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广东梅县东山中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试题(含答案)
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这是一份广东梅县东山中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试题(含答案)，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
2．下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车、假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息（其中取）（ ）
A．7小时 B．6小时 C．5小时 D．4小时
7．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C． D．的周期为3
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则对任一非零向量都有
C．若向量满足，且与夹角为，与同方向的单位向量为，则在方向上的投影向量为
D．若向量共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
10．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“k倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ）
A．若为函数的“伴随区间”，则
B．函数存在“伴随区间”
C．若函数存在“伴随区间”，则
D．二次函数存在“3倍伴随区间”
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若函数为奇函数，则_________．
13．已知两个单位向量满足，则的夹角为__________．
14．若，则__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）已知是第二象限的角，若，求的值．
（2）已知，求的值．
16．（本小题满分15分）已知二次函数满足条件：①的解集为；②的最大值为4．
（1）求a，b，c的值；
（2）在区间上，二次函数的图象恒在图象的下方（无公共点），求实数m的取值范围
17．（本小题满分15分）已知函数在区间上的最小值为3．
（1）求常数m的值；
（2）求函数单调递减区间．
18．（本小题满分17分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，C，B两点分别在两岸上，，顶点A到河两岸的距离，设．
（1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求．
19．（本小题满分17分）已知集合M是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使得对定义域内任意实数x都成立．
（1）判断函数是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数（，a，b为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数a、b满足的关系式；
（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域．
2023-2024学年度高一第二学期月考答案解析
1．D 2．C 3．D 4．B 5．B
6．B【详解】设需要休息x小时，依题意，，两边取以10为底的对数得，所以，所以至少需要6小时．
7．D
8．C【详解】令，得得或，
当时，令得不合题意，故，所以A错误；
令得，且的定义域为R，故为偶函数，所以B错误；
令，得，所以，
所以，则，则，
所以的周期为6，所以D错误；
令，得，因为
所以，所以，故C正确．
9．AC 10．ACD
11．AD【详解】对于A．在上单调递增，又，
即，（舍）或，A正确；
对于B．在和上单调递减，若存在“伴随区间”则，，即，解得或，与矛盾，B错误；
对于C．在上单调递减，假设存在“伴随区间”，，则且，，，即或，因此，
在内有两个不同根，
令，
，C错误；
对于D．不妨取，则，所以，解得，故存在，，所以D正确．
12．2 13．
14．
【详解】由题意知，和的地位上相同，类似的：和的地位上也相同，
（1）若最大，设，
要使得a最小，则其余的数尽可能的大，其中最大取a，此时，
剩下也要尽可能大，取，则，
因为，要使得尽可能大，则，
此时，解得；
（2）若最大，设，
与（1）中类似，时，a最小，
同样，要使得a最小，则最大，此时，
可得，解得．
综上可得，
故答案为：．
15．【详解】（1），是第二象限的角，故，
因为，所以， 3分
， 7分
（2）因为，所以． 13分
16．解：（1）因为不等式的解集为
所以，3是方程的两根，
所以，即， 3分
函数的对称轴为， 4分
且函数在处取得最大值4，即有， 5分
所以，因此 7分
（2）依题意，在上恒成立，
即有在上恒成立， 9分
而在上单调递减， 12分
所以，因此 15分
17．（1）因为
， 3分
当时，， 4分
所以，则， 6分
因为的最小值为3，所以； 7分
（2）由（1）得，
， 8分
令，
则， 12分
即的单调递减区间为， 15分
18．（1）． 2分
当时，， 3分
所以． 5分
又因为， 6分
所以，当且仅当时取等号．
所以荷花种植区域面积的最大值为． 8分
（2）因为，所以，
故， 10分
从而， 12分
所以．
又因为，
所以．
又因为，所以， 14分
所以和为一元二次方程的两个实数根，
解得或，
故为或． 17分
19．（1）不属于，属于 （2） （3）
【详解】（1）对任意实数m，，不是常数，
， 2分
又，即满足题意，； 4分
（2）存在反函数，则，即， 6分
又存在实数对使，恒成立， 7分
即，，又． 9分
（3）由题意且，
由得，
又时，，
∴当时，，
故当时，， 11分
又，
，即，
即， 14分
∴当时，， 15分
时，，
同理当时，，
时，，
……
依此类推，时，，
时，． 17分
