2022-2023学年江苏省镇江市丹阳市八年级（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市丹阳市八年级（下）期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）数字“20232322”中，数字“3”出现的频率为 ．
2．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
3．（2分）为了了解某校2022年960名学生中考数学学科学科各分数段成绩分布情况，从中抽取120名考生的数学成绩进行统计分析，本次调查的样本是： ．
4．（2分）排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性 小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
5．（2分）在平行四边形ABCD中，已知∠B＝20°，则∠A＝ °．
6．（2分）菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 cm．
7．（2分）要反映无锡一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用 统计图．
8．（2分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，并绘制成如图所示的条形统计图，根据图中数据可知，这50名学生中，一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数是 人．
9．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为 ．
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是 ．
11．（2分）如图，以△ABC的边AB为对角线构造矩形ADBE，连接DE分别交AB、AC于点O、点F，若F为AC中点，BD=5，AD=BC=12，则EF= ．
12．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，AC=2，E、F分别为BC、CD上的两个动点（包括端点），且BE+DF=2，则线段EF的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查一批节能灯管的使用寿命
B．了解全国八年级学生身高的现状
C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
D．考察人们保护海洋的意识
15．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
16．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）
A．10个B．11个C．12个D．13个
17．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为（ ）
A．12B．6C．6D．6
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BD上一点，AE⊥EF交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列结论正确的是（ ）
A．GE2＝BG2+DE2B．GE＝BG+DE
C．D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边上的点，且满足AE＝CF连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF为平行四边形．
20．（7分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ %，b＝ %，“常常”对应扇形的圆心角度数为 ；
（2）请你补全条形统计图；
（3）针对上述数据，请对该校提出一条合理化的建议．
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 ；
（3）P（a,b）为线段AB上一点，其线段A2B2上的对应点坐标为 ．
22．（6分）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：
（1）a＝ ；b＝ ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
23．（6分）某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理，分析如下（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）：
收集数据：10，8，10，9，5，10，9，9，10，8，9，10，9，9，8，9，8，10，6，9，8，10，9，6，9，10，9，10，8，10
整理数据，并绘制统计表如下：
根据表中信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）计算这30名学生的平均成绩；
（3）若成绩不低于9分为优秀，该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的有560名，试估计该校有多少名学生参加物理实验操作？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求DE的长．
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，交CD于点F．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若EF=2，∠ABC=120°，请求出菱形ABCD的面积．
26．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD=BC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE=1时，求BD的长．
27．（11分）阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．
为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．
①如图1，点A、B为格点，画出线段AB的中点O；
②如图2，点A、B、C为格点，画出∠BAC的平分线AP；
（2）借助（1）中画图的经验解决下面的问题：
如图，已知平行四边形ABCD中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹．
①如图3，点E、F分别在AB、CD上，BE=DF，连接EF，请在EF上画点O，使点O为EF的中点；
②如图4，若AB=BC，点E为AB上一点，请在AD上画点G，使AG=AE；
③如图5，在②的条件下，若∠ABC=90°，连接BD，点P为BD上一点，请以AP为边画一个菱形，你所画的菱形为 ．
28．（12分）【方法回顾】如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明△ADE≌△CFE的依据是（ ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是 ；
【类比迁移】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点G，使GD=FD，连接GC，…请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，连接CP．请判断线段CP与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；
（4）如图4，四边形BCED是一片草坪，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∠BAD为锐角，已知CE=80m,△ABD的面积为 1200m2．计划修建一条经过点A的笔直的小路AG，其中点G在CE边上，GA的延长线经过BD中点F．若小路每米造价500元，则修建小路的总造价为 元．
