2021-2022学年北京市理工大学附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市理工大学附中高二（下）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列求导运算正确的是（ ）
A．（csx）'＝sinxB．
C．（ex）'＝xex﹣1D．
2．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
4．下列四个函数中，图象如图1所示的只能是（ ）
A．y＝x+lnxB．y＝x﹣lnxC．y＝﹣x+lnxD．y＝﹣x﹣lnx
5．设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+4（n∈N），则f（n）等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数f（x）＝xsinx，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（ ）
A．m＜0＜nB．0＜n＜mC．0＜m＜nD．n＜m＜0
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为常数列”是“∀n∈N*，Sn＝nan”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）
9．已知两等差数列{an}，{bn}，前n项和分别是An，Bn，且满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
10．对于函数f（x）＝（2x﹣x2）ex，其中判断正确的有（ ）
（1）是f（x）的单调递减区间；
（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；
（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共5小题.
11．函数f（x）＝x﹣﹣6的零点个数是 ．
12．已知数列{an}的通项公式为，记这个数列前n项和为Sn，计算S8＝ ．
13．现有30个分别标有不同编号的球，其中有27个红球，3个黑球，若从这30个球中取出3个球，则至少取到两个黑球的取法总数为 .（用数字作答）
14．若函数有最大值，则实数a的取值范围是 ．
15．令f（x）＝x2+x﹣1，对抛物线y＝f（x），持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点（1，1）处作抛物线的切线，交x轴于（x1，0）；
在点（x1，f（x1））处作抛物线的切线，交x轴于（x2，0）；
在点（x2，f（x2））处作抛物线的切线，交x轴于（x3，0）；
……
由此能得到一个数列{xn}．
（1）设xn+1＝g（xn），则g（xn）＝ ；
（2）用二分法求方程x2+x﹣1＝0在区间（0，1）上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度为 ．
三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．
17．数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+cn（c是常数，n＝1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式．
18．已知函数f（x）＝ln（ax+1）﹣x+1（a≥1）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}与{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
（Ⅲ）已知集合M＝{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{ai，aj}⊆M，总存在M的“关联子集”A，使得{ai，aj}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．
2021-2022学年北京市理工大学附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．（csx）'＝sinxB．
C．（ex）'＝xex﹣1D．
【分析】直接利用导数的基本运算逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：（csx）'＝﹣sinx，故A错误；
，故B正确；
（ex）'＝ex，故C错误；
，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查导数的基本运算，熟记导数的运算法则是关键，是基础题．
2．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，＝（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【分析】等差数列{an}的公差设为d和等比数列{bn}的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，计算可得所求值．
【解答】解：等差数列{an}的公差设为d和等比数列{bn}的公比设为q，
由a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
可得﹣1+3d＝﹣q3＝8，
可得d＝3，q＝﹣2，
则＝＝1，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
3．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么下面说法正确的是（ ）
A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数
B．在（1，3）内f（x）是减函数
C．在（4，5）内f（x）是增函数
D．在x＝2时，f（x）取得极小值
【分析】由图象根据导数的正负来判断函数的增减性．
【解答】解：①在（﹣3，﹣），（2，4）上，f′（x）＜0，∴f（x）是减函数，
②在（﹣，2），（4，5）上，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数，
③x＝2时，取到极大值；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．
