2023-2024学年福建省泉州市南安市八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2023-2024学年福建省泉州市南安市八年级下学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列代数式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
3．（4分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）在下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为（ ）Pa．
A．400B．600C．800D．1000
6．（4分）一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．5B．3C．2D．1
8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
9．（4分）双曲线l1：y＝﹣和l2：y＝（k≠0）的图象如图所示，点A是l1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与l2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
10．（4分）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；②乙出发后7秒追上甲；③甲乙两运动员的最大距离是63米；④乙运动员比甲运动员早10秒到达终点．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）点A（a﹣1，a﹣2）在y轴上，则a＝ ．
12．（4分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA．DNA分子的直径只有0.0000002cm，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将0.0000002用科学记数法表示是 ．
13．（4分）已知点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则点P的坐标是 ．
14．（4分）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b相交于点A（m，4），则不等式2x＞kx+b的解集为 ．
15．（4分）关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是 ．
16．（4分）直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，把射线AB绕点A逆时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若△PQA与△AOB全等，则点P的坐标是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：（﹣2024）0+2﹣2+|﹣2|×（﹣1）2024．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．
19．（8分）解方程：﹣1＝．
20．（8分）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x+1）+3的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是﹣1，点B的纵坐标是﹣2．
（1）求k1，k2的值；
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第一象限交于点C．过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第三象限交于点D．求证：C，O，D三点共线．
22．（10分）某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台，B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍．
（1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价．
（2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中划A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当x 时，y随x的增大而 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）和的图象上．已知BA⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，原点O恰好是线段AC的中点，连接BD、OD、OB，△OBD的面积为6，DC＝2．（1）求反比例函数的解析式；
（2）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P、Q，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知：直线l：y＝kx﹣2k+2（k≠0）．
（1）不论k取何值，直线l恒过定点P，则P的坐标是 ；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1），（3，0），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤3范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列代数式中是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．的分母中含有字母，不是分式，故本选项符合题意；
B．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C．的分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x＝﹣1D．x≠﹣1
【解答】解：若分式在实数范围内有意义，则x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：D．
3．（4分）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、该分式的分子、分母中没有公因式，属于最简分式，所以A选项符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则该分式不是最简分式，所以B选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式b，则该分式不是最简分式，所以C选项不符合题意；
D、该分式的分子、分母中含有公因式（a﹣b），则该分式不是最简分式，所以D选项不符合题意；
故选：A．
4．（4分）在下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故B符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故D不符合题意；
故选：B．
5．（4分）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为（ ）Pa．
A．400B．600C．800D．1000
【解答】解：设p＝，
