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【二轮复习】高考数学 专题09 数列（考点精练）.zip
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考法一 等差等比的基本量运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
【例1-2】．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.所以.故选:C.
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
2．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由条件得
即则故.故选：A.
3（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.故选：D.
考法二 等差等比数列性质
【例2-1】（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在等差数列中，，可得，
因此，.
故选：A.
【例2-2】（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，，解得．故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得
.故选：B
【例2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】C
【解析】因为，是方程的两根，
所以，，且，都是负数，
又因为为等比数列，所以，所以，
且，所以.
故选：C
【例2-5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41B．45C．36D．43
【答案】D
【解析】设，则，
因为为等比数列，根据等比数列的性质，
可得仍成等比数列.
因为，所以，
所以，故.
故选：D.
【变式】
1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）等差数列 中，，则（ ）
A．60B．30C．10D．0
【答案】B
【解析】等差数列 中，,
即,
.
故选：B.
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【答案】A
【解析】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
故选：A．
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】即，又等差数列的前项和形式满足，
故.则，
故.
故选：A
4．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
5．（2023·山西吕梁·统考二模）等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．40或B．C．40D．32
【答案】C
【解析】由题意知：，，成等比数列，
∴，解得：或，
∵，∴．故选：C
考法三 通项
【例3-1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，，得，
当时，，，，
，又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，.故选：C
【例3-2】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式 ．
【答案】
【解析】，则，
设，，则，
，
而也符合该式，故，故.
故答案为：
【例3-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
显然若，则，则，，与题意矛盾，
所以，，两边同时取倒数，得：，
设，，，，
因为，故，故，所以为等比数列，
所以，故，所以，
故，故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ．
【答案】
【解析】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
又且，显然也满足上式，
所以.故答案为：
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由得：，
则当时，，，故满足递推关系，
又，满足，
满足条件的数列的一个通项公式为：.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
考法四 求和方法
【例4-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）等差数列的前n项和，，数列的前n项和
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
所以，
所以数列的前n项和为
.
故答案为：
【例4-2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前30项和为 .
【答案】465
【解析】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，则 .
【答案】
【解析】由可得当时，，
所以，满足，故，.
令，
则，
两式相减得：，
所以.
故答案为：
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】
【解析】当时，，
∴，
又，
满足，
∴，，
即，
∴
.
故答案为：.
2．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，
因为，所以，
两式相减可得，，即，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，
令，
，
，
两式相减得：
.
故答案为：
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，其前n项和为，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，所以.
故答案为：.
4．（2023·江西赣州·统考二模）设为数列的前项和，满足，其中，数列的前项和为，满足，则 ．
【答案】
【解析】当时，，
①，当时，②，
两式相减得，即，
所以，
且对也适合，综上，，
故，
.
故答案为：
考法五 数列在实际生活中应用
【例5-1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
【变式】
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
【答案】A
【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
2．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（ ）
A．7750里B．7752里
C．7754里D．7756里
【答案】B
【解析】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为
（里）．故选：B.
3（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【解析】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
考法六 数列的单调性与最值
【例6-1】（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
【例6-2】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】D
【解析】由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
【变式】
1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】A
【解析】因为 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中项知： ， ，
， ，即使得 的成立的最大 ；故选：A.
2．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，
因为，
，
所以，所以CD正确；
由，易得，
所以，即，
由，得，
所以，所以A正确；
对于B：因为，所以，
因此，与不可能同为的最大值.
故选：B.
3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．1
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A不正确．
因为，所以，因此，故B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，故C错误．
因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：BD.
考法七 数列与其他知识的综合运用
【例7-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算 ．
【答案】
【解析】】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
【例7-2】（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列满足，其前项和为，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
.
故答案为：.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代只有基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
由上表可知，子1代中，子1代产生的配子中占，占.以此类推，则子10代中个体所占比例为 .
【答案】
【解析】由题，设子代中占比为，则占比为.
所以，则子代的基因型如下表所示，
由表可得，表格中总份数为（其中淘汰了份），
因此子代中占比为，
化简得，即，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，因此 .
故答案为：.
2．（2023·全国·模拟预测）离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（ ）
A．87B．89C．91D．93
【答案】B
【解析】由题目知，作用后的阳离子个数是作用前阴离子个数，作用后的阴离子个数是作用前阴阳离子个数之和。
现在有1个阴离子和1个阳离子，经过逐次作用后：
则在9次该作用下，阴离子的个数为.
故选：B.
考法八 新定义数列
【例8-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，所以
故A正确；
因为，所以，即，
所以，而，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
【例8-2】（2023·江苏扬州·统考模拟预测）（多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，A对；
对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“美好成长”后再插入项，则，
可得，且，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，故，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故，
所以，，
所以，数列的前项和为，D对.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
【答案】C
【解析】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
故，
故．
故选：C．
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【解析】由题知，因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则.