一、单选题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合的子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
2．下列函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知都是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车、假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息（其中取）（ ）
A．7小时 B．6小时 C．5小时 D．4小时
7．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B．为奇函数 C． D．的周期为3
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则对任一非零向量都有
C．若向量满足，且与夹角为，与同方向的单位向量为，则在方向上的投影向量为
D．若向量共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
10．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的周期为
C．函数的图象关于点对称
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“k倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ）
A．若为函数的“伴随区间”，则
B．函数存在“伴随区间”
C．若函数存在“伴随区间”，则
D．二次函数存在“3倍伴随区间”
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若函数为奇函数，则_________．
13．已知两个单位向量满足，则的夹角为__________．
14．若，则__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）已知是第二象限的角，若，求的值．
（2）已知，求的值．
16．（本小题满分15分）已知二次函数满足条件：①的解集为；②的最大值为4．
（1）求a，b，c的值；
（2）在区间上，二次函数的图象恒在图象的下方（无公共点），求实数m的取值范围
17．（本小题满分15分）已知函数在区间上的最小值为3．
（1）求常数m的值；
（2）求函数单调递减区间．
18．（本小题满分17分）如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，C，B两点分别在两岸上，，顶点A到河两岸的距离，设．
（1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求．
19．（本小题满分17分）已知集合M是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使得对定义域内任意实数x都成立．
（1）判断函数是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数（，a，b为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数a、b满足的关系式；
（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域．
2023-2024学年度高一第二学期月考答案解析
1．D 2．C 3．D 4．B 5．B
6．B【详解】设需要休息x小时，依题意，，两边取以10为底的对数得，所以，所以至少需要6小时．
7．D
8．C【详解】令，得得或，
当时，令得不合题意，故，所以A错误；
令得，且的定义域为R，故为偶函数，所以B错误；
令，得，所以，
所以，则，则，
所以的周期为6，所以D错误；
令，得，因为
所以，所以，故C正确．
9．AC 10．ACD
11．AD【详解】对于A．在上单调递增，又，
即，（舍）或，A正确；
对于B．在和上单调递减，若存在“伴随区间”则，，即，解得或，与矛盾，B错误；
对于C．在上单调递减，假设存在“伴随区间”，，则且，，，即或，因此，
在内有两个不同根，
令，
，C错误；
对于D．不妨取，则，所以，解得，故存在，，所以D正确．
12．2 13．
14．
【详解】由题意知，和的地位上相同，类似的：和的地位上也相同，
（1）若最大，设，
要使得a最小，则其余的数尽可能的大，其中最大取a，此时，
剩下也要尽可能大，取，则，
因为，要使得尽可能大，则，
此时，解得；
（2）若最大，设，
与（1）中类似，时，a最小，
同样，要使得a最小，则最大，此时，
可得，解得．
综上可得，
故答案为：．
15．【详解】（1），是第二象限的角，故，
因为，所以， 3分
， 7分
（2）因为，所以． 13分
16．解：（1）因为不等式的解集为
所以，3是方程的两根，
所以，即， 3分
函数的对称轴为， 4分
且函数在处取得最大值4，即有， 5分
所以，因此 7分
（2）依题意，在上恒成立，
即有在上恒成立， 9分
而在上单调递减， 12分
所以，因此 15分
17．（1）因为
， 3分
当时，， 4分
所以，则， 6分
因为的最小值为3，所以； 7分
（2）由（1）得，
， 8分
令，
则， 12分
即的单调递减区间为， 15分
18．（1）． 2分
当时，， 3分
所以． 5分
又因为， 6分
所以，当且仅当时取等号．
所以荷花种植区域面积的最大值为． 8分
（2）因为，所以，
故， 10分
从而， 12分
所以．
又因为，
所以．
又因为，所以， 14分
所以和为一元二次方程的两个实数根，
解得或，
故为或． 17分
19．（1）不属于，属于 （2） （3）
【详解】（1）对任意实数m，，不是常数，
， 2分
又，即满足题意，； 4分
（2）存在反函数，则，即， 6分
又存在实数对使，恒成立， 7分
即，，又． 9分
（3）由题意且，
由得，
又时，，
∴当时，，
故当时，， 11分
又，
，即，
即， 14分
∴当时，， 15分
时，，
同理当时，，
时，，
……
依此类推，时，，
时，． 17分
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