∵函数图象经过（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p＝，
当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），
故选：A．
6．（4分）一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵k＝﹣4＜0，b＝5＞0，
∴一次函数y＝﹣4x+5的图象经过第一、二、四象限，
∴一次函数y＝﹣4x+5的图象不经过第三象限．
故选：C．
7．（4分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．5B．3C．2D．1
【解答】解：去分母，得：1+2（x﹣2）＝m﹣x，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：m＝3．
故选：B．
8．（4分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝B．＝3
C．3x﹣1＝D．＝3
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
9．（4分）双曲线l1：y＝﹣和l2：y＝（k≠0）的图象如图所示，点A是l1上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与l2交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【解答】解：∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴S△ABO＝＝3，
∵S△AOD＝2，
∴S△BOD＝S△ABO﹣S△ADO＝3﹣2＝1，
∵点D在l2上，
∴丨k丨＝2S△BOD＝2，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣2．
故选：D．
10．（4分）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步560米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米；②乙出发后7秒追上甲；③甲乙两运动员的最大距离是63米；④乙运动员比甲运动员早10秒到达终点．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【解答】解：①当t＝0时，甲已跑了1秒，跑的路程是7米，
∴甲运动员的速度是7米/秒；
乙运动员70秒跑到了终点，速度为560÷70＝8（米/秒）；
8﹣7＝1（米/秒），
∴乙运动员的速度比甲运动员每秒快1米，
∴①正确．
②设乙出发后t秒时追上甲．
当乙追上甲时，二人跑过的路程相等，得7（t+1）＝8t，
解得t＝7，
∴乙出发后7秒追上甲，
∴②正确．
③由图象可知，乙出发后70秒两人之间的距离最大，
最大距离为8×70﹣7×（70+1）＝63（米），
∴③正确．
④乙运动员到达终点的时间为560÷8＝70（秒），
设甲运动员到达终点的时间为x秒，则7（x+1）＝560，解得x＝79，
79﹣70＝9（秒），
∴乙运动员比甲运动员早9秒到达终点，
∴④不正确．
综上，①②③正确．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）点A（a﹣1，a﹣2）在y轴上，则a＝ 1 ．
【解答】解：∵点A（a﹣1，a﹣2）在y轴上，
∴a﹣1＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
12．（4分）每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的DNA．DNA分子的直径只有0.0000002cm，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋形的独特结构．将0.0000002用科学记数法表示是 2×10﹣7 ．
【解答】解：∵0.0000002＝2×10﹣7，
故答案为：2×10﹣7．
13．（4分）已知点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，则点P的坐标是 （﹣3，2） ．
【解答】解：∵点P在第二象限，距离x轴2个单位，距离y轴3个单位，
∴P（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
14．（4分）如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b相交于点A（m，4），则不等式2x＞kx+b的解集为 x＞2 ．
【解答】解：把x＝m，y＝4代入y＝2x中，可得：4＝2m，
解得：m＝2，
∴点A（2，4），
∴不等式2x＞kx+b的解集为：x＞2，
故答案为：x＞2．
15．（4分）关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是 m≤6且m≠﹣3 ．
【解答】解：，
去分母，得x＝2（x+3）﹣m，
解，得x＝﹣6+m．
因为原分式方程的解为非正数，且x＝﹣3，
∴﹣6+m≤0且﹣6+m≠﹣3．
∴m≤6且m≠﹣3．
故答案为：m≤6且m≠﹣3．
16．（4分）直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，把射线AB绕点A逆时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若△PQA与△AOB全等，则点P的坐标是 （﹣7，4）或（﹣，） ．
【解答】解：在y＝x+3中，
令x＝0，则y＝3，令y＝0，则0＝x+3，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
由勾股定理得AB＝＝5，
∵∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠QAP＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90，
∴∠QAP＝∠OBA，
①当∠AQP＝90°时，如图1，
∵△AOB≌△PQA，
∴AQ＝OB＝3，PQ＝OA＝4，
∴OQ＝OA+AQ＝7，
∴P（﹣7，4）；
②当∠APQ＝90°时，如图2，作PH⊥AQ于点H，
∵△AOB≌△QPA，
∴AQ＝AB＝5，PQ＝OQ＝4，AP＝OB＝3，
∴PQ•AP＝AQ•PH，
即×4×3＝×5PH，
解得：PH＝，
∴AH＝＝＝，
∴OH＝4+＝，
∴P（﹣，）；
③当∠PAQ＝90°时，这种情况不存在，
综上所述：点P的坐标是 （﹣7，4）或（﹣，）；
故答案为：（﹣7，4）或（﹣，）．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：（﹣2024）0+2﹣2+|﹣2|×（﹣1）2024．
【解答】解：（﹣2024）0+2﹣2+|﹣2|×（﹣1）2024
＝1++2×1
＝1++2
＝3．
18．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．
【解答】解：原式＝•
原式＝•
＝，
当x＝2时，原式＝＝1．
19．（8分）解方程：﹣1＝．
【解答】解：去分母得：x﹣2x+5＝﹣5，
移项合并得：﹣x＝﹣10，
解得：x＝10．
经检验，x＝10是原分式方程的解．
20．（8分）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
（1）求点A′的坐标；
（2）确定直线A′B对应的函数表达式．