2022-2023学年江苏省镇江市丹阳市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．（2分）数字“20232322”中，数字“3”出现的频率为 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，得：数字“3”出现的频率为；
故答案为：．
2．（2分）“若a2＝b2，则a＝b”这一事件是 随机事件 ．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
【答案】随机事件．
【解答】解：若a2＝b2，则a＝±b，
故若a5＝b2，则a＝b，这一事件是随机事件．
故答案为：随机事件．
3．（2分）为了了解某校2022年960名学生中考数学学科学科各分数段成绩分布情况，从中抽取120名考生的数学成绩进行统计分析，本次调查的样本是： 抽取的120名考生的数学成绩 ．
【答案】抽取的120名考生的数学成绩．
【解答】解：为了了解某校2022年960名学生中考数学学科学科各分数段成绩分布情况，从中抽取120名考生的数学成绩进行统计分析，
在这个问题中，样本是指从中抽取的120名考生的数学成绩．
故答案为：抽取的120名考生的数学成绩．
4．（2分）排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在中间”的可能性 小于 小亮“站在两边”的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：3个人站成一排，小亮站在那个位置都有可能，“小亮站在两端”的可能性有，
故小亮“站在中间”的可能性＜小亮“站在两边”的可能，
故答案为：小于．
5．（2分）在平行四边形ABCD中，已知∠B＝20°，则∠A＝ 160 °．
【答案】160．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝20°，
∴∠A＝160°，
故答案为：160．
6．（2分）菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为 5 cm．
【答案】5．
【解答】解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，
得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×6＝8（cm）和，
∴它的斜边即菱形的边长＝5cm，
故答案为：5．
7．（2分）要反映无锡一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用 折线 统计图．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：要反映无锡一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用折线统计图，
故答案为：折线．
8．（2分）抗击“新冠肺炎”线上学习期间，某校为了解学校1000名九年级学生一周体育锻炼时间的情况，随机调查了50名九年级学生，根据图中数据可知，这50名学生中 20 人．
【答案】20．
【解答】解：由题意可知，一周的体育锻炼时间不少于7小时的人数为50﹣3﹣4﹣18＝20（人），
故答案为：20．
9．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，AB＝5，AC＝6，则△CDE的面积为 12 ．
【答案】12．
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在Rt△BCO中，BO＝，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE＝DE•BD＝24，
∵BC＝CE，
∴S△BCD＝S△ECD＝S△BDE＝12．
故答案为：12．
10．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F ．
【答案】．
【解答】解：连接CE，如图所，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝4，OA＝OC，
∵过对角线交点O作EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝6﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得DE7+CD2＝CE2，
即x2+42＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴DE＝；
故答案为：．
11．（2分）如图，以△ABC的边AB为对角线构造矩形ADBE，连接DE分别交AB、AC于点O、点F，BD＝5，AD＝BC＝12 ．
【答案】．
【解答】解：矩形ADBE中，BD＝5，
∴∠ADB＝90°，DE＝AB，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
∴DE＝13，OA＝OB＝OD＝OE＝6.5，
∵点O、F分别是AB，BC＝12，
∴OF＝BC＝，
∴EF＝OE﹣OF＝6.5﹣2＝，
故答案为：．
12．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，AC＝2（包括端点），且BE+DF＝2，则线段EF的取值范围为 ．
【答案】．
【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，AC＝2，
∴AB＝AC＝BC＝3，
∴∠ABC＝60°，
∴，
∴∠ABC＝∠ACF，
∵BE+DF＝7＝CF+DF，
∴BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，∠CAF＝∠BAE，
∵∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAC＝60°，
又∵AE＝AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF，
∵E、F分别为BC，
∴当点E与点B重合时，AE最大，AE＝AB＝2，
当AE⊥BC时，AE最小，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
14．（3分）下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．调查一批节能灯管的使用寿命
B．了解全国八年级学生身高的现状
C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件
D．考察人们保护海洋的意识
【答案】C
【解答】解：A．调查一批节能灯管的使用寿命，故此选项不符合题意；
B．了解全国八年级学生身高的现状，故此选项不符合题意；
C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件，故此选项符合题意；
D．考察人们保护海洋的意识，故此选项不符合题意；
故选：C．
15．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【解答】解：A．有一个角是直角的四边形不一定是矩形；
B．两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
D．两条对角线相等的菱形是正方形．
故选：D．
16．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）
A．10个B．11个C．12个D．13个
【答案】B
【解答】解：设黑球个数为：x个，
∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，
∴口袋中得到白色球的概率为25%，
∴＝0.25，
解得：x＝11，
故黑球的个数为11个．
故选：B．
17．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上（ ）
A．12B．6C．6D．6
【答案】D
