【二轮复习】高考数学专题7 双曲线与抛物线（考点精练）.zip

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A·常考题不丢分
题型一 双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）
题型二 抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）
题型三 双曲线抛物线有关定值定点问题
题型四 双曲线抛物线有关面积问题
题型五 双曲线抛物线综合问题应用
C·挑战真题争满分
题型一
双曲线基本性质（离心率，直线与双曲线的关系）
一、单选题
1．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为C的右顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C 【详解】由题意得，以为直径的圆的方程为，，
渐近线方程为，联立，解得，
不妨令，故，
因为，所以，所以，解得，
故离心率.
故选：C
2．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以∽．
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以．由双曲线定义知，即，解得．
又由，得，所以，即是等腰三角形．
由余弦定理知，
即，化简得，所以，
则双曲线的渐近线方程为．
故选：D
3．（2024·陕西·校联考一模）已知双曲线的一条渐近线l与椭圆交于A，B两点，若，（是椭圆的两个焦点），则E的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得，由已知条件可得四边形为矩形，则，，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.
【详解】由已知，则双曲线的一条渐近线，即，
又，即，且四边形为矩形，
所以，则，
又根据椭圆定义可知，
所以离心率．
故选：A
二、多选题
4．（2024上·云南德宏·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于A、B两点.若四边形为矩形，且，则下列正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．矩形的面积为D．双曲线的渐近线方程为
【答案】AB
【分析】根据矩形和双曲线的对称性，结合双曲线的定义、离心率公式、渐近线方程逐一判断即可.
【详解】如下图所示：设，所以，
由双曲线的定义可知，
因为四边形为矩形，所以，
因此，所以选项A正确；
由，所以选项B正确；
矩形的面积为，所以选项C不正确；
因为，
所以双曲线的渐近线方程为，因此选项D不正确，
故选：AB

二、填空题
5．（2024上·云南保山·高三统考期末）已知双曲线：，是坐标原点，，分别是的左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为 ；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为 .
【答案】
【详解】由题意知双曲线C的一条渐近线为，的坐标为，
所以点到渐近线的距离.
如图，延长，两直线交于点，由，且是的角平分线，

所以是等腰三角形，且，，
又有为的中位线，所以.
故答案为：；
题型二
抛物线的基本性质（焦点准线，直线与抛物线关系）
一、单选题
1．（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．D．
【答案】A
【详解】因为抛物线的准线方程为，
所以，
因为，
所以，
当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最小值为9，
故选：A
2．（2024·陕西榆林·统考一模）如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【详解】设,，由，根据抛物线定义可得，
故，
，
过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为，明显，
所以.故选：D
二、多选题
3．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ）
A．当直线 的斜率为1时，B．若，则直线的斜率为2
C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为
【答案】AD
【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.
【详解】易知，可设，设，
与抛物线方程联立得，
则，
对于A项，当直线 的斜率为1时，此时，
由抛物线定义可知，故A正确；
易知是直角三角形，若，
则，
又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误；
由上可知 ，
即，故C错误；
若，
又知，所以，
则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确.
故选：AD
4．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是
B．若，则点到轴的距离为3
C．是准线上一点，是直线与的一个交点，若，则
D．
【答案】BCD
【详解】因为抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，
则抛物线：，所以焦点，准线为，对于A：设该点为，则，解得，所以，解得，所以此抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是或，故A错误；
对于B：设、，则，解得，
又为线段的中点，则，所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C：过点作准线的垂线段，垂足为，则，
设准线与轴交于点，则，因为，所以，
则，则，所以，
即，所以，则，故C正确；
对于D：依题意过点的直线的斜率不为，设过点的直线为，
由，消去得，
显然，所以，，则，
，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故D正确；
故选：BCD
5．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与交于P，Q两点，点为点在上的射影，线段与轴的交点为G，的延长线交于点，则（ ）
A．B．
C．D．直线与相切
【答案】ABD
【详解】因为抛物线的焦点为，
所以，则，则抛物线，准线为，
对于A，不妨设，则，
所以，则直线的方程为，
令，得，即，
所以，则，故，故A正确；
对于B，因为，，所以是的中点，，
所以由三线合一的推论得，又，
所以，故，即，故B正确；
对于C，在中，，
因为，所以，故C错误；
对于D，因为，，所以直线的方程为，
联立，消去，得，显然，
所以直线与相切，故D正确.
故选：ABD.
题型三
双曲线抛物线有关定值定点问题
一、解答题
1．（2024上·山东临沂·高三统考期末）已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切，动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)已知点，直线不过点并与曲线交于两点，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由，
【答案】(1)，；(2)直线恒过点,，理由见解答．
【详解】（1）如图，设圆的圆心为，半径为，
由题可得圆半径为3，圆半径为1，则，，
所以，
由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支，
又,，,，
所以动圆的圆心的轨迹方程为，，
即曲线的方程为，．
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，
设,，,，其中，，
由韦达定理得：，，
又点，所以,，,，
因为，所以，
则
，
即，
解得舍去），
当，直线的方程为，，
故直线恒过点,．
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
2．（2024·吉林白山·统考一模）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线、斜率乘积为，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）设，，，
∵，∴，
∴，
又∵焦距为，可得，则，
结合，∴，，
∴双曲线的标准方程为：．
（2）如图，
由（1）知，，设，．
因为不与重合，所以可设直线．
联立，
消得：，
故，，
，，，
∴．
3．（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【详解】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，
代入得，双曲线的标准力程为；
（2）法一、
设直线，联立双曲线得：，
，且；
设直线，联立双曲线得：，
，且；
所以
则
设，则，两式相除消得
所以在直线上；
法二、
设直线，
直线，
由于，即，
由于，即，
则.
设，则，两式相除消得
所以在直线上；

