广东省广州奥林匹克中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(无答案)

这是一份广东省广州奥林匹克中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若复数，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．6D．
2．已知向量，满足，，且，则（ ）
A．2B．C．D．
3．在中，，，，则角的值为（ ）
A．45°B．45°或135°C．90°D．135°
4．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题中，真命题为（ ）
A．若两个平面，，，则；
B．若两个平面，，，则与平行或异面；
C．若两个平面，，，则与是异面直线；
D．若两个平面，，则与一定相交.
6．的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．6D．12
7．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ）
A．1B．C．D．2
8．伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（ ）
A．1:2:3B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知正方体中，为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（ ）
A．B．C．D．
10．在中，已知，下列结论正确是（ ）
A．B．
C．一定是钝角三角形；D．若，则的面积是.
11．已知正三角形的边长为6，，为边上两点，且，为边上一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为60°
12．在正方体，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．平面
C．
D．若在正方体的棱长为2，则三棱锥的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若，，则等于__________.
14．复数满足（为虚数单位），则__________.
15．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中，__________，则原的面积为__________.
16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”。若要测量如图所示某蓝洞口边缘，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得海里，，，，则，两点的距离为__________海里.
四、解答题
17．（10分）已知复数，且是纯虚数.
（1）求复数；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围.
18．（12分）如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.
19．（12分）已知向量，.
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）求的最大值.
20．（12分）在中，，，分别是角，，的对边，且.
（1）求；
（2）已知的面积为，且，求的周长.
21．（12分）如图，已知四棱锥中，底面是正方形，为侧棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知为棱上的点，若平面，求证：是的中点.
22．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，点在边上且.已知边，，且.
（1）求边的长度；
（2）若点、分别为线段、线段上的动点，且线段交于且的面积为面积的一半，求的最小值.