【解答】解：连接BB′，如图，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴BC＝AC＝6，
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，
∴CA＝CA′，CB＝CB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴BB′＝CB＝6，
即点B'与点B之间的距离为6．
故选：D．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BD上一点，连接AF交BD于点G，下列结论正确的是（ ）
A．GE2＝BG2+DE2B．GE＝BG+DE
C．D．
【答案】A
【解答】解：连接CE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABC+∠AEF＝180°，
∴∠BAE+∠BFE＝180°，
∵∠BFE+∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠BAE，
∴∠CFE＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∴EA＝EF，
∴∠EAF＝45°，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，连接HG，
则AH＝AE，BH＝DE，∠ABH＝∠ADE＝45°，
∵∠HAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF，
又∵AG＝AG，
∴△AHG≌△AEG（SAS），
∴HG＝EG，
∵∠HBG＝∠HBA+∠ABG＝90°，
∴BH2+BG7＝HG2，
即GE2＝BG5+DE2；
故选：A．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（6分）在▱ABCD中，点E、F分别是AD、BC边上的点，且满足AE＝CF连接BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF为平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴ED∥BF，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20．（7分）某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：A．很少，C．常常，D．总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 12 %，b＝ 36 %，“常常”对应扇形的圆心角度数为 108° ；
（2）请你补全条形统计图；
（3）针对上述数据，请对该校提出一条合理化的建议．
【答案】（1）12，36，108°；
（2）图见解析；
（3）见解析．
【解答】解：（1）解：44÷22%＝200（人），
；
；
360°×30%＝108°；
故答案为：12，36．
（2）C选项的人数为：200×30%＝60（人）；
补全条形图如图：
（3）由统计图可知，要加强对学生整理，修改错题的检查和管理
21．（6分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 （0，2） ；
（3）P（a，b）为线段AB上一点，其线段A2B2上的对应点坐标为 （﹣a，4﹣b） ．
【答案】（1）图见解析；
（2）（0，2）；
（3）（﹣a，4﹣b）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C7和△A2B2C8即为所求；
（2）如图，连接BB2，CC2，两线交于点（3，2），
∴△A2B2C2与△ABC关于点（0，3）成中心对称；
故答案为：（0，2）
（3）设点P（a，b）的对应点为P7（x，y），
则：，
∴x＝﹣a，y＝4﹣b；
∴P6（﹣a，4﹣b）；
故答案为：（﹣a，4﹣b）．
22．（6分）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，回答问题：
（1）a＝ 0.951 ；b＝ 0.95 ．
（2）从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是 0.95 .（精确到0.01）
（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，请问这批公仔中优等品大约是多少只？
【答案】（1）0.951，0.95；
（2）0.95；
（3）9500只．
【解答】解：（1）a＝＝0.951＝0.95．
故答案为：6.951，0.95；
（2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是3.95，
故答案为：0.95；
（3）根据题意得：
10000×0.95＝9500（只），
答：这批公仔中优等品大约是9500只．
23．（6分）某校为了解九年级全体学生物理实验操作的情况，随机抽取了30名学生的物理实验操作考核成绩，并将数据进行整理（说明：考核成绩均取整数，A级：10分，B级：9分，C级：8分，D级：7分及以下）：
收集数据：10，8，10，9，5，10，9，9，8，9，10，9，9，8，9，8，10，6，9，8，9，6，9，10，9，10，8
整理数据，并绘制统计表如下：
根据表中信息，解答下列问题：
（1）m＝ 11 ，n＝ 6 ；
（2）计算这30名学生的平均成绩；
（3）若成绩不低于9分为优秀，该校九年级参加物理实验操作考核成绩达到优秀的有560名，试估计该校有多少名学生参加物理实验操作？
【答案】（1）11，6；
（2）8.8分；
（3）该校有800名学生参加物理实验操作．
【解答】解：（1）由收集的数据可知：m＝11，n＝6；
故答案为：11，6．
（2）这30名学生的平均成绩为：（分）
（3）设该校有x名学生参加物理实验操作，由题意，
解得：x＝800；
答：该校有800名学生参加物理实验操作．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上
（1）判断△BEC的形状，并说明理由；
（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△BEC是等腰三角形，理由如下：
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，
∵∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴AE＝AB＝1，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
25．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，DE∥AC，CE∥BD，交CD于点F．
（1）求证：四边形DOCE是矩形；
（2）若EF＝2，∠ABC＝120°，请求出菱形ABCD的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）8．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形DOCE是矩形；
（2）解：∵EF＝2，四边形DOCE是矩形，
∴OE＝CD＝2EF＝4，
∵ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝4，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴OB＝×4＝2＝2，
∴AC＝4，BD＝2，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝×4＝8．
26．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BCBC．分别以B、D为圆心，大于，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DO，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CD＝BC，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝1，