4．（2024下·福建泉州·高三福建省安溪第一中学校联考开学考试）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的方程及其准线方程．
(2)设为原点，直线与抛物线交于（异于）两点，过点垂直于轴的直线交直线于点，点满足．证明：直线过定点．
【答案】(1)抛物线，准线方程为(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，，所以．
抛物线，准线方程为．
（2）由，消去，得．

设，则，且．
直线方程为：，所以．
又，则为中点，所以．
所以．
令，则．
又．
所以直线过定点．
5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点的距离为3.

(1)求，的值；
(2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)，(2)定值为64
【详解】（1）根据抛物线的定义，到准线的距离为3，
∴，∴；
∴抛物线的焦点坐标为，∴，∴；
（2）设，过点的直线方程设为，
由得，，
若直线，的斜率分别为，，设，，，的纵坐标分别为，，，，
∴，，
∵到的距离，∴，
∴，，
∴，
∴，，，四点纵坐标之积为定值，且定值为64.
6．（2024·河北高三模拟）已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点定在直线上；
(3)椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在；两切线的方程分别为和.
【详解】（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知有，
，，，解得，．
∴椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，
故可设直线的方程为，,,，
与抛物线方程联立，消去，并整理得，，则．
抛物线的方程为，求导得，
过抛物线上，两点的切线方程分别是，，即，
解得两条切线的交点的坐标为，，
点在直线上.
（3）假设存在点满足题意，
由（2）知：必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为,，
设过且与抛物线相切的切线方程为，其中,为切点．
令，得，，解得或，
故不妨取,,，即直线过．
综上，椭圆上存在，经过作抛物线的两条切线、、为切点），能使直线过．
此时，两切线的方程分别为和．
题型四
双曲线抛物线有关面积问题
一、解答题
1．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线方程为，
所以该焦点到渐近线的距离为.因为，所以.
故的方程为.
（2）
当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.
当直线的斜率存在时，不妨设，且.
联立方程组得.
由，得.
联立方程组，得.
不妨设与的交点分别为，则.
同理可求，所以.
因为原点到的距离，所以.
因为，所以.故的面积为定值，定值为.
2．（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可得双曲线的一条渐近线方程为，
离心率为，则，顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则，
即得，故，结合，解得故双曲线的方程为；
（2）由题意得，
直线l的斜率存在，设直线的方程为，设，
由，得，
则，即得，则，
且
，
由，得，
则,
得，
故，
而，.
3．（2024·河北·高三高考模拟）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（Ⅰ）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得，
则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，
，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴，
则，
∵，∴，解得，又，∴．
故λ的取值范围是．
4．（2024·湖南株洲·统考一模）在直角坐标系xOy中，点为抛物线（）上一点，点M、N为x轴正半轴（不含原点）上的两个动点，满足，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、B.
(1)求直线AB的斜率；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，因为在抛物线上，
所以，所以，所以，
不妨设在的左边，过作垂直于轴交于点，如下图，
因为，所以，
因为，所以，
所以直线的倾斜角互补，所以，
显然不与关于轴的对称点重合，所以，
又因为，，
所以，所以，所以，
所以，即直线的斜率为；
（2）设，
联立可得，
所以，
且，所以，
若与重合，此时，
由上可知，
又，
且到直线的距离，
所以，
令，所以，
所以在上单调递增，且，
所以的面积取值范围是，即为.
5．（2024九省联考（难度较大））已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
（1）证明：直线过定点；
（2）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
（1）由，故，由直线与直线垂直，
故两只直线斜率都存在且不为，
设直线、分别为、，有，
、、、，
联立与直线，即有，消去可得，，故、，
则，
故，，
即，同理可得，
当时， 则，
即
，
由，即，故时，有，
此时过定点，且该定点为，
当时，即时，由，
即时，有，亦过定点，
故直线过定点，且该定点为；
（2）由、、、，