4．下列四个函数中，图象如图1所示的只能是（ ）
A．y＝x+lnxB．y＝x﹣lnxC．y＝﹣x+lnxD．y＝﹣x﹣lnx
【分析】由题目中四个答案中的函数解析式，分析判断其在（0，+∞）上的单调性，然后和已知中的图象进行比照，即可得到答案．
【解答】解：A中，y＝x+lnx，y′＝1+，当x＞0时，y′＞0恒成立，故函数在定义域上为增函数，故不符合题目要求；
B中，y＝x﹣lnx，y′＝1﹣，当0＜x＜1时，y′＜0，x＞1时，y′＞0，故函数在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，故符合题目要求；
C中，y＝﹣x+lnx，y′＝﹣1+，当0＜x＜1时，y′＞0，x＞1时，y′＜0，故函数在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，故不符合题目要求；
D中，y＝﹣x﹣lnx，y′＝﹣1﹣，当x＞0时，y′＜0恒成立，故函数在定义域上为减函数，故不符合题目要求；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是函数图象，函数的单调性，其中根据函数的解析式，利用导数法，分析出函数的单调性是解答本题的关键．
5．设f（n）＝2+24+27+210+…+23n+4（n∈N），则f（n）等于（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：f（n）＝2+24+27+210+…+23n+4＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．已知函数f（x）＝xsinx，记m＝f（﹣），n＝f（），则下列关系正确的是（ ）
A．m＜0＜nB．0＜n＜mC．0＜m＜nD．n＜m＜0
【分析】根据条件，判断函数的奇偶性和单调性即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）＝xsinx，
∴f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），
即函数f（x）是偶函数，
∴m＝f（﹣）＝f（）
当0时，函数y＝x，单调递增，y＝sinx单调递增，且此时f（x）＞0，
∴此时f（x）＝xsinx在0上单调递增，
∵＞，
∴f（）＞f（）＞0，
即f（﹣）＞f（）＞0，
∴0＜n＜m，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用条件，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}为常数列”是“∀n∈N*，Sn＝nan”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据数列前n项和与数列通项的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若{an}为常数列，则d＝0，则Sn＝nan成立，即充分性成立，
若Sn＝nan，则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，
即（n﹣1）an﹣1＝（n﹣1）an，
则an﹣1＝an，则{an}为常数列，即必要性成立．
故“{an}为常数列”是“∀n∈N*，Sn＝nan”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数列前n项和与数列通项的关系是解决本题的关键．
8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＞ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞f（0）D．f（1）＜f（0）
【分析】令g（x）＝，利用导数及已知可判断该函数的单调性，由单调性可得答案．
【解答】解：令g（x）＝，
则g′（x）＝＝，
∵f′（x）＞f（x），
∴g′（x）＞0，g（x）递增，
∴g（1）＞g（0），即，
∴f（1）＞ef（0），
故选：A．
【点评】该题考查利用导数研究函数的单调性，由选项恰当构造函数是解决该题的关键所在．
9．已知两等差数列{an}，{bn}，前n项和分别是An，Bn，且满足，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用等差数列的前n项和公式化简即可．
【解答】解：由题意，得＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，是基础题．
10．对于函数f（x）＝（2x﹣x2）ex，其中判断正确的有（ ）
（1）是f（x）的单调递减区间；
（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；
（3）f（x）有最大值，没有最小值；
（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）＝0求出x，再根据f'（x）的正负判断原函数的单调性与极值，进而判断（1），（2），根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，从而判断（3），由x＝0，|f（x）|＝0即可判断（4），从而得到答案．
【解答】解：f′（x）＝ex（2﹣x2），由f′（x）＝0得x＝±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，
由f′（x）＞0得﹣＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，），故（1）不正确；
∴极小值为f（﹣），f（x）的极大值为f（），故（2）正确；
∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立，在（﹣，）单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴当x＝时取极大值，也是最大值，而当x→+∞时，f（x）→﹣∞，
∴f（x）无最小值，但有最大值f（）则（3）正确；
当x＝0时，|f（x）|＝0，则（4）不正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查逻辑推理能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题.
