山东省滨州市博兴县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 如图是由5个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从正面看所得到的图形即可求解．
【详解】从正面看所得到的图形为：
故答案为：B
【点睛】本题考查了三视图的定义，本题涉及主视图，从正面看所得到的图形是主视图，根据给出立体图形即可得出主视图．
3. 将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理以及对等角相等即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4. 用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据同底数幂相除，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
6. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A. B. x2+2x+4=0C. x2-x+2=0D. x2-2x=0
【答案】D
【解析】
【分析】逐一分析四个选项中方程的根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【详解】A.此方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.此方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.此方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D .此方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意;
故答案为： D.
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
7. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示：
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数的定义．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据中位数、众数的定义即可解决问题．
【详解】∵出现的次数最多，4次，
∴众数为；
∵中位数是从小到大的第8个数据，为．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为，点在轴正半轴上，且，将绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转变换，画出示意图，然后根据旋转的性质可求得答案.
【详解】解：如图所示，

∵将先绕点逆时针旋转，点的坐标为，，
∴三点共线，且
则点的坐标为，
故答案为：A．
9. 如图，一次函数的图象经过，两点，则的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象和性质即可求解．
【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在直线上方时的取值范围，根据一次函数的图象可知的解集是．
10. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不一定成立的是（ ）
A. BE＝EFB. EF∥CDC. AE平分∠BEFD. AB＝AE
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，
∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11. 如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．在求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可
【详解】解：连接．

∵直径，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，．
∴的半径为2．
在中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
故答案为．
12. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
①；②；③；④；
⑤一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑥当时，.其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可．
【详解】解：∵函数的开口向下，
，
∵函数与轴的正半轴相交，
，
∵对称轴
，
，
故①错误；
由图可知：抛物线与轴有两个交点，
，
故②错误；
∵对称轴
故③错误；
由图可知当时，，
，即
由图可知当时，，
，即
故④正确；
即没有实数根
故⑤错误；
由图可知，当时，或
故⑥错误；
故选：A．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13. 在锐角三角形中，若，满足，则______．
【答案】##75度
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握非负数的性质是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出，，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 已知a，b在数轴上位置如图，化简_____．
【答案】b
【解析】
【分析】据数a、b在数轴上的位置确定， a的符号，再根据算术平方根的性质进行开方运算，再合并同类项．
【详解】解：从数轴上可以得出：，
∴，
∴．
故答案为：b．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的点，过点与轴垂直的直线交轴于点，点，在轴上，且.如果四边形的面积为3，那么的值为____________.

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积，由于平行四边形，得到四边形的面积，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，

轴，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积，
∴平行四边形，
∴四边形的面积，
，
，
，
故答案为：．
16. 如图，一段长管中放置着三根同样绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，把所有可能出现的结果用表格表示出来，即可求解．
【详解】解：所有可能出现的结果用表格表示为：
共有9种等可能结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出所有可能出现的结果．
17. 火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度（米）与火车行驶时间（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米．
其中正确的结论是_________．（填序号）
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，根据函数的图象即可确定在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米秒，进而确定其它答案．
【详解】解：由图象可知，火车的长度是150米，故①说法错误；
在段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米秒．故②说法正确；
整个火车都在隧道内的时间是：（秒，故③说法正确；
隧道长：（米，故④说法错误．
正确结论有②③．
故答案为：②③．
18. 如图，在矩形中，，，点在上且点为的中点，点为边上的一个动点，为的中点，则的最小值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，则由中位线定理可得，从而得到，再根据将军饮马模型，找出点A关于直线对称的对称点T，连接交于点，则此时的值最小，利用勾股定理求出这个最小值，再除以2，即可得解．
【详解】解：连接，

点为的中点，点是的中点，
，，
，
要求的最小值，只要求出的最小值即可，
作点关于的对称点，连接交于，此时的值就是的最小值，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
即的最小值为10，
的最小值为．
【点睛】本题考查中位线定理，轴对称最短路径问题(将军饮马问题)，勾股定理等知识，掌握中位线定理和将军饮马模型是解题的关键．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19. 先化简，再求值：
，其中x满足．
【答案】；6
【解析】
【分析】先求出方程的解，然后化简分式，最后选择合适的x代入计算即可．
【详解】解：∵
∴x=2或x=-1
∴
=
=
=
=
∵x=-1分式无意义，∴x=2
当x=2时，x（x+1）=2×（2+1）=6．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点．
20. 如图，直线y1＝x＋2与x，y轴分别交于点A，B，直线y2＝﹣2x＋m与x，y轴分别交于点C，D，两直线交于点E（1，n）．
（1）求m，n的值；
（2）求四边形BOCE的面积；
（3）当y1＞y2时，根据图象，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）m=5，n=3；（2）4.75；（3）x＞1
【解析】
【分析】（1）把点E（1，n）代入y1＝x＋2求得n＝1＋2＝3，把E（1，3）代入y2＝−2x＋m求得m＝5；
（2）解方程得到B（0，2），C（，0），D（0，5），于是得到结论；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【详解】解：（1）把点E（1，n）代入y1＝x＋2得，n＝1＋2＝3，
∴点E（1，3），
把E（1，3）代入y2＝−2x＋m得，3＝−2＋m，
∴m＝5；
（2）在y1＝x＋2中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2），
在y2＝−2x＋5中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝5，
∴C（，0），D（0，5），
∴四边形BOCE的面积＝××5−×（5−2）×1＝4.75；
（3）由图象知，当y1＞y2时，x的取值范围为x＞1．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质定义，正确的理解题意是解题的关键．
21. 如图，内接于⊙O，是⊙O的直径，点P在半径延长线上，连接，．
（1）若，求证：是⊙O的切线；
（2）在（1）的基础上，若cm，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）cm
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理证明，根据切线的判定证明即可；
（2）证明为等边三角形，根据正切的定义计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵cm，
∴，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查的是切线的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握切线的性质定理是解题的关键．
22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
【答案】（1）日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为
（2）当x=10时，销售利润最大，最大=450元
（3）a的值为6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：，解方程组即可；
（2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系然后配方为顶点式即可；
（3）根据函数的性质，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可．
【小问1详解】
解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：
，
解得：，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为；
【小问2详解】
解：设日销售利润用w表示，
，
当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
【小问3详解】
∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：，
整理得，
解得（舍去），
∴a的值为6．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键．
23. 如图，四边形是平行四边形，，，是的中点，是延长线上的一点.
（1）若，求证：；
（2）在（1）的条件下，若的延长线与交于点，连接，试判断四边形是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；
（3）在（1）的条件下，若的延长线交于点，连接与．试说明．
【答案】（1）见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，
（1）根据平行四边形的性质得到，连接，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形为平行四边形；
（3）由（1）知，根据三角形的中位线的性质得到，由此即可得到结论．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
连结
是的中点，
，
，
．
，
在和中，
．
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，理由如下：
补全图形
由（1）知
，
，
四边形为平行四边形，
【小问3详解】
解：由（1）知，
是的中点，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即点是的中点，
在与中，，，
24. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段最大值；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似？若存在，求M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设，则，先求出直线的解析式为，可得，可得到用m表示的长，再根据二次函数的的性质，即可求解；
（3）根据题意可得，从而得到当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．然后分两种情况讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：把点代入，得：
，解得：
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：设，则，
∵抛物线与轴相交于点，
∴．
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得 ．
∴直线的解析式为，
∴，
又∵，
∴；
∴当时，取得最大值；
【小问3详解】
解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，
由（2）得：，
如图，过点F作轴于点G，则，
由（1）可得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，，即
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．成绩
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1