福建省福州市华伦中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定是否为函数．
【详解】解：A、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
B、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
C、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意；
D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查函数的定义．解题关键在于掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2. 若函数是一次函数，则m的值为 （ ）
A. 1B. -1C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数解析式的特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．根据一次函数的定义即可列方程求解．
【详解】根据题意得：，
解得：m＝−1．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是知道一次函数y＝kx＋b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
3. 若直线向左平移个单位，则得到的直线解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的平移规则：左加右减，上加下减进行平移即可．
【详解】若直线向左平移个单位，则
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象的平移，熟记左右平移只针对字母是解题的关键．
4. 如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．
【详解】解：根据图象可得，一次函数在x轴下方部分对应的x的范围是，
∴关于的不等式的解集为．
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
5. 把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为（ ）
A. y=（x-1）2-5B. y=（x+1）2-5C. y=（x+2）2-4D. y=（x-3）2+5
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法求解即可．
【详解】把二次函数y=x2+2x-4配方成顶点式为y=（x+1）2-5
故选B
【点睛】本题考查了把二次函数配方成顶点式，掌握配方法是解题的关键．
6. 下列函数，随的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数性质、正比例函数性质、二次函数性质，解题的关键是掌握有关函数的增减性．正比例函数与一次函数可以根据的取值范围，确定函数的增减性，据此作答，但要注意二次函数不是纯粹的增加或减小．
【详解】解：A、C选项函数是二次函数，故以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，此选项错误；
B选项因为，可知函数随的增大而增大，此选项错误；
D选项由于，可知函数随的增大而减小，此选项正确．
故选：．
7. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“<”表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，正确得到离对称轴越远函数值越大是解题的关键．根据题意可得二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点都在二次函数的图象上，，
∴，
故选A．
8. 2023年以来，某厂生产的电子产品处于高速上升期，该厂生产一件产品起初的成本为225元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了元，设每次技术改进产品的成本下降率均为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设成本下降率均为，根据题意，得，解答即可．本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选D．
9. 已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点所在象限．
【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
，，
，
在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．
10. 若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根 （ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，将代入方程中，再两边同时除以，可得结论．
【详解】解：关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，
，
，
，
是方程的一个实数根，
故选：D．
二．填空题（共6小題，每题4分，共24分）
11. 直线与轴的交点坐标是__________．
【答案】（0，）
【解析】
【分析】直接令，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵，
令，则，
∴直线与轴的交点坐标是（0，）；
故答案为：（0，）；
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴的交点特征进行解题．
12. 一元二次方程的根是_______．
【答案】，##，
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
，
或，
所以，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13. 二次函数的对称轴为直线______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
14. 关于的方程有实数根，则的取值范围是____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，当时，原方程为一元一次方程，解方程可知有实数根；当时， 原方程为一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【详解】解；当，即时，原方程为，解得，此时方程有实数根；
当，即时，则，
解得，即此时且，
综上所述，，
故答案为：．
15. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、一元二次方程根的判别式．由题意得出一元二次方程只有一个实数解，据此即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：．
16. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点是其对称点．若，则点的坐标是____________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的应用及对称点的表示，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是设点的坐标，表示出的长度．
根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可．
【详解】∵A，B关于直线对称，
∴设，则，
如图所示，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
∵在上，
∴，
即，
整理得：，
解得，，
当时，，
当时，，
∴点A的坐标为或；
故答案为：或．
三．解答题（共9小题，共86分）
17. 解方程：．
【答案】x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
【解析】
【分析】先化二次项系数为1，然后常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，然后配成完全平方，再开方求解即可．
【详解】解：
二次项系数化为1，得：，
移项得：，
左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，得：
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法．将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18. 已知与成正比，当时，，求当时的值．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数关系式为：，只需一组对应量就可确定解析式．也考查了给定自变量会求对应的函数值．
设，把，代入，求出k的值，确定x，y的关系式，然后把，代入解析式求对应的函数值即可．
【详解】解：∵y与成正比例，
∴设，
把，代入，
可得
∴，
∴
∴当时，．
19. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出，从而得到抛物线解析式，把代入函数解析式中求解即可．
【详解】解∶设抛物线解析式为，
把 代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为、，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴符合题意．
21. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双250元，如果一次购买超过8双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元，但单价不能低于160元．
（1）当小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为 元：
（2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了2700元，这名顾客买了多少双鞋？
【答案】（1）230；（2）这名顾客买了15双鞋．
【解析】
【分析】（1）根据每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元求解即可；
（2）首先求出x超过了8双，进而表示出鞋的单价，即可得出关于x的方程求解即可．
【详解】解：（1）小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为：250-（10-8）×10=250-20=230（元），
故答案为：230；
（2）∵（元），
∴这名顾客买的鞋数超过8双，
设这名顾客买了x双鞋，根据题意得，