综上所述：或32.
故选：B
3．（2023·河南安阳·统考二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（ ）．
A．210B．445C．780D．1225
【答案】B
【解析】由题可知当时，.
根据定义，当时，.
则.
故
.
故选：B
4．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【解析】由题意可令,
所以将数列逐个列举可得:
,,,,,
故,
因为,
所以,
故.
故选:B
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【解析】由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则.
故选：C.
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，，故选：C.
3．（2023·四川南充·模拟预测）等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A．60B．50C．D．30
【答案】D
【解析】由和，
由于为等差数列，且，所以当时，,
故的最大值为，
故选：D
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
【答案】C
【解析】，，解得，
与的等差中项为，解得，
设等比数列的公比为，则，解得，
，，故选：C．
5．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【解析】由题意，，，
则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则，
则所以，（常数），则也为等差数列.
则数列的公差为.
所以
所以.
故选：C
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【解析】因为，所以异号，
因为，所以，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C
7．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．11
【答案】A
【解析】设，
则
，
所以.
故选：A
8．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得 ，
故 .
故选：A.
10．（2023·江西景德镇·统考三模）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
.
故选：D.
11．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为成等比数列，可得，
则，（当且仅当时取等号），
由于在三角形中，且在上为减函数，
所以角的取值范围是：.
故选：B.
12．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列可知，，成等比数列，
则，又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
故选：B.
14．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为（），
则，解得：，
又，
所以，
故选：C.
15．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
16．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】因为等差数列的公差为，
所以，
所以，
所以数列是周期为3的数列，
又，所以或或，
则符合题意，此时，
所以，
所以，排除,只有符合,
故选：.
17．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
18．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
20．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
21．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
22．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为，
两边取常用对数可得：，
所以，
故选：B
23．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A．B．7C．13D．26
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
故选：C.
24．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，
则，解得，
所以.
故选：A.
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．若数列是等比数列；，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若是等比数列，设公比为k，则，
，
于是，
即成立；
若，
取，显然不是等比数列，故是的充分不必要条件．
答案：A
27．（2023·新疆·统考三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】D
【解析】对于A项，由（）得，
所以，，
又因为，所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A项可知，，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
假设当，，成立，则，
令，则，
当，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以有，
所以对于任意，，成立，故C项正确；
对于D项，由A项知，不满足，故D项错误.
故选：D.
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第代祖先数目如下图所示：
若用表示一只雄蜂第代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，
A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，
故，C错误；
D选项，
，
故，D错误.
故选：B
二、多选题
29．（2023·湖南·校联考模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是
【答案】ABC
【解析】当时，公差，，A正确．
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，D错误．
因为，所以的取值范围是，B正确．
，当为整数时，的最大值为29，C正确．
故选：
30．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
31．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
33．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，，B为坐标原点，点P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列B．为公比为的等比数列
C．D．前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点P在圆上，则由参数方程得，
则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
②①得，
令，则，则是以为首项，
公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
34（2023·全国·模拟预测）已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时，B．当取最小值时，
C．当取最大值时，D．的最大值为
【答案】AD
【解析】由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故A正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故B不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故C不正确，D正确．
故选：AD
35．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以的最小值不为，故B错误；
对于选项C：令，解得，
又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以取最小值时，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
可得，
两式相减得：
，
所以，故D错误；
故选：AC.
36．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足，，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，，得，而，
因此数列是首项为，公比为2的等比数列，，
所以，B正确；
由，A正确；
，
则有2，
两式相减得，D错误；
由，C错误.
故选：AB
37．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，即，
所以数列为递增数列，可得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
两边平方整理得，故B正确；
对于选项C：因为数列为递增数列且，则为递减数列，
所以为递减数列，不存在最小值，故C错误；
对于选项D：因为，整理得，
两边平方得，即，
可得，
所以，
即，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
39．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
40．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
41（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
42．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
43．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .
【答案】100
【解析】当或，时，，；
当，时，，，
当，时.
∴，
∴.
故答案为：100.
44．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
45．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
【答案】
【解析】设的前n项和为，则，
又，
故
，
故，
故答案为：.
46．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 .
【答案】
【解析】因为，
所以，将代入，得，
所以，，所以，
，
又因为，所以，，即，
因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以，
因为，所以当时，
最大，
所以，
即时，有最大值.
故答案为：.
47．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列中，又，且，
两式相除得，，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴ ，
当，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为，
则，
数列的前2023项和为.
故答案为：
48．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以为奇数时，故都是集合中的元素.
又，所以为偶数时，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
则集合中所有元素的和为.
故答案为：2520.
49．（2023·陕西·校联考三模）已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，满足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值为10，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
50．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】由得，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，即．
所以．
故
，
易知数列为递增函数，且，所以，
故，解得或．
故答案为:.
