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2024年山东省聊城市茌平区部分学校中考数学一模试题（原卷版+解析版）
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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 如图，，，则、、的关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. “文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校的生态园研学，研学队伍从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后从学校自驾轿车以大巴车1．5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
9. 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A B. C. D.
10. 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知，那么 ______．
12. 如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．
13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
14. 如图，将圆形纸片折叠使弧经过圆心O，过点O作半径于点E，点P为圆上一点，则的度数为______．
15. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位长度，平移后的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的面积为______．
16. 如图1，菱形中，，动点以每秒2个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度自点出发沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随时间变化关系图像，则的值是__________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18. 某商店经营杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售套A型和套B型礼盒的利润和为元，销售套A型和套B型礼盒的利润和为元．
（1）分别求销售每套A型礼盒和B型礼盒利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共套，其中B型礼盒的进货量不超过A型礼盒的2倍，设购进A型礼盒x套，全部售出这套礼盒的总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式．
②该商店购进A型、B型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
19. 某校为了解学生参加课外活动的情况，随机抽取了本校七年级、八年级、九年级各50名学生进行调查，调查结果如图1、图2所示，请你根据图中提供的信息回答问题．
（1）在被调查的学生中，参加课外活动的有_________人，其中参加文体活动的有_________人；
（2）如图2扇形统计图中参加科技活动所对应的扇形圆心角的度数为_________°；
（3）如果本校有2100名学生，请你估计参加科技活动的学生约有_________人；
（4）现从参加“科技活动”的学生中选出4名编程能力最好的学生，其中有3名男生和1名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，刚好抽到1名男生和1名女生的概率为_________．
20. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，E为的中点，当的长为________时，四边形为正方形．
21. 某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到0.1m，参考数据：，）．
22. 如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
24. 【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围．
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程．
（2）如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围．
（3）变式：把图②中、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________．
（4）如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______．
课题
民心河护坡的调研与计算
调查方式
资料查阅、实地查看了解
调查内容
功能
护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
护坡时剖面图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
…
…
…
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 如图，，，则、、的关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. “文化中华源，康养在河南”，河南省正逐步打造众多生态园区，建设山青、水碧、林郁、田沃、湖美、草茂的美丽河南．某校组织学生到距离学校的生态园研学，研学队伍从学校乘坐大巴车出发，李老师因临时有事，处理完事情后从学校自驾轿车以大巴车1．5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达生态园．若设大巴车的速度为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
9. 八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（ ）
A B. C. D.
10. 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知，那么 ______．
12. 如图所示的是一个母线长为10的圆锥，将其侧面展开后得到一个半径为10，圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径是______．
13. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
14. 如图，将圆形纸片折叠使弧经过圆心O，过点O作半径于点E，点P为圆上一点，则的度数为______．
15. 在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移5个单位长度，平移后的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的面积为______．
16. 如图1，菱形中，，动点以每秒2个单位的速度自点出发沿线段运动到点，同时动点以每秒4个单位的速度自点出发沿折线运动到点．图2是点、运动时，的面积随时间变化关系图像，则的值是__________．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18. 某商店经营杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售套A型和套B型礼盒的利润和为元，销售套A型和套B型礼盒的利润和为元．
（1）分别求销售每套A型礼盒和B型礼盒利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共套，其中B型礼盒的进货量不超过A型礼盒的2倍，设购进A型礼盒x套，全部售出这套礼盒的总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式．
②该商店购进A型、B型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
19. 某校为了解学生参加课外活动的情况，随机抽取了本校七年级、八年级、九年级各50名学生进行调查，调查结果如图1、图2所示，请你根据图中提供的信息回答问题．
（1）在被调查的学生中，参加课外活动的有_________人，其中参加文体活动的有_________人；
（2）如图2扇形统计图中参加科技活动所对应的扇形圆心角的度数为_________°；
（3）如果本校有2100名学生，请你估计参加科技活动的学生约有_________人；
（4）现从参加“科技活动”的学生中选出4名编程能力最好的学生，其中有3名男生和1名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，刚好抽到1名男生和1名女生的概率为_________．
20. 如图，在四边形中，，对角线、交于点O，过点B作交于点E，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，E为的中点，当的长为________时，四边形为正方形．
21. 某校“综合与实践”小组的同学把“民心河护坡的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到0.1m，参考数据：，）．
22. 如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别相交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②若是中点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
24. 【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围．
（1）小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程．
（2）如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围．
（3）变式：把图②中、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________．
（4）如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______．
课题
民心河护坡的调研与计算
调查方式
资料查阅、实地查看了解
调查内容
功能
护坡是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
护坡时剖面图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，和均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
…
…
…
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