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2024年四川省雅安中学中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年四川省雅安中学中考数学一模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2023年GDP突破1000亿大关.1000亿这个数用科学记数法表示为( )
A. 1×1012B. 1×1011C. 0.1×1012D. 10×1011
3.今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线a//b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28°，则∠2的度数是( )
A. 62°B. 108°C. 118°D. 152°
5.若式子 m+2(m−1)2有意义，则实数m的取值范围是
( )
A. m>−2B. m>−2且m≠1C. m≥−2D. m≥−2且m≠1
6.下列运算正确的是( )
A. a2+a2=2a4B. a6÷a2=a3C. (−a3)2=a6D. (ab)2=ab2
7.不等式组2x>1−xx+2<4x−1的解集为( )
A. x>13B. x>1C. 138.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是
( )
A. 2−π3B. 2−π6C. 4−π3D. 4−π6
9.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为( )
A. 24.5，24.5B. 24.5，24C. 24，24D. 23.5，24
10.已知：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. 经过第一、二、四象限B. 与x轴交于(1,0)
C. 与y轴交于(0,1)D. y随x的增大而减小
11.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为( )
A. 25 3B. 23 3C. 34 3D. 45 3
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a−b<0；③b2>(a+c)2；④点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，则有y1>y2.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.从−2，−1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于−4小于2的概率是 ．
14.若a−3b=2，3a−b=6，则b−a的值为______．
15.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10.若(x+1)※(x−2)=6，则x的值为______．
16.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在BC上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D=40°，则∠BEC=______度．
17.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
18.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(1, 3).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式；
(2)求图象过点A，B的一次函数的解析式；
(3)在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
(1)计算：|− 3|−2−1+ 12；
(2)先化简，再求值：(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a= 2+1．
20.(本小题10分)
央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承--地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是______人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有______人；
(4)在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
21.(本小题10分)
如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G.求证：
(1)△AFG≌△AFP；
(2)△APG为等边三角形．
22.(本小题10分)
某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若tanC=2，求GBGA的值．
24.(本小题10分)
如图，已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上．
(1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】B
【解析】解：1000亿=100000000000=1×1011．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形，
故选：C．
找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象．
4.【答案】C
【解析】解：如图，∵AB//CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，
故选：C．
依据AB//CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：m+2≥0m−1≠0
∴m≥−2且m≠1
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故A错误；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(−a3)2=a6，故C正确；
D、(ab)2=a2b2，故D错误．
故选：C．
根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：解不等式2x>1−x，得：x>13，
解不等式x+2<4x−1，得：x>1，
则不等式组的解集为x>1，
故选：B．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法，属于中档题．
过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=12AB=1，再根据公式即可得到阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=12AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是12×4×1−30×π×22360=2−π3，
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．利用一次函数图象的平移规律，得出y=kx+b解析式，逐项判定即可．
【解答】
解：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=x−1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于(−1,0)，错误；
C、直线y=x+1与y轴交于(0,1)，正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
故选：C．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 3，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点E是BC中点，
∴DE=BE=CE=12BC=2，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DFBF=DEAB，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 3，
∴AB=3，
∴DFBF=23，
∴DFBD=25，
∴DF=25BD=25×2 3=4 35，
故选：D．
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE//AB，再求出AB=3，即可得出结论．
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE//AB是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a<0，
∴b>0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确，
∵−b2a<−1，a>0，
∴b>2a，
∴2a−b<0，故②正确，
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∴a+c>−b，
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a−b+c)<0，
∴b2>(a+c)2，故③正确，
∵点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，
观察图象可知y1故选：C．
根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】12