【解答】解：（1）令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴A′（2，0）．
（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知k1k2≠0，设函数与函数y2＝k2（x+1）+3的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是﹣1，点B的纵坐标是﹣2．
（1）求k1，k2的值；
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第一象限交于点C．过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第三象限交于点D．求证：C，O，D三点共线．
【解答】（1）解：对于y2＝k2（x+1）+3，当x＝﹣1时，y＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，3），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k1＝﹣1×3＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为：y1＝，
对于y1＝，当y＝﹣2时，x＝，
∴点B的坐标为，
将点B代入y2＝k2（x+1）+3，得，
解得：k2＝﹣2，
故k1＝﹣3，k2＝﹣2；
（2）证明：依题意得点C，点D（﹣1，﹣2），
设直线CD的表达式为：y＝kx+b，
将点C，点D（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴直线CD的表达式为：y＝2x，
对于y＝2x，当x＝0时，y＝0，
∴坐标原点O（0，0）在直线CD上，
即C，O，D三点共线．
22．（10分）某电商公司根据市场需求购进一批A，B两种型号的电脑小音箱进行销售，每台，B型小音箱的进价比A型小音箱的进价多10元，用4500元购进A型小音箱的台数是用4000元购进B型小音箱的台数的1.5倍．
（1）求每台A，B两种型号的小音箱的进价．
（2）该电商公司计划分别购进A，B两种型号的小音箱共70台进行销售，其中划A型小音箱台数不少于B型小音箱台数的2倍，A型小音箱每台售价为35元，B型小音箱每台售价为48元，怎样安排进货才能使售完这70台小音箱所获利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每台A型小音箱的进价是x元，则每台B型小音箱的进价是（x+10）元．
根据题意，得＝1.5×，
解得x＝30，
经检验，x＝30是所列分式方程的根，
30+10＝40（元），
∴每台A型小音箱的进价是30元，每台B型小音箱的进价是40元．
（2）设购进A型小音箱a台，则购进B型小音箱（70﹣a）台，
根据题意，得a≥2（70﹣a），
解得a≥且a为整数．
设售完这70台小音箱所获利润为W元，则W＝（35﹣30）a+（48﹣40）（70﹣a）＝﹣3a+560，
∵﹣3＜0，
∴W随a的减小而增大，
∵a≥且a为整数，
∴当a＝47时，W取最大值，W最大＝﹣3×47+560＝419，此时购进B型小音箱70﹣47＝23（台），
∴购进A型小音箱47台、B型小音箱23台才能使售完这70台小音箱所获利润最大，最大利润是419元．
23．（10分）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当x x＞1或x＜1 时，y随x的增大而 增大 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 （1，0） ；
（3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥2或x＜1 ．
【解答】解：（1）函数图象如下图：
（2）①当x＞1或x＜1时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（1，0）；
故答案为：①≠1，增大；②（1，0）．
（3）当y≥﹣2时，x的取值范围是：x≥2或x＜1．
故答案为：x≥2或x＜1．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y＝（k＜0，x＜0）和的图象上．已知BA⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，原点O恰好是线段AC的中点，连接BD、OD、OB，△OBD的面积为6，DC＝2．（1）求反比例函数的解析式；
（2）P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P、Q，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点D在反比例函数y＝图象上，且CD＝2，
∴D（2，2），
∵原点O是线段AC的中点，
∴OA＝OC＝2，
∴B（﹣2，﹣），
∵AB∥CD∥y轴，O是线段AC的中点，
∴点E是线段BD中点，
∴S△BED＝S△BOD＝＝3，
∴×OE×2＝3，OE＝3，
根据梯形中位线可得：3＝（CD+AB）即，，
解得k＝﹣8．
∴反比例函数解析式为：y＝﹣．
（2）∵B（﹣2，4），
∴直线OP解析式为：y＝﹣2x，
需分情况讨论，
①当∠A＝90°时，P（﹣2，2），Q（0，0）；
②当∠APQ＝90°时，PA＝PQ，
设P（﹣2，m），则有Q（﹣，m），
m＝﹣﹣（﹣2），解得m＝，
此时，P（﹣2，），Q（﹣，）；
③当∠PQA＝90°时，PQ＝PA，
设P（﹣2，t），则Q（﹣，），此时AP＝AQ，
AQ＝＝，
∴×＝t，
解得t＝或﹣8（舍去），
∴P（﹣2，），Q（﹣，）．
综上所述，符合条件的坐标为：P（﹣2，2），Q（0，0）；P（﹣2，），Q（﹣，）；P（﹣2，），Q（﹣，）．
25．（14分）已知：直线l：y＝kx﹣2k+2（k≠0）．
（1）不论k取何值，直线l恒过定点P，则P的坐标是 （2，2） ；
（2）已知点A、B坐标分别为（0，1），（3，0），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤3范围内，任取3个自变量x1，x2、x3，它们对应的函数值分别为y1、y2、y3，若以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2，
∴当x﹣2＝0，即x＝2时，y的值与k无关，且y＝2．
∴直线l恒过定点P（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）∵直线l过定点（2，2），且与线段AB相交，
∴当x＝0时，y≤1，
则﹣2k+2≤1，
解得k≥；
当x＝3时，y≤0，
则3k﹣2k+2≤0，
解得k≤﹣2，
∴k的取值范围是：k≥或k≤﹣2．
（3）当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵0≤x≤3，
∴﹣2k+2≤y≤k+2，
又∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴，
解得k＜，
∴0＜k＜；
当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵0≤x≤3，
∴k+2≤y≤﹣2k+2，
又∵以y1、y2、y3为长度的3条线段能围成三角形，
∴，
解得k＞﹣，
∴，
综上所述，k的取值范围是：．x
…
﹣3
﹣1
0
…
2
3
5
…
y
…
1
2
4
…
﹣4
﹣2
﹣1
…
x
…
﹣3
﹣1
0
…
2
3
5
…
y
…
1
2
4
…
﹣4
﹣2
﹣1
…