山东省聊城市茌平区茌平区实验中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：A．
2. 如图所示的几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看去，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：C．
3. 在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为 米，用科学计数法表示为，则n的值为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成的形式叫科学记数法直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
所以．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式分别判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方以及完全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
5. 如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是（ ）
A. 25B. 50C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了两平行线之间的距离，解决本题的关键是作辅助线，构建等腰，然后利用勾股定理，得到，解方程即可．
【详解】解：如图，过点A作于点C，
∵直线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，（舍去）．
∴两平行线和之间的距离为．
故选：D．
6. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
7. 有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了数轴，正确利用数轴得出，的符号是解题关键．
根据数轴得出a，b的正负号，进而即可得到答案．
【详解】A、如图所示：，故此选项错误；
B、如图所示：，故此选项错误；
C、由选项A，B可得，故此选项正确；
D、由选项A，B可得，故此选项错误；
故选：C．
8. 如图，⊙的弦、交于点．若，则下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质，同弧或者等弧所对是圆周角是圆心角的一半，三角形的外角和，即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，平行线的性质，同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系．
9. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
10. 如图，在菱形中，，点E在边上，，动点P从点A出发以的速度沿A→B-→C-→D运动，当点P出发2秒后E也以的速度沿E→D运动，当点P到达D点时，两点同时停止运动，设p运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，特殊角的三角函数，解直角三角形，三角形面积，利用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况，分别得出与的函数关系式再进行判断即可．
【详解】解：当，点在上，
，
过点作于点，如图，

在中，
∵，
∴，
∴，
∴图象是过原点，上升的一条直线的一部分；
当，点在边上，过点作于点，如图，
∴，
老师您好，我这边认真检查了一下，BH是垂直AD的，辛苦老师再看下，辛苦了
∴，
∴图象是一段平行于轴的线段；
当时，点在边上，
∴，
∴，
过点作，交延长线于点，如图，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴此时关于的函数图象是一条开口向下的抛物线的一部分，
综上，关于的函数图象大致是B．
故选：B．
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11. 分解因式：a2﹣4b2=_____．
【答案】（a+2b）（a﹣2b）
【解析】
【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可．
解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b），
故答案为（a+2b）（a－2b）．
12. 若代数式与的值相等，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据代数式与的值相等，列出等式，解方程即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
经检验，x=4是原方程的解，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根．
13. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
14. 化简：的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先对分子进行因式分解，然后根据分式乘法法则进行计算．
【详解】原式
故答案为
【点睛】本题考查了分式的乘除法．在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
15. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．
【答案】210．
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为210．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
16. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．求：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据黄金三角形的定义可得，从而进行计算即可解答．本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
，
是顶角为的等腰三角形，
是黄金三角形，
，
，
设
∴
三、解答题：本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）4；（2）解集为，整数解为0，1
【解析】
【分析】（1）原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解．
【详解】解：（1）原式＝
；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0，1．
【点睛】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】利用平行四边形性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，ADBC，
∴∠EAC=∠FCO，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
19. 从甲、乙两班各随机抽取10名学生（共20人）参加数学素养测试，将测试成绩分为如下的5组（满分为100分）：A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，分别制成频数分布直方图和扇形统计图如图．
（1）根据图中数据，补充完整频数分布直方图并估算参加测试的学生的平均成绩（取各组成绩的下限与上限的中间值近似的表示该组学生的平均成绩）；
（2）参加测试的学生被随机安排到4个不同的考场，其中小亮、小刚两名同学都参加测试；用树状图或列表法求小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率；
（3）若甲、乙两班参加测试的学生成绩统计如下：
甲班：62，64，66，76，76，77，82，83，83，91；
乙班：51，52，69，70，71，71，88，89，99，100．
则可计算得两班学生的样本平均成绩为x甲＝76，x乙＝76；样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4．请用学过的统计知识评判甲、乙两班的数学素养总体水平并说明理由．
【答案】（1）图见解析；平均成绩为76.5；（2）；（3）甲班的数学素养总体水平好．
【解析】
【分析】（1）由D组所占百分比求出D组人数，再根据A、B、E、D组的人数求出C组人数，即可补全频数分布直方图，再求出样本平均数即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，再由概率公式求解即可；
（3）由两班样本方差的大小作出判断即可．
【详解】解：（1）D组人数为：20×25%＝5（人），C组人数为：20﹣（2+4+5+3）＝6（人），
补充完整频数分布直方图如下：
估算参加测试的学生的平均成绩为：76.5（分）；
（2）把4个不同的考场分别记为：1、2、3、4，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，小亮、小刚两名同学被分在不同考场的结果有12种，
∴小亮、小刚两名同学被分在不同考场的概率为；
（3）∵样本方差为s甲2＝80，s乙2＝275.4，
∴s甲2＜s乙2，
∴甲班的成绩稳定，
∴甲班的数学素养总体水平好．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【解析】
【分析】（1）设乙种粽子单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
21. 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.
【解析】
【分析】（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：因为直线经过点，
所以，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在图象上，
所以，
因为与双曲线交于A，两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，
因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以,
所以，
因为，
所以，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将代入可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C=，
即的最小值是；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，
因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（0，）
综合可得：P（，0）或（0，）.
【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.
22. 已知：如图，为的直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，如图所示，由切线性质，利用直角三角形性质、外角性质，再根据等腰三角形的判定与性质即可得证；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，从而利用含的直角三角形的性质得到，再结合角平分线性质确定，解直角三角形即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：为的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、直角三角形性质、外角性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、角平分线及解直角三角形等知识，熟练掌握圆的相关性质是解决问题的关键．
23. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【答案】（1）2，3.6
（2）
（3）明明在此次考试中能得到满分，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．
（1）根据图表即可求解；
（2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式；
（3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【小问1详解】
解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，
通过图表可得当时，，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，
由当时，；当时，，
可得对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当时，，
得实心球在空中的最大高度是3.6米，
故答案为：2，3.6；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
则，
得抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问3详解】
解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把代入，
得，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴明明在此次考试中能得到满分．
24. 综合与实践
【问题情境】
如图1，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【活动猜想】
（1）如图2，当点与点重合时，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形？
答： ．
问题解决】
（2）在矩形纸片中，若边，．
①请判断与对角线的位置关系并仅就图3给出证明；
②当时，请直接写出此时的长度．
【答案】（1）菱形；（2）①，见解析；②的长度为或
【解析】
【分析】（1）由折叠得点与点关于直线对称，则直线垂直平分，所以，，由矩形的性质得，则，而，所以，则，所以，即可证明四边形是菱形，于是得到问题的答案；
（2）①由，，，求得，所以，则，而，所以，则；
②分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，由，得；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称，
直线垂直平分，
点与点重合，
直线垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形．
（2）①，
证明：如图3，，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
②的长度为或，
理由：如图3，点在线段上，设交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
水平距离
0
2
4
5
6
8
竖直高度
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2