【解析】【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于−4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于−4小于2的有6种结果，
∴积为大于−4小于2的概率为612=12，
故答案为：12．
14.【答案】−2
【解析】解：由题意知a−3b=2①3a−b=6②，
①+②，得：4a−4b=8，
则a−b=2，
∴b−a=−2，
故答案为：−2．
本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用．将两方程相加可得4a−4b=8，再两边都除以4得出a−b的值，继而由等式的性质和相反数定义即可得出答案．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解法及新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：由题意得，(x+1)2−(x+1)(x−2)=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
16.【答案】115
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．
连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】
解：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴CEB的度数是130°，
∴CAB的度数是360°−130°=230°，
∴∠BEC=12×230°=115°，
故答案为：115．
17.【答案】163
【解析】解：作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，如图，
则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2，
∴BC= 32+(6 2)2=9，
S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AF，
∴3×6 2=9AF，
AF=2 2，
∴AA′=2AF=4 2，
∵∠A′FD=∠DEC=90°，∠A′DF=∠CDE，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△AEA′∽△BAC，
∴AA′A′E=BCAC，
∴4 2A′E=96 2，
∴A′E=163，
即AD+DE的最小值是163；
故答案为：163．
如图，作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
本题考查轴对称−最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
18.【答案】解：(1)由C的坐标为(1, 3)，得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC//x轴，
∴B(3, 3)，
设反比例函数解析式为y=kx，
把B坐标代入得：k=3 3，
则反比例解析式为y=3 3x；
(2)设直线AB解析式为y=mx+n，
把A(2,0)，B(3, 3)代入得：2m+n=03m+n= 3，
解得：m= 3n=−2 3，
则直线AB解析式为y= 3x−2 3；
(3)联立得：y=3 3xy= 3x−2 3，
解得：x=3y= 3或x=−1y=−3 3，即一次函数与反比例函数交点坐标为(3, 3)或(−1,−3 3)，
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为2【解析】(1)由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
(3)联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)|− 3|−2−1+ 12
= 3−12+2 3
=3 3−12；
(2)(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1
=a+1−aa+1×(a+1)2(a+1)(a−1)
=1a−1；
当a= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】(1)根据化简绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，进行计算即可求解；
(2)根据分式的混合运算进行化简，然后将字母的值代入，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的化简求值．
20.【答案】(1)50 ；216°
(2)见解析；
(3)180
(4)25
【解析】解：(1)被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×3050=216°，
故答案为：50、216°；
(2)B类别人数为50−(5+30+5)=10人，
补全图形如下：
(3)估计该校学生中A类有1800×10%=180人，
故答案为：180；
(4)列表如下：
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为820=25．
(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；
(2)总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
(3)用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；
(4)用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21.【答案】证明：(1)由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC//MN//AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
PF=GF∠AFP=∠AFGAF=AF，
∴△AFP≌△AFG(SAS)；
(2)∵△AFP≌△AFG，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
【解析】(1)由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；
(2)由(1)的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
此题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：2400x=2400+8400.9x−30，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
(2)设该商品的进价为y元，
根据题意得：(40−y)×240040=900，
解得：y=25，
∴(40×0.9−25)×2400+84040×0.9=990(元)．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【解析】(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
(2)设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
23.【答案】(1)证明：连接AD、OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵OA=OB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴FG是⊙O的切线．
(2)解：∵tanC=ADCD=2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴BDAD=BGGD=DGGA=12，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【解析】(1)欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；
(2)由△GDB∽△GAD，设BG=a.可得BDAD=BGGD=DGGA=12，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,1)代入得−3a=1，
解得：a=−13，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+23x+1．
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=1，
解得：k=−13，
∴直线BC的解析式为y=−13x+1．
设点P(x,−13x2+23x+1)，
则D(x,−13x+1)
∴PD=(−13x2+23x+1)−(−13x+1)=−13x2+x，
∴S△PBC=12OB⋅DP
=12×3×(−13x2+x)=−12x2+32x.
又∵S△PBC=1，
∴−12x2+32x=1，整理得：x2−3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为(1,4343)或(2,1)．
(3)存在．
如图：
∵A(−1,0)，C(0,1)，
∴OC=OA=1
∴∠BAC=45°．
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，
由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，
即2x2=10，解得：x= 5(负值已舍去)，
∵AC的垂直平分线的为直线y=−x，
AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=−x与x=1的交点，
即M(1,−1)，
∴Q的坐标为(1,−1− 5).
