山东省烟台市福山区福山区尚德中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．考试时间120分钟，满分120分．
2．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一计算后，判断即可．
【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
B、，不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
C、，选项正确；
D、，选项错误；
故选C．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可
【详解】解：A、原方程可化为，是一元一次方程， 故本选项错误；
B、若，则此方程是一元一次方程， 故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义， 故本选项正确；
D、是分式方程， 故本选项错误 ．
故选：C．
3. 下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：、是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
不是最简二次根式，
故选：B．
4. 下列各式中，化简正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，立方根的定义，开方与乘方的关系，理解“若一个，则称为的立方根，”，开方与乘方互为逆运算，掌握，，是解题的关键．
【详解】A、，结论错误，故不符合题意；
B、，结论正确，符合题意；
C、，结论错误，故不符合题意；
D、，结论错误，故不符合题意；
故选：B．
5. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ）
A. B. 3C. 3或D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，把代入一元二次方程得，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
所以．
故选：A．
6. 如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．
B、正确．，，，
，
，
平行四边形为矩形．
C、正确，，
，
，
平行四边形是矩形，
D、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形．
故选：D
7. 已知，则的平方根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，平方根等知识．先根据题意得到，再根据一个数的平方根与算术平方根的关系即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的平方根为．
故选：D
8. 辽南是“中国苹果之乡”，某超市将进价为每千克元的苹果按每千克元卖出，平均一天能卖出千克，为了尽快减少库存，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降元时，其日销售量就增加千克，设售价下降元，超市每天销售苹果的利润为元，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当售价下降元时，每千克苹果的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，利用超市每天销售苹果获得的利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：当售价下降元时，每千克苹果的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，
依题意得：，
故选：B．
9. 若，则代数式值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义以及乘方运算，先根据得出，算出的值，再代入进行运算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
解得，
则，
故选：C．
10. 如图①，在矩形中，连接，动点P从点B出发，依次沿运动至点B停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A. 4B. 3C. 5D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查动点的函数图象问题．根据题意结合图象，可知：，结合勾股定理进行求解即可．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，当点在上运动时，的面积为定值，为6，点的总路程为12，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
联立：，解得：或，
∵，
∴；
故选A．
二．填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 请写出有一个根为2的一元二次方程：________________________（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：依题意，有一个根为的一元二次方程可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义，分式分母不为零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，分式分母不为零即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，
，
故答案为：．
13. 已知最简二次根式和是同类二次根式，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，二次根式的性质，因式分解法解方程，根据化简后的二次根式是同类二次根式，得出被开方数为0，得出的值，再代入运用二次根式的性质进行化简，即可作答．
【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，且
∴，
由，得出，
解得（与相矛盾，故舍去），
∴，
∴，
则，
故答案为：1．
14. 已知是方程的一个根，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，得出，代入代数式，即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则_________．
【答案】##20度
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质．先根据菱形的性质得到，，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则__．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程的，解题关键是得到．
设，则，，，然后在中利用勾股定理列方程求出进而得到．
【详解】解：依题得：，
设，
则正方形中，，，
是的中点，
，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
解得或（舍去）
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
17. 计算：
（1）．
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）0
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简，再进行乘除 ，最后运算加减，即可作答．
（2）先化简，再进行乘除 ，最后运算加减，即可作答．
（3）先由二次根式有意义，得出，然后进行分母有理化，再运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：∵
∴
．
18. 用指定的方法解方程：
（1）（用配方法）
（2）（用公式法）
（3）（用因式分解法）
（4）（用适当的方法）
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．
（2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答．
（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
【小问1详解】
解：
移项，得
配方，得，即
∴
解得，；
【小问2详解】
解：
∴
解得；
【小问3详解】
解：
则
解得；
【小问4详解】
解：
∴
解得．
19. 阅读并回答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
（1）整数部分是______；
（2）如果的整数部分是，的小数部分是，求的值；
（3）如果，其中是整数，且，求的整数部分．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了无理数整数部分的有关计算：
（1）利用得，进而可求解；
（2）利用得，进而可得， ，再代入式子即可求解；
（3）利用可得，进而可求解；
利用无理数的估算确定无理数的整数部分是解题的关键．
【小问1详解】
解：，即：，
的整数部分是2，
故答案为：2．
【小问2详解】
，即：，
的整数部分是3，小数部分为，
， ，
．
【小问3详解】
，即：，
，
是整数部分，且，，
，
．
20. 已知▱ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．
【答案】m＝1，四边形ABCD是菱形，0.5.
【解析】
【分析】由题意可知：AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+＝0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴△＝0，即m2﹣4（﹣）＝0，
整理得：（m﹣1）2＝0，
解得m＝1，
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，
解得：x1＝x2＝0.5．
故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形边长是0.5．
【点睛】此题考查了菱形的性质；与一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱形的边长是解决本题的关键．
21. 如图，一矩形花坛一边靠墙，长4m，宽3m，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰为花坛面积的，求甬路的宽度．
【答案】米
【解析】
【分析】设甬路的宽度为x米，根据甬路面积恰为花坛面积的，列出方程，解之即可．
【详解】解：设甬路宽度为x米，
由题意可得：，
解得：，（负值舍去），
∴甬路的宽度为米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够在方程中表示出甬路的面积．
22. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值．
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有实数根．
∴，即，
解得；
【小问2详解】
∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．
（1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？
【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为
（2）销售单价应定位元
【解析】
【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为；
【小问2详解】
解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据题意得：，
整理得：，
解得：
∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠
∴销售单价应定位元．
24. 如图，在中，，点E是的中线的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
（1）判断四边形的形状并证明；
（2）若，其他条件不变，四边形又是什么特殊的四边形，请证明你的判断．
【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析
（2）四边形是正方形，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定：
（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再证，推出，结合可证四边形是平行四边形，结合可证平行四边形是菱形；
（2）时，根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）中结论，可得四边形是正方形．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，证明如下：
在中，，是的中线，
，
又点D是的中点，
，
，
点E是的中线的中点，
，
，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形菱形．
【小问2详解】
解：四边形是正方形，证明如下：
，是的中线，
，
，
由（1）知四边形是菱形
∴菱形是正方形．
25. 如图，四边形是正方形，点E是边上的点，连接，，过点D作，垂足为F，延长到点G，使，连接，，延长交的延长线于点H．
（1）依题意补全图形；
（2）用含α的式子表示；
（3）直接写出的度数；
（4）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4），证明见解析
【解析】
【分析】（1）画线段的延长线与线段的延长线相交于点H即可．
（2）如下图，过点A作，交的延长线于点M，由得，再根据四边形是正方形可得，从而得，即可用含α的式子表示；
（3）由（2）得，根据∠AGB=∠AGF+∠FGH =+∠FGH可得，利用直角三角形两锐角互余可得；
（4）由（3）得，先由勾股定理得，再证明 ，于是可得．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
解：，理由如下：
如下图，过点A作，交的延长线于点M
∵
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
∵由（2）得，∠AGB=∠AGF+∠FGH =+∠FGH，
∴，
∵，
∴；
【小问4详解】
解：，理由如下：
由（3）得，
∵，
∴
∴，
∵，
∴MH2=AM2+AH2，
∴，
∵AG=AB，AM=AH，
∴∠AGB=∠ABG，∠M=∠H，
∵∠AGB+∠AGM=∠ABG+∠ABH，
∴∠AGM=∠ABH，
在△ABM和△ABH中，
，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．