福建省福州市晋安区十一校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、被开方数含开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、被开方数含开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A 2，2，3B. 4，5，7C. 5，12，13D. 10，10，10
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理运算判断．
【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意；
D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键．
3. 如图，在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等．
4. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则矩形对角线的长等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意直接根据等边三角形的性质首先证明△AOB是等边三角形进而分析即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OD=OB，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=2OA=8.
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现△AOB是等边三角形.
5. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可．
【详解】解：，在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴
故选：B
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．
6. 当a＜﹣3时，化简的结果是（ ）
A. 3a＋2B. ﹣3a﹣2C. 4﹣aD. a﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件a＜﹣3，先判断2a-1，a+3的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项，即可．
【详解】∵a＜﹣3，
∴2a-1＜0，a+3＜0，
∴原式=|2a-1|+|a+3|=1-2a-a-3=-3a-2，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．
7. 下列命题的逆命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 全等三角形的对应角相等
C. 关于某一条直线对称的两个三角形全等
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，分别写出各选项命题的逆命题后判断正误即可．
【详解】解：、逆命题为：若，则，错误，是假命题，不符合题意；
、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；
、逆命题为：全等的两个三角形关于某一条直线对称，错误，是假命题，不符合题意；
、逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
8. 如图，，，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A. 6B. 10C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：C．
9. 如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据网格特点、矩形的判定画出相应的图形即可得．
【详解】解：共可以画出以下4个格点矩形：
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形与网格问题，熟练掌握矩形的判定是解题关键．
10. 如图．在甲、乙两个大小不同的的正方形网格中，正方形，分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形，的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为，，有如下三个结论：
①正方形的面积等于的一半；
②正方形的面积等于的一半；
③．
上述结论中，正确的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】①分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
②分别求出正方形的面积及正方形网格的面积，再进行比较即可；
③结合①②进行求解即可．
【详解】解：①，正方形网格的面积为：，
，
故①结论错误；
②，正方形网格的面积为：，
，
故②结论正确；
③由①得：，则，
由②得；，则，
正方形，的面积相等，
，
故③结论正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理的应用以及二次根式的应用，解答的关键是根据所给的图形表示出相应的图形的面积．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由在实数范围内有意义，列不等式再解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．
13. 如图，在数轴上点A表示的实数是________________．

【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解．
【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长，
∴点A表示的实数是，
故答案为：．
【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．
14. 菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为6cm，则AC的长为______cm．
【答案】8
【解析】
【分析】由菱形面积公式即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的面积=AC•BD=24cm2，
即AC•BD=6AC=48，
∴AC=8，
即AC的长为8cm，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键．
15. 如图，在中，，D为线段的中点，则 _______°．

【答案】50
【解析】
【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到 ，则等边对等角，即．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵D为线段的中点，
∴ ，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了直角三角形性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
16. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，

∴G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2
∴CH∥EF，
∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，
∴AG=AG'=1
∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】先分别化简二次根式，同时计算乘法，再计算加减法．
【详解】解：
=
=2．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算法则及运算顺序是解题的关键．
18. 如图，在平行四边形中，分别是，的中点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．
证明四边形是平行四边形即可．
【详解】证明：
四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
．
19. 已知，，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据，，即可求得x＋y与x−y值，然后根据平方差公式对所求式子因式分解，再将x＋y与x−y的值代入即可解答本题．
【详解】解：∵，，
∴x＋y＝4，x−y＝，
∴．
【点睛】本题考查因式分解和二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
20. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ADB＝∠C＝90°，∠A＝60°，．求CD的长．
【答案】3
【解析】
【分析】求出∠ABD=30°，得到AD=AB=，利用勾股定理求出BD，再根据2CD2=BD2，得到2CD2=18，即可求出CD．
【详解】解：∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=AB=．
∴BD=，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴CD=CB，
∴2CD2=BD2，
∴2CD2=18，
∴CD=3．
【点睛】此题考查了勾股定理，直角三角形中30°角的性质，正确掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
21. 如图，在菱形中，E为边上一点，交于点M，交于点F．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点米远的点处同时开始测量，点为终点.小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？

【答案】能，理由见祥解，米
【解析】
【分析】设，，，根据小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，，，由勾股定理求出x的值，有面积公式得，即可求解.
【详解】解：中，，
设，，
则.
，
又在中，由勾股定理得：，
，
解得：，即（米）
米，米，米
，米
答：这个直角三角花台底边上的高位为米
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积公式.正确运用勾股定理及三角形的面积公式是解决问题的关键.
23. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点M，连接，若，，依题意补全图形并求，的长．
【答案】（1）见解析；
（2）图见解析，，
【解析】
【分析】此题考查了菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的判定及性质定理，正确掌握各知识点并应用是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的中位线的性质得到，，推出，由此得到结论；
（2）由菱形的性质得到，，根据三角形中位线得到， ，即可利用勾股定理求出，．
【小问1详解】
证明：∵，．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
补全图形如下图：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
24. 阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时，______，______；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1），
（2）猜想结论：，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【小问1详解】
解：
当，时，
原式；
当，时，
原式；
【小问2详解】
猜想结论：
证明：
；
【小问3详解】
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
25. 点E在正方形的AD边上（不与点A，D重合），点D关于直线的对称点为F，作射线交交于点M，连接．
（1）求证：；
（2）过点A作交射线于点H．
①请补全图形，并求的度数；
②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）①②
【解析】
【分析】（1）设交于N，证明，即可得到结论；
（2）①如图，连接，根据轴对称得到，求出，利用，求出，即可根据四边形内角和求出，进而得到；
②过点A作于点P，得到是等腰直角三角形，求出，证明，得到，由，即可得到．
【小问1详解】
证明：设交于N，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
∵点D与点F关系对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点A作点P，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边对等角求角度，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识并应用是解题的关键．