【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,1)代入求得a的值即可；
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=−13x+1，设点P(x,−13x2+23x+1)，则D(x,−13x+1)，然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=−x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
−2
−1
1
2
−2
2
−2
−4
−1
2
−1
−2
1
−2
−1
2
2
−4
−2
2
女 1
女 2
女 3
男 1
男 2
女 1
---
女 2女 1
女 3女 1
男 1女 1
男 2女 1
女 2
女 1女 2
---
女 3女 2
男 1女 2
男 2女 2
女 3
女 1女 3
女 2女 3
---
男 1女 3
男 2女 3
男 1
女 1男 1
女 2男 1
女 3男 1
---
男 2男 1
男 2
女 1男 2
女 2男 2
女 3男 2
男 1男 2
---
1.−2的相反数是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
2.近几年，雅安市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2023年GDP突破1000亿大关.1000亿这个数用科学记数法表示为( )
A. 1×1012B. 1×1011C. 0.1×1012D. 10×1011
3.今年“父亲节”佳佳给父亲送了一个礼盒，该礼盒的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，直线a//b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1=28°，则∠2的度数是( )
A. 62°B. 108°C. 118°D. 152°
5.若式子 m+2(m−1)2有意义，则实数m的取值范围是
( )
A. m>−2B. m>−2且m≠1C. m≥−2D. m≥−2且m≠1
6.下列运算正确的是( )
A. a2+a2=2a4B. a6÷a2=a3C. (−a3)2=a6D. (ab)2=ab2
7.不等式组2x>1−xx+2<4x−1的解集为( )
A. x>13B. x>1C. 13
( )
A. 2−π3B. 2−π6C. 4−π3D. 4−π6
9.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为( )
A. 24.5，24.5B. 24.5，24C. 24，24D. 23.5，24
10.已知：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是( )
A. 经过第一、二、四象限B. 与x轴交于(1,0)
C. 与y轴交于(0,1)D. y随x的增大而减小
11.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F.若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为( )
A. 25 3B. 23 3C. 34 3D. 45 3
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a−b<0；③b2>(a+c)2；④点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，则有y1>y2.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.从−2，−1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于−4小于2的概率是 ．
14.若a−3b=2，3a−b=6，则b−a的值为______．
15.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10.若(x+1)※(x−2)=6，则x的值为______．
16.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在BC上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D=40°，则∠BEC=______度．
17.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
18.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(1, 3).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式；
(2)求图象过点A，B的一次函数的解析式；
(3)在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题9分)
(1)计算：|− 3|−2−1+ 12；
(2)先化简，再求值：(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1，其中a= 2+1．
20.(本小题10分)
央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承--地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”、C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是______人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中A类有______人；
(4)在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
21.(本小题10分)
如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G.求证：
(1)△AFG≌△AFP；
(2)△APG为等边三角形．
22.(本小题10分)
某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
(1)求证：FG是⊙O的切线；
(2)若tanC=2，求GBGA的值．
24.(本小题10分)
如图，已知点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,1)在抛物线y=ax2+bx+c上．
(1)求抛物线解析式；
(2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
(3)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：A．
根据相反数的定义进行判断即可．
本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提．
2.【答案】B
【解析】解：1000亿=100000000000=1×1011．
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：由图可得，该礼盒的主视图是左边一个矩形，右面一个小正方形，
故选：C．
找出从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象．
4.【答案】C
【解析】解：如图，∵AB//CD，
∴∠2=∠ABC=∠1+∠CBE=28°+90°=118°，
故选：C．
依据AB//CD，即可得出∠2=∠ABC=∠1+∠CBE．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，本题属于基础题型．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：m+2≥0m−1≠0
∴m≥−2且m≠1
故选D．
6.【答案】C
