一个n元向量，若，称为n维信号向量．规定，已知k个两两垂直的120维信号向量满足它们的前m个分量都相同，证明：．
东山中学2023—2024学年度高一第二学期数学期中检测（答案）
1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9．BD 10．BC 11．ABD
12． 13． 14．
【详解】
8．如图，因为，由可得，
即，
两边平方得，
化简得，
又，令，
可得，即，
整理得对任意恒成立，
故，整理得，即，即，故，
要使最大，显然D在BC下方，如图2所示，设，，过A作BD的垂线交BD的延长线于E，由可得，，
又，故
，
又，可得当，即时，AD有最大值，
最大值为，故的最大值为．
11．如图，过O，P作直径EF，依题意，
为定值，
A正确；
若，则，
则，
又，则，同理可得，故，B正确；
如图，当时，若为等边三角形，则，
下面说明此等边三角形存在的情况：取AC中点E，连接OE，
则在中，，，则，
又在中，，则，所以存在满足题意的点P，C错误；
若M为AC中点，连接OM，
，由题意，则，D正确．
14．在中，，，，由，得，
由余弦定理得，
由AD平分角A，得，
则，即，于是，
又，即，解得，
，
所以．
15．解：（1）∵，∴．
∵是纯虚数，∴解得．
∵，∴．
（2）由（1）知，∴，
∴的共轭复数为．
16．解：（1）设，则解得或
∴)或，
（2）∵，，与的夹角为120°，．，
∴在向量上的投影向量的模为
．
17．（1）由已知
，
又的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，所以，
令，，解得，，
即函数的单调递增区间为，；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，得，
由正弦定理，得，，
所以
，
∵为锐角三角形，∴且，∴，
∴，∴
所以当，即时面积的最大值为．
18．解：（1）在中，由正弦定理得，
因为，，所以，
所以，．
（2）解：因为，，所以，
在中，由余弦定理易知，
即
，
因为，所以，，
当，即时，取最大值，即OM取最大值．
此时|，
，
故当时，OM取最大值．
19．解：（1）因为，，，，，
所以，①，
②因为，，所以．
（2）任取，，计算内积，
设这些内积之和为S，则，设的第i个分量之和为，
又因为，故．
所以，
又，
所以，即，所以．