整理，得，
解得，，
当x=18时，，故不符合题意，舍去，
∴
答：这名顾客买了15双鞋．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．
22. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到_______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程(x2+x)2﹣4(x2+x)﹣12=0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2
【解析】
【分析】（1）本题主要是利用换元法降次来达到把一元四次方程转化为一元二次方程，来求解，然后再解这个一元二次方程．
（2）利用题中给出的方法先把x2+x当成一个整体y来计算，求出y的值，再解一元二次方程．
【详解】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，
解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，
b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
【点睛】本题应用了换元法，把关于x的方程转化为关于y的方程，这样书写简便且形象直观，并且把方程化繁为简化难为易，解起来更方便．
23. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】【任务1】，【任务2】
【解析】
【分析】任务1：以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，得到点B的坐标为，顶点为，利用待定系数法求出即可；
任务2：过点E作于点M，得到米．由题意可知，当最大时，点E的纵坐标为．令，得，解得，由米得到米，游船底部在P，Q之间通行，则的最大值为（米）．
【详解】解：任务1：
以D为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴点B的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把B代入得，
，
∴．
任务2：
过点E作于点M，
∵，米
∴米
∴米．
由题意可知，当最大时，
点E的纵坐标为．
令，得，
解得，
∵米，
∴米，
∵游船底部在P，Q之间通行，
∴的最大值为（米）．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是基础，数形结合是解题的关键．
24. 如图，直线分别与x，y轴交于A，B两点，点坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．
（1）直接写出B、C两点的坐标；
（2）在x轴上方是否存在点，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点是轴上的一点，连接，将沿直线CP翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，折叠的性质，勾股定理， 全等三角形的性质：
（1）将点代入解析式得出，继而得出点的坐标为，根据得出，即点的坐标为；
（2）分在轴上方：和如图两种情况，根据特殊角的关系和全等三角形的性质即可求解．
（3）分点P在x轴上方和下方两种情况，画出对应的图形，利用折叠的性质和勾股定理求出点P坐标，再利用待定系数法求出解析式即可．
【小问1详解】
解：∵直线过点，
，
，
∴直线
在中，当时，，
点的坐标为，
∴．
，
．
点在轴正半轴，
点的坐标为．
【小问2详解】
解：，，
．
在x轴上方使以点，，为顶点的三角形与全等，有和如图两种情况：
如图：当时，

，，
，
点的坐标为，
当时，
，，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【小问3详解】
解：如图当点Px轴上方时，

由折叠性质可知，，，
∴
设，则，
∴，解得：，
∴点P坐标为，
设直线的函数表达式为，得：
将、代入，得：，
解得：，
直线的函数表达式为；
如图当点P在x轴下方时，设，则，
由折叠性质可知，，
∴
∴，解得：，
∴点P坐标为，
同理可得直线的函数表达式为；
综上所述，直线的函数表达式为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
25. 已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．
（3）将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）最大值，点
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标及可得出点的坐标，再根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，进而得出：，再利用二次函数的性质即可求得答案；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为，设，，分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
∵点的坐标为，，
点坐标为，
将点、代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为．
【小问2详解】
由，
解得：，，
，
，
，
设直线的解析式为，把、代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，点，
．
【小问3详解】
，对称轴为直线，
将抛物线向右平移个单位后的抛物线解析式为，
联立，
解得：，
，
设，，又，，
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
以、为对角线，则、中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数、二次函数图象上上点坐标的特征，三角形面积，二次函数的图象和性质，平行四边形性质等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题． 如何设计警戒线之间的宽度？
素材1
图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材2
拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材3
为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务1
确定拱桥形状
在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务2
设计警戒线之间的宽度
求的最大值．