上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共14页。试卷主要包含了数学试卷等内容，欢迎下载使用。

练习时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 第_____________象限角，
【答案】三
【解析】
【分析】利用终边相同角的概念可知，与的终边相同可得结论.
【详解】易知，因此与的终边相同，
因为在第三象限，所以是第三象限角.
故答案为：三
2. 化简向量运算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：.
3. 已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的正平轴重合，它的终边过点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据三角函数的定义求出角的的正余弦值，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】由题意，该试卷源自 每日更新，享更低价下载。所以.
故答案为：.
4. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解.
【详解】由，可得
故答案为：.
5. 已知函数（其中常数）的最小正周期为2，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，列出方程，即可求解.
【详解】由函数，可得其最小正周期为，
结合题意，可得，即，解得.
故答案为：或.
6. 已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.
【详解】向量，，与的夹角为，则，
所以在方向上的投影是.
故答案为：
7. 若锐角满足_______________.
【答案】
【解析】
【详解】因，故， ，应填答案．
8. 对于函数，其中．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】代入计算得到，再计算，得到答案.
【详解】，故，
.
故答案为：
9. 若，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知中，由对数的运算性质我们可得，利用平方法，可先后求出值和值，进而根据，我们可以确定的符号，进而得到答案．
【详解】解：
又
故答案为：.
10. 已知函数，其中在上是严格增函数，则的最大值为___．
【答案】##
【解析】
【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比即可得解.
【详解】由于函数满足的单调递增区间为，，
解得，；
故函数的单调递增区间为，；
故，；
故，，即的最大值为．
故答案为：.
11. 已知中，，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解.
【详解】在中，，且，
可得，
所以，解得，
因为，所以.
故答案为：.
12. 已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______．
【答案】
【解析】
【分析】由得到周期为4从而求得，
因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值.
【详解】因为，所以周期，又由得，所以，
则，，
，，
而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的，
若即，则，集合中只有2个元素，不合题意；
若即，则，集合中只有2个元素，不合题意；
若即，则，得或，此时
；
若即，则，得或，此时或；
综上的值为0或1或-1，所以.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据，得出值即得答案.
【详解】因为，所以或，所以是的充分非必要条件.
故选A.
14. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若且，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果.
【详解】对于A，若，则，
因为，当时，，此时，故A错误；
对于B，若，则，
因为，所以，所以，故B错误；
对于C，若，则，
因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，则，
因为，当时，，此时，故D错误.
故选：C.
15. 函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换得到的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可.
详解】设，所以，
因为为奇函数，所以，
令，整理得，所以可以等于.
故选：B.
16. 我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①：②函数在上有4048个零点，则以下判断正确的是（ ）
A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，即可判断②.
【详解】依题意得，所以，故①为假命题；
所以，
令，得，，得，，
由，得，，
所以整数的值有个，函数在上有4048个零点，故②为真命题.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cs A＝acs C．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据已知，利用正弦定理，求出，求出角A的大小；（2）由余弦定理的推论，求出边长c，由b=2c 求出边长b，由三角形面积公式求出面积．
试题解析： (1)根据正弦定理，由(2b－c)cs A＝acs C，
得2sin Bcs A＝sin Acs C＋sin Ccs A，
即2sin Bcs A＝sin(A＋C)，
所以2sin Bcs A＝sin B，
因为0所以cs A＝，因为0(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝，
所以cs A＝＝＝，
解得c＝，所以b＝2.
所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.
18. 已知向量，满足，，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
（2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【小问1详解】
∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）知，
∴，
∴；
19. 如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个平径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，便点在弧上．设，矩形的面积为．

（1）求关于的函数表达式；
（2）求的最大值及取得最大值时的值．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可；
（2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解.
【小问1详解】
延长交于，延长交于，
由是正方形，是矩形，可知，，
由，可得，，
所以，，
故；
【小问2详解】
令由，可得，
所以，
则，
因为，，
所以，所以，
所以当，即或，即或时，取得最大值，
所以，此时或.

20. 已知函数的最小正周期.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）增区间为，减区间为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由周期求出即得.
（2）利用正弦函数的单调性，列出不等式求解即得.
（3）利用正弦函数的性质求解不等式.
【小问1详解】
依题意，
，
由的最小正周期，解得，
则.
【小问2详解】
令，解得，
所以的单调增区间为；
令，解得，
所以的单调减区间为.
【小问3详解】
由，得，即，
则，解得，
所以不等式的解集为.
21. 已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值；
（3）令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得；
（2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；
（3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出.
【小问1详解】
函数，
若，
则与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
由，解得；
小问2详解】
，
，
，所以或，
解得或，又， 得，
所以，函数最小正周期，
令，即，解得或，
若在上恰好有4个零点，则，
要使最小，则恰好为零点，
所以的最小值为；
【小问3详解】
由题意，
因为，
所以，当且仅当时取等号，
又因为函数的最大值为10，
所以同时取得最大值，
所以，所以，
所以满足条件的的最小值为．
【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键.