∴△BDC是直角三角形，
∵8DC＝BC，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BD＝CD＝．
27．（11分）阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．
（1）图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图
①如图1，点A、B为格点，画出线段AB的中点O；
②如图2，点A、B、C为格点，画出∠BAC的平分线AP；
（2）借助（1）中画图的经验解决下面的问题：
如图，已知平行四边形ABCD中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图
①如图3，点E、F分别在AB、CD上，BE＝DF，请在EF上画点O，使点O为EF的中点；
②如图4，若AB＝BC，点E为AB上一点，使AG＝AE；
③如图5，在②的条件下，若∠ABC＝90°，点P为BD上一点，请以AP为边画一个菱形 APCG ．
【答案】（1）①作图见解析过程；
②作图见解析过程；
（2）①作图见解析过程；
②作图见解析过程；
③作图见解析过程；APCG．
【解答】解：（1）①如图1所示，取格点C，D，CD与AB的交点即为点O；
由图可知：四边形ADBC为矩形，
∴OA＝OB，
∴点O即为所求；
②连接BC，取BC的中点P，如图2所示；
由图可知：AC＝＝5＝AB，
∵点P为BC的中点，
∴AP平分∠BAC；
（2）①连接AC，AC与EF的交点即为点O，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
又∵CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴OE＝OF，
∴O为EF的中点；
②连接AC，DE，连接BO并延长，如图4；
∵平行四边形ABCD，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠DAO＝∠BAO，
又∵AO＝AO，
∴△ADO≌△ABO（SAS），
∴∠ABG＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠BAG，AD＝AB，
∴△ADE≌△ABG（ASA），
∴AE＝AG；
③连接AC交BD于点O，连接CP并延长交AD于点F，连接AE交BD于点G，如图6；
∵∠ABC＝90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AO＝OC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥CF，
同法可得：四边形APCG为平行四边形，
∵PG⊥AC，
∴平行四边形APCG为菱形，
故答案为：APCG．
28．（12分）【方法回顾】如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，使EF＝DE，连接CF，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
（1）上述证明过程中：
①证明△ADE≌△CFE的依据是（ A ）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ；
【类比迁移】
（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，且AE＝EF，求证：AC＝BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点G，使GD＝FD，…请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，连接CP．请判断线段CP与DE的数量关系及位置关系，并说明理由；
（4）如图4，四边形BCED是一片草坪，△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∠BAD为锐角，已知CE＝80m2．计划修建一条经过点A的笔直的小路AG，其中点G在CE边上，GA的延长线经过BD中点F．若小路每米造价500元 15000 元．
【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明见解答过程；
（3）CP＝DE，CP⊥DE，理由见解答过程；
（4）15000．
【解答】（1）解：延长DE到点F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∵∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AB∥CF，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DE∥BC，BC＝DF，
∵DE＝DF，
∴DE＝BC，
即DE∥BC且DE＝BC，
故答案为：①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：如图2，延长AD至G，连接GC，
在△BDF和△CDG中，
，
∴△BDF≌△CDM（SAS），
∴BF＝GC，∠BFM＝∠G，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFM，
∴∠G＝∠GAC，
∴AC＝GC，
∴AC＝BF；
（3）解：CP＝DE，理由如下：
如图3，延长CP到点M，连接BM，PC的延长线交DE于点N，
又∵点P是BG的中点，
∴四边形BMGC是平行四边形，
∴BM∥CG，BM＝CG，
∴∠MBC+∠BCG＝180°，∠BMC＝∠MCG，
∵四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，
∴DC＝BC，∠BCD＝90°，∠GCE＝90°，
∴∠BCG+∠DCE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠MBC＝∠DCE，
在△BCM和△CDE中，
，
∴△BCM≌△CDE（SAS），
∴CM＝DE，∠BMC＝∠DEC＝∠MCG，
∴CP＝DE，
∵∠MCG+∠NCE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠NCE+∠DEC＝90°，
∴∠CNE＝90°，
∴CN⊥DE，
综上，CP＝，CP⊥DE．
（4）解：如图6，过点B作BM∥AD，
如图3，四边形BMGC是平行四边形，
∴S△BCM＝S△BCG，S△BCM＝S△CDE，
∴S△BCG＝S△CDE，
同理，S△ABD＝S△ACE＝1200m2，
∵BM∥AD，
∴∠M＝∠DAM，
∵F为BD中点，
∴BF＝DF，
∵∠BFM＝∠AFD，
∴△BFM≌△DFA（AAS），
∴BM＝AD，
∵BM∥AD，
∴∠ABM+∠DAB＝180°，
∵∠CAE+∠DAB＝180°，
∴∠ABM＝∠CAE，
∵BM＝AD＝AE，AB＝AC，
∴△ABM≌△CAE（SAS），
∴∠M＝∠AEC＝∠DAM，
∵∠EAD＝90°，
∴∠GAE+∠DAM＝90°，
∴∠GAE+∠AEC＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AG⊥CE，
∵S△ACE＝×CE×AG＝1200m2，CE＝80m，
∴AG＝30（m），
∴修建小路的总造价为30×500＝15000（元）．
故答案为：15000．抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
5000
优等品的频数m
9
96
951
1900
2856
4750
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.95
0.952
b
成绩等级
A
B
C
D
人数（名）
10
m
n
3
抽取的公仔数n
10
100
1000
2000
3000
5000
优等品的频数m
9
96
951
1900
2856
4750
优等品的频率
0.9
0.96
a
0.95
0.952
b
成绩等级
A
B
C
D
人数（名）
10
m
n
3