【解析】解：A、a2+a2=2a2，故A错误；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(−a3)2=a6，故C正确；
D、(ab)2=a2b2，故D错误．
故选：C．
根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：解不等式2x>1−x，得：x>13，
解不等式x+2<4x−1，得：x>1，
则不等式组的解集为x>1，
故选：B．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法，属于中档题．
过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=12AB=1，再根据公式即可得到阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AE=12AB=1，
又∵BC=4，
∴阴影部分的面积是12×4×1−30×π×22360=2−π3，
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故选：A．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
10.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．利用一次函数图象的平移规律，得出y=kx+b解析式，逐项判定即可．
【解答】
解：将直线y=x−1向上平移2个单位长度后得到直线y=x−1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于(−1,0)，错误；
C、直线y=x+1与y轴交于(0,1)，正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；
故选：C．
11.【答案】D
【解析】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 3，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点E是BC中点，
∴DE=BE=CE=12BC=2，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴DFBF=DEAB，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 3，
∴AB=3，
∴DFBF=23，
∴DFBD=25，
∴DF=25BD=25×2 3=4 35，
故选：D．
先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE//AB，再求出AB=3，即可得出结论．
此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE//AB是解本题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a<0，
∴b>0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确，
∵−b2a<−1，a>0，
∴b>2a，
∴2a−b<0，故②正确，
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
∴a+c>−b，
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a−b+c)<0，
∴b2>(a+c)2，故③正确，
∵点(−3,y1)，(1,y2)都在抛物线上，
观察图象可知y1
根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】12
【解析】【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于−4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于−4小于2的有6种结果，
∴积为大于−4小于2的概率为612=12，
故答案为：12．
14.【答案】−2
【解析】解：由题意知a−3b=2①3a−b=6②，
①+②，得：4a−4b=8，
则a−b=2，
∴b−a=−2，
故答案为：−2．
本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握等式的基本性质的灵活运用．将两方程相加可得4a−4b=8，再两边都除以4得出a−b的值，继而由等式的性质和相反数定义即可得出答案．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解法及新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：由题意得，(x+1)2−(x+1)(x−2)=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
16.【答案】115
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和切线的性质，能根据切线的性质求出∠DCO的度数是解此题的关键．
连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
【解答】
解：
连接OC，
∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴CEB的度数是130°，
∴CAB的度数是360°−130°=230°，
∴∠BEC=12×230°=115°，
故答案为：115．
17.【答案】163
【解析】解：作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作A′E⊥AC于E，交BC于D，如图，
则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 2，
∴BC= 32+(6 2)2=9，
S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AF，
∴3×6 2=9AF，
AF=2 2，
∴AA′=2AF=4 2，
∵∠A′FD=∠DEC=90°，∠A′DF=∠CDE，
∴∠A′=∠C，
∵∠AEA′=∠BAC=90°，
∴△AEA′∽△BAC，
∴AA′A′E=BCAC，
∴4 2A′E=96 2，
∴A′E=163，
即AD+DE的最小值是163；
故答案为：163．
如图，作A关于BC的对称点A′，连接AA′，交BC于F，过A′作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A′D，此时AD+DE的值最小，就是A′E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
本题考查轴对称−最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
18.【答案】解：(1)由C的坐标为(1, 3)，得到OC=2，
∵菱形OABC，
∴BC=OC=OA=2，BC//x轴，
∴B(3, 3)，
设反比例函数解析式为y=kx，
把B坐标代入得：k=3 3，
则反比例解析式为y=3 3x；
(2)设直线AB解析式为y=mx+n，
把A(2,0)，B(3, 3)代入得：2m+n=03m+n= 3，
解得：m= 3n=−2 3，
则直线AB解析式为y= 3x−2 3；
(3)联立得：y=3 3xy= 3x−2 3，
解得：x=3y= 3或x=−1y=−3 3，即一次函数与反比例函数交点坐标为(3, 3)或(−1,−3 3)，
则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为2
(2)由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
(3)联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．
此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)|− 3|−2−1+ 12
