广东省湛江市经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省湛江市经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共20页。

1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的考号、学校、班别、姓名、座号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“贴条形码区”．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）．
1. 下列根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，被开方数不整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。A. 1，1，2B. 1，，2C. 4，5，6D. 2，，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得．
【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，则此项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
3. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
5. 如图，在中，，D为边的中点，，，则长为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求出，根据斜边中线等于斜边一半求出即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵D为边的中点，
∴．
故选：D．
6. 对于四边形的以下说法：其中正确的个数有（ ）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形的判定定理解题即可．
【详解】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立；
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，属于矩形的判定定理，成立；
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，属于菱形的判定定理，成立；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形．不成立．
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．
故选C．
【点睛】本题考查特殊四边形的证明，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键．
7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（ ）．
A. 16B. 256C. 32D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和．
【详解】解：如图，
根据勾股定理知：
，，，
∴
，
故选：B．
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（ ）
A. 9.6B. 4.8C. 10D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的性质及勾股定理，可求出BC的长，利用菱形的面积公式即可求出AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，，，
∴，AC、BD互相平分，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质、面积、勾股定理等，熟练掌握并灵活应用菱形的性质是解题关键．
9. 如图，在中，为边上一动点，于，于，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是（ ）

A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，线段的值大小变化情况．
【详解】如图，连接．

∵
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，最短，则线段的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着匀速向终点C运动，则线段的值大小变化情况是先减小后增大．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
10. 如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为，长直角边长为，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则的值是（ ）

A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，再由勾股定理，从而可得出的值．
【详解】解：设大正方形的边长为c，则，小正方形的面积，
∵
∴，即．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，要注意的是本题中求不出两直角边的值，注意完全平方公式的灵活运用，有一定难度．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】x≥4
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由题意得：x-4≥0，
∴x≥4，
故答案为：x≥4．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
12. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，先整理原式，得，再合并同类二次根式，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 在平行四边形中，若，则______．
【答案】##72度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质即可得到结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质、平行四边形的对角相等．
14. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．
15. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意得，E点关于直线的对称点是的中点，连接交于点P，此时有最小值，求出此时的最小值即可．
【详解】解∶根据题意得， E点关于直线的对称点是的中点，连接交与点P，此时有最小值为，
∵四边形是菱形，，点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
即的最小值是3，
故答案为∶3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
16. 已知：如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE=CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积是1．
所有正确结论的序号是_________________________
【答案】①③④
【解析】
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2＋．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE＋S△OCF＝S△COE＋S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分）
17. （1）计算：．
（2）如果最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
【答案】（1）；（2）5．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，同类二次根式的定义：
（1）先根据平方差公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后化简二次根式，最后计算加减法即可；
（2）根据被开方数相同最简二次根式叫做同类二次根式得到，解之即可得到答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）依题意，
．
18. 如图，在四边形中，，，，．

（1）求的度数；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）由，，可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，利用角的和差关系即可求出；
（）由四边形的面积，计算即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，四边形的面积，利用勾股定理的逆定理得出是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴；
【小问2详解】
解：四边形的面积．
19. 如图，已知□ABCD.
（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE=BC.（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连结AE，交CD于点F，求证:△AFD ≌ △EFC.
【答案】（1）作图解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题目要求画出图形即可．
（2）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AD=CE，∠DAF=∠CEF，进而可利用AAS证明△AFD≌△EFC．
【详解】（1）如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC
∵BC=CE，
∴AD=CE
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠CEF
在△ADF和△ECF中，
∵ ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）
【点睛】本题主要考查尺规作图以及全等三角形的证明、平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形证明方法是解题关键.
20. 如图，已知、是对角线上的两点，并且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．连接交于，由平行四边形的性质得：，，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形．
21. 在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据AE∥DC，CE∥AB，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得到结论成立；
（2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可．
【小问1详解】
证明：∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴AC＝ED；
【小问2详解】
解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10，
∴CD＝AD＝5，
∵AE∥DC，CE∥AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴四边形AECD是菱形，
∴DE＝4，
∴AC＝，
∴AC＝6，
∴四边形ADCE的面积是AC•DE＝×6×8＝24，
即四边形ADCE的面积是24．
【点睛】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 如图：是长方形纸片ABCD折叠的情况，纸片的宽度AB=8cm，长AD=10cm，AD沿点A对折，点D正好落在BC上的M处，AE是折痕．
（1）求CM的长；
（2）求梯形ABCE的面积．

【答案】(1)4cm；（2）55cm2．
【解析】
【详解】试题分析：（1）在Rt△ABM中，AB=8cm，AM=AD=10cm，直接根据勾股定理求解即可；
（2）先求出CE的长，然后根据梯形的面积公式求解．
试题解析：（1）在Rt△ABM中，
AB=8cm，AM=AD=10cm，
根据勾股定理得：BM==6cm；
∴CM=10-6=4cm；
（2）在Rt△MCE中，ME2=EC2+MC2，
即（8-x）2=42+x2，
解得x=3，
∴S四边形ABCE=×（AB+CE）×BC=×（8+3）×10=55cm2．
23. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简
，，
以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简：
（2）若a是的小数部分，求的值；
（3）矩形面积为，一边长为，求它的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据题意，可以得出，可以求得所求式子的值；
（3）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长．
【小问1详解】
解：＝ ＝＝；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵a是的小数部分，
∴，
∴；
∴的值为：；
【小问3详解】
∵矩形的面积为3+1，一边长为﹣2，
∴矩形的另一边长为： ，
∴该矩形的周长为：，
答：它的周长是：．
【点睛】本题考查估算无理数大小、二次根式的混合运算、二次根式的应用，解题关键是明确它们各自的计算方法．
24. 在菱形中，，点E，F分别是边，上的点．
【尝试初探】
（1）如图1，若，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证：
【拓展延伸】
（3）如图3，若点E为的中点，，，．
①设，，请用关于x的代数式表示y；
②若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②．
【解析】
【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论；
（2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证；
（3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解；
②过点B作于点N，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可．
详解】解：（1）如图1，连接，
∵菱形、，
，，，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q
则，四边形和四边形都是平行四边形，
，，
由（1）可知，
（3）①如图3，过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，
则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，
，，，，
∵点E为的中点，，
，
，
，，
，，
由（1）可知，
，
，，
，
，
②过点B作于点N，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．