11．函数f（x）＝x﹣﹣6的零点个数是 1 ．
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出f（x）的零点个数．
【解答】解：由题意可知x≥0时，f（x）＝x﹣﹣6＝0，可得﹣﹣6＝0，
解得＝﹣2（舍去）或＝3，
∴x＝9；
函数f（x）＝x﹣﹣6的零点个数是1个．
故答案为：1．
【点评】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．
12．已知数列{an}的通项公式为，记这个数列前n项和为Sn，计算S8＝ 2 ．
【分析】由＝﹣，利用累加求和方法即可得出．
【解答】解：＝﹣，
∴S8＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣1）＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了累加求和方法、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．现有30个分别标有不同编号的球，其中有27个红球，3个黑球，若从这30个球中取出3个球，则至少取到两个黑球的取法总数为 82 .（用数字作答）
【分析】利用分类加法计数原理求解．
【解答】解：由分类加法计数原理可知，至少取到两个黑球的取法总数为＝82种，
故答案为：82．
【点评】本题主要考查了分类加法计数原理，属于基础题．
14．若函数有最大值，则实数a的取值范围是 （﹣∞，1] ．
【分析】利用分段函数的解析式，作出函数g（x）＝﹣x3+3x直线h（x）＝2x的图象，利用导数研究函数g（x）的性质，结合图象分析求解即可．
【解答】解：函数，
作出函数g（x）＝﹣x3+3x与直线h（x）＝2x的图象，
它们的交点时A（1，2），O（0，0），B（﹣1，﹣2），
由g'（x）＝﹣3x2+3，则令g'（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝1，
当x＜﹣1或x＞1时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
当﹣1＜x＜1时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
所以x＝1是g（x）的极大值点，x＝﹣1是g（x）的极小值点，
由图象可知，当a＞1时，f（x）没有有最大值，
当a≤1时，有﹣a3+3a＜2a，此时f（x）有最大值f（1）＝2，
故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题考查了函数最值的理解和应用，分段函数的理解和应用，解题的关键是利用数形结合法转化为两个函数图象的关系进行研究，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
15．令f（x）＝x2+x﹣1，对抛物线y＝f（x），持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点（1，1）处作抛物线的切线，交x轴于（x1，0）；
在点（x1，f（x1））处作抛物线的切线，交x轴于（x2，0）；
在点（x2，f（x2））处作抛物线的切线，交x轴于（x3，0）；
……
由此能得到一个数列{xn}．
（1）设xn+1＝g（xn），则g（xn）＝ ；
（2）用二分法求方程x2+x﹣1＝0在区间（0，1）上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到牛顿切线法的求解速度为 快一些 ．
【分析】（1）利用切点处的导数为该切线的斜率，即可表示出切线方程，即可表示出g（xn）；
（2）由（1）通过计算，即可比较出结果．
【解答】解：（1）f（x）在（xn，f（xn））处的切线斜率为2xn+1，
所以切线方程为：y﹣f（xn）＝（2xn+1）（x﹣xn），
令y＝0，得﹣x﹣xn+1＝（2xn+1）（x﹣xn），
∴xn+1＝，
∴g（xn）＝，
（2）由（1）得，x，x2＝，x3＝≈0.6180，x4≈0.61803，
用二分法时，f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0，
f（）＝﹣＜0，f（）＝＞0，
f（）＝＞0，f（）＝﹣＜0，
∴≈0.59375，
而x的真实值为≈0.618，
所以牛顿切线法的求解速度快一些．
故答案为：g（xn）＝，快一些．
【点评】本题考查了导数的几何意义，学生的数学运算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．已知函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．
【分析】（I）由于函数f（x）＝ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．可得f′（1）＝0，即可得到a．再利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得出切线方程．
（II）利用导数研究函数的单调性极值，再计算出区间端点的函数值即可比较出最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax3+3x+2，
∴f'（x）＝3ax2+3．
∵函数f（x）的一个极值点是1，
∴f'（1）＝3a+3＝0．
解得：a＝﹣1．
经检验，a＝﹣1满足题意．
∴f（x）＝﹣x3+3x+2，
∴f（2）＝0，f'（2）＝﹣9．
∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y＝﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）＝﹣3x2+3．
令f'（x）＝0，得 x1＝﹣1，x2＝1．
当x在[﹣2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表
∴函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值为4，最小值为﹣16．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了导数的几何意义和切线方程，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
17．数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+cn（c是常数，n＝1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{an}的通项公式．
【分析】（1）由题意知（2+c）2＝2（2+3c），解得c＝0或c＝2．再由当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意舍去，知c＝2．
