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江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题原卷版docx、江苏省扬州中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2024.04
试卷满分:150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间四边形中，化简（ ）
A. B.
C. D.
2. 展开式中，第9项的系数最大，则n的值为（ ）
A. 17B. 16C. 15D. 14
3. 某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ）
A B. C. D.
5. 将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ）
A 150B. 180C. 240D. 300
6. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A. 144种B. 72种C. 36种D. 24种
7. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ）
A. 26B. 31C. 32D. 37
8. 若函数且，在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ）
A. B.
C. （）D.
10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A. 若，则的夹角是锐角
B. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 若向量，（，，都是不共线非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点与点重合时，直线平面
B. 当点移动时，点到平面的距离为定值
C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为
D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若已知，则的值为________（用数字作答）．
13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）
14. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点、、.
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以、为邻边的平行四边形的面积．
16. （1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数．
（2）已知，求的值．
17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.
（1）由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；
（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？
18. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）（i）证明：当时，；
（ii）证明：．
2024.04
试卷满分:150分，考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间四边形中，化简（ ）
A. B.
C. D.
2. 展开式中，第9项的系数最大，则n的值为（ ）
A. 17B. 16C. 15D. 14
3. 某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E共5名成员组成，现从这5名成员中随机抽选3名参加学校决赛，则在学生A被抽到条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在正方体中，E为BD的中点，则直线与所成角为（ ）
A B. C. D.
5. 将5名志愿者分配到3个不同的社区协助开展活动，每个社区至少分配1名志愿者，并且每位志愿者都参与该活动，则不同的分配方法数为（ ）
A 150B. 180C. 240D. 300
6. 某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（ ）
A. 144种B. 72种C. 36种D. 24种
7. 定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知：，满足，则p可以是（ ）
A. 26B. 31C. 32D. 37
8. 若函数且，在上单调递增，则和的可能取值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列有关排列数、组合数的等式中，其中，正确的是（ ）
A. B.
C. （）D.
10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A. 若，则的夹角是锐角
B. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
D. 若向量，（，，都是不共线非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11. 如图，在边长为1的正方体中，是的中点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点与点重合时，直线平面
B. 当点移动时，点到平面的距离为定值
C. 当点与点重合时，平面与平面夹角的正弦值为
D. 当点为线段中点时，平面截正方体所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若已知，则的值为________（用数字作答）．
13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）
14. 在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点、、.
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以、为邻边的平行四边形的面积．
16. （1）二项式展开式中所有二项式系数和为64，求其二项展开式中的系数．
（2）已知，求的值．
17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具.据预测，福清某新能源汽车4S店从2023年1月份起的前x个月，顾客对比亚迪汽车的总需量（单位：辆）与x的关系会近似地满足（其中且），该款汽车第x月的进货单价（单位：元）与x的近似关系是.
（1）由前x个月的总需量，求出第x月的需求量（单位：辆）与x的函数关系式；
（2）该款汽车每辆的售价为185000元，若不计其他费用，则这个汽车4S店在2023年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？
18. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：．
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）（i）证明：当时，；
（ii）证明：．
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