则，由、，
，
同理可得，联立两直线，即
，
有，
即，
有，
由，同理，
故
，
故，
过点作轴，交直线于点，则，
由、，
故，
当且仅当时，等号成立，
下证：
由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴
上方，点亦在轴上方，有，由直线过定点，此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，
有，故此时，
当且仅当时，，
故恒成立，且时，等号成立，
故，
【点评】以解析几何中的抛物线为背景，考查抛物线与直线的位置关系与度量关系，考查解析几何的基本思想方法。以抛物线为基本情境，第（1）问的考查内容属于解析几何中的通性通法，本题看似常规，但内涵深刻，特别是第（2）问，在如何灵活地应用平面几何的基本思想和基本方法将面积问题进行合理转化上，试题进行了很好的设计，体现了创新性的考查要求。第（2）问如果仍使用解析几何的常规方法，将导致非常复杂的计算，可行的解法需要将所求三角形的面积转换为一个适合计算的四边形面积，然后由基本不等式得到解答。这个解法的关键步骤虽然属于初中数学学过的平面几何知识内容，但对学科核心素养之一的直观想象有很高的要求，能综合运用不同的几何方法解决问题也是学科核心素养水平的重要体现。
试题考查灵活思考问题的能力，突出创新思维，很好达成通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才的考查目标。
题型三
双曲线抛物线综合问题应用
一、解答题
1．（2023上·云南昆明·高三统考期中）已知动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【详解】（1）设，由动点P到定点的距离和它到直线距离之比为2，
可得，化简得，即，
故点P的轨迹C的方程为；
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由对应渐近线方程为：，易判断，
得，设，，
则，①，
由，得：
，
，
即，，
消去得：，
即②
由①②得：，化简得，由已知，
故存在定直线l：满足条件.

2．（2022·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，解得，，因此；
（2）设，联立双曲线方程，
得：，当时，，
，当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
3．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为.
（2）设点，，，，
则直线的斜率，同理得直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，
，
从而得.由消去得，
所以，
由，得或.
设和的中点分别为，，
则，，
同理，，
所以，即，
所以得.
4．（2024·湖北·高三模拟练习）已知为抛物线：的焦点，为坐标原点.过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点.
(1)若点在抛物线上，求；
(2)若的面积为，求实数的值；
(3)是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)5(2)(3)存在，
【详解】（1）抛物线：的焦点，
由点在抛物线上，则，解得所以
（2）设直线的方程为，原点到直线的距离为
联立，设,
整理得,其中，解得
由韦达定理得，
所以
所以，解得
（3）设直线的方程为，则，设
则圆的方程为.设，，，
直线的斜率所以直线的方程为，
整理得则直线与圆相切得，
即，同理可得，易知，否则直线与抛物线只有一个交点，
所以是方程的两个根，
由韦达定理得直线的方程与圆相切得，两边平方得，
即，
化简得
上式对任意的恒成立，所以，解得或3
当时，，舍去；
当时， ，符合，此时
综上，存在定圆，过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切.
一、单选题
1．（2023·全国·乙卷）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
2．（2021·全国 Ⅱ卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
二、填空题
3．（2022·全国·甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
4．（2022·全国·甲卷）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【详解】解：，所以C的渐近线方程为,
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线与C无公共点”
所以，
又因为，所以，
故答案为：2（满足皆可）
5．（2021·全国·乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
6．（2021·全国·Ⅰ卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
7．（2021·全国·Ⅱ卷）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 .
【答案】
【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
三、解答题
8．（2022·全国·Ⅱ卷）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
9．（2021·全国·甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切