= 3−12+2 3
=3 3−12；
(2)(1−aa+1)÷a2−1a2+2a+1
=a+1−aa+1×(a+1)2(a+1)(a−1)
=1a−1；
当a= 2+1时，原式=1 2+1−1= 22．
【解析】(1)根据化简绝对值，负整数指数幂，化简二次根式，进行计算即可求解；
(2)根据分式的混合运算进行化简，然后将字母的值代入，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的化简求值．
20.【答案】(1)50 ；216°
(2)见解析；
(3)180
(4)25
【解析】解：(1)被调查的总人数为5÷10%=50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×3050=216°，
故答案为：50、216°；
(2)B类别人数为50−(5+30+5)=10人，
补全图形如下：
(3)估计该校学生中A类有1800×10%=180人，
故答案为：180；
(4)列表如下：
所有等可能的结果为20种，其中被抽到的两个学生性别相同的结果数为8，
∴被抽到的两个学生性别相同的概率为820=25．
(1)由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C部分人数所占比例可得；
(2)总人数减去其他类别人数求得B的人数，据此即可补全条形图；
(3)用总人数乘以样本中A类别人数所占百分比可得；
(4)用树状图或列表法即可求出抽到性别相同的两个学生的概率．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的应用．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
21.【答案】证明：(1)由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，
∵DC//MN//AB，
∴F为PG的中点，即PF=GF，
由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，
在△AFP和△AFG中，
PF=GF∠AFP=∠AFGAF=AF，
∴△AFP≌△AFG(SAS)；
(2)∵△AFP≌△AFG，
∴AP=AG，
∵AF⊥PG，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，
∴△APG为等边三角形．
【解析】(1)由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；
(2)由(1)的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．
此题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：2400x=2400+8400.9x−30，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
(2)设该商品的进价为y元，
根据题意得：(40−y)×240040=900，
解得：y=25，
∴(40×0.9−25)×2400+84040×0.9=990(元)．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【解析】(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
(2)设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
23.【答案】(1)证明：连接AD、OD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴CD=BD，
∵OA=OB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴FG是⊙O的切线．
(2)解：∵tanC=ADCD=2，BD=CD，
∴BD：AD=1：2，
∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠GDB=∠GAD，
∵∠G=∠G，
∴△GDB∽△GAD，设BG=a．
∴BDAD=BGGD=DGGA=12，
∴DG=2a，AG=4a，
∴BG：GA=1：4．
【解析】(1)欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；
(2)由△GDB∽△GAD，设BG=a.可得BDAD=BGGD=DGGA=12，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
将C(0,1)代入得−3a=1，
解得：a=−13，
∴抛物线的解析式为y=−13x2+23x+1．
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则3k+b=0b=1，
解得：k=−13，
∴直线BC的解析式为y=−13x+1．
设点P(x,−13x2+23x+1)，
则D(x,−13x+1)
∴PD=(−13x2+23x+1)−(−13x+1)=−13x2+x，
∴S△PBC=12OB⋅DP
=12×3×(−13x2+x)=−12x2+32x.
又∵S△PBC=1，
∴−12x2+32x=1，整理得：x2−3x+2=0，
解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为(1,4343)或(2,1)．
(3)存在．
如图：
∵A(−1,0)，C(0,1)，
∴OC=OA=1
∴∠BAC=45°．
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，
由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，
即2x2=10，解得：x= 5(负值已舍去)，
∵AC的垂直平分线的为直线y=−x，
AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=−x与x=1的交点，
即M(1,−1)，
∴Q的坐标为(1,−1− 5).
【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将C(0,1)代入求得a的值即可；
(2)过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=−13x+1，设点P(x,−13x2+23x+1)，则D(x,−13x+1)，然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
(3)首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=−x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．鞋的尺码/cm
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
3
3
6
2
−2
−1
1
2
−2
2
−2
−4
−1
2
−1
−2
1
−2
−1
2
2
−4
−2
2
女 1
女 2
女 3
男 1
男 2
女 1
---
女 2女 1
女 3女 1
男 1女 1
男 2女 1
女 2
女 1女 2
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女 3女 2
男 1女 2
男 2女 2
女 3
女 1女 3
女 2女 3
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男 1女 3
男 2女 3
男 1
女 1男 1
女 2男 1
女 3男 1
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男 2男 1
男 2
女 1男 2
女 2男 2
女 3男 2
男 1男 2
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