（2）由题意知an﹣an﹣1＝（n﹣1）c，所以．由此可知an＝n2﹣n+2（n＝1，2，）
【解答】解：（1）a1＝2，a2＝2+c，a3＝2+3c，
因为a1，a2，a3成等比数列，
所以（2+c）2＝2（2+3c），
解得c＝0或c＝2．
当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意舍去，故c＝2．
（2）当n≥2时，由于a2﹣a1＝c，a3﹣a2＝2c，an﹣an﹣1＝（n﹣1）c，
所以．
又a1＝2，c＝2，故an＝2+n（n﹣1）＝n2﹣n+2（n＝2，3，）．
当n＝1时，上式也成立，
所以an＝n2﹣n+2（n＝1，2，）
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．
18．已知函数f（x）＝ln（ax+1）﹣x+1（a≥1）．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），再根据f'（x）的正负即可求出f（x）的单调区间．
（Ⅱ）利用导数可知f（x）max＝f（）＝lna+，依题意有lna+，设g（a）＝lna+（a≥1），求导可知g（a）在[1，+∞）上单调递增，再由g（a）≤g（e），即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣x+1，定义域为（﹣1，+∞），
∴f'（x）＝＝，
令f'（x）＝0，得x＝0，
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）．
（Ⅱ）f'（x）＝﹣1＝（x＞﹣），
令f'（x）＝0，得x＝，
当x∈（﹣，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）max＝f（）＝lna+，
依题意有lna+，设g（a）＝lna+（a≥1），
则g'（a）＝＝≥0，∴g（a）在[1，+∞）上单调递增，
又g（e）＝lne+＝，
∴，即g（a）≤g（e），
∴1≤a≤e，
∴实数a的取值范围为[1，e]．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了恒成立问题，属于中档题．
19．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}与{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？
（Ⅱ）写出（Ⅰ）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
（Ⅲ）已知集合M＝{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{ai，aj}⊆M，总存在M的“关联子集”A，使得{ai，aj}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．
【分析】（Ⅰ）根据给定定义直接判断作答．
（Ⅱ）由（1）及所给定义直接写出“关联子集”作答．
（Ⅲ）写出M的所有4元素子集，再利用反证法确定“关联子集”，然后推理作答．
【解答】解：（Ⅰ）集合{2，4，6，8，10}中，因2+8＝4+6，所以集合{2，4，6，8，10}是“关联的”，
集合{1，2，3，5，8}中，不存在某两个数的和等于另外两个数的和，所以集合{1，2，3，5，8}是“独立的”；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，有2+8＝4+6，2+10＝4+8，4+10＝6+8，
所以{2，4，6，8，10}的“关联子集”有：{2，4，6，8}，{2，4，8，10}，{4，6，8，10}；
（Ⅲ）证明：集合M的4元素子集有5个，分别记为：A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，
A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，因此，集合M至多有5个“关联子集”，
若A2＝{a1，a3，a4，a5}是“关联子集”，则A1＝{a2，a3，a4，a5}不是“关联子集”，否则a1＝a2，矛盾，
若A2＝{a1，a3，a4，a5}是“关联子集”，同理可得A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}不是“关联子集”，
因此，集合M没有同时含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾，
于是得A2＝{a1，a3，a4，a5}一定不是“关联子集”，同理A4＝{a1，a2，a3，a5}一定不是“关联子集”，
即集合M的“关联子集”至多为A1＝{a2，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，
若A1＝{a2，a3，a4，a5}不是“关联子集”，则集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾，
若A3＝{a1，a2，a4，a5}不是“关联子集”，则集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾，
若A5＝{a1，a2，a3，a4}不是“关联子集”，则集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾，
因此，A1＝{a2，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}都是“关联子集”，
即有a2+a5＝a3+a4⇔a5﹣a4＝a3﹣a2，a1+a5＝a2+a4⇔a5﹣a4＝a2﹣a1，a1+a4＝a2+a3⇔a4﹣a3＝a2﹣a1，
从而得a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1，
所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．
【点评】涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决．
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﹣2
（﹣2，﹣1）
﹣1
（﹣1，1）
1
（1，3）
3
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﹣
0
+
0
﹣
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4
↘
0
↗
4
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