雌雄
×
雌雄
×
作用次数
阳离子个数
阴离子个数
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
5
4
5
8
5
8
13
6
13
21
7
21
34
8
34
55
9
55
89
考法一 等差等比的基本量运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
【例1-2】．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.所以.故选:C.
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
2．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由条件得
即则故.故选：A.
3（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，
所以，，所以，，
解得，因此，.故选：D.
考法二 等差等比数列性质
【例2-1】（2023·四川成都·模拟预测）已知等差数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在等差数列中，，可得，
因此，.
故选：A.
【例2-2】（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，，解得．故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁沈阳·沈阳铁路实验中学校考二模）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得
.故选：B
【例2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（ ）
A．或B．2或C．D．
【答案】C
【解析】因为，是方程的两根，
所以，，且，都是负数，
又因为为等比数列，所以，所以，
且，所以.
故选：C
【例2-5】（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．41B．45C．36D．43
【答案】D
【解析】设，则，
因为为等比数列，根据等比数列的性质，
可得仍成等比数列.
因为，所以，
所以，故.
故选：D.
【变式】
1．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）等差数列 中，，则（ ）
A．60B．30C．10D．0
【答案】B
【解析】等差数列 中，,
即,
.
故选：B.
2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（ ）
A．9B．C．12D．
【答案】A
【解析】由已知，，，即3，，成等差数列，
所以，所以，
故选：A．
3．（2023·海南·校考模拟预测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】即，又等差数列的前项和形式满足，
故.则，
故.
故选：A
4．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是等差数列，所以，故，则，
因为是等比数列，所以，故，则，
所以.
故选：A
5．（2023·山西吕梁·统考二模）等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．40或B．C．40D．32
【答案】C
【解析】由题意知：，，成等比数列，
∴，解得：或，
∵，∴．故选：C
考法三 通项
【例3-1】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列的前项和为，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，，得，
当时，，，，
，又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，.故选：C
【例3-2】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知数列的各项均不为零，且满足，（，），则的通项公式 ．
【答案】
【解析】，则，
设，，则，
，
而也符合该式，故，故.
故答案为：
【例3-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
显然若，则，则，，与题意矛盾，
所以，，两边同时取倒数，得：，
设，，，，
因为，故，故，所以为等比数列，
所以，故，所以，
故，故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）已知数列的前项和为，，，则数列的通项 ．
【答案】
【解析】由，而，故是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
又且，显然也满足上式，
所以.故答案为：
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由得：，
则当时，，，故满足递推关系，
又，满足，
满足条件的数列的一个通项公式为：.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列满足，，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】，两边同除得：
，
所以，即，
化简得，∵，∴．
故答案为：.
考法四 求和方法
【例4-1】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）等差数列的前n项和，，数列的前n项和
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
所以，
所以数列的前n项和为
.
故答案为：
【例4-2】（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列满足，，，则数列的前30项和为 .
【答案】465
【解析】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；
故答案为：465
【例4-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，则 .
【答案】
【解析】由可得当时，，
所以，满足，故，.
令，
则，
两式相减得：，
所以.
故答案为：
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列满足，，则 .
【答案】
【解析】当时，，
∴，
又，
满足，
∴，，
即，
∴
.
故答案为：.
2．（2023·江西鹰潭·二模）已知等差数列满足：，，数列的前n项和满足，则数列的前n项和 .
【答案】
【解析】因为，，所以，
所以，
因为，所以，
两式相减可得，，即，
又，可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故，
令，
，
，
两式相减得：
.
故答案为：
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，其前n项和为，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以，所以.
故答案为：.
4．（2023·江西赣州·统考二模）设为数列的前项和，满足，其中，数列的前项和为，满足，则 ．
【答案】
【解析】当时，，
①，当时，②，
两式相减得，即，
所以，
且对也适合，综上，，
故，
.
故答案为：
考法五 数列在实际生活中应用
【例5-1】（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以，该马七天所走的里程为，解得.
故该马第五天行走的里程数为.
故选：D.
【变式】
1．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
【答案】A
【解析】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列，
由已知，，
（斗）．
故选：A．
2．（2023·陕西榆林·统考三模）现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（）匹马的日行路程是第匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取）（ ）
A．7750里B．7752里
C．7754里D．7756里
【答案】B
【解析】，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为
（里）．故选：B.
3（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【解析】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
考法六 数列的单调性与最值
【例6-1】（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（ ）①为的最小值 ② ③， ④为的最小值
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】等差数列中，，则，故②正确；
又，所以，故，则，故③正确；
于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；
则四个命题正确个数为.
故选：C.
【例6-2】（2023·江西赣州·统考一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】D
【解析】由可知公比，所以A错误；
又，且可得，即B错误；
由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增，
即无最大值，所以C错误；
设为数列前项积的最大值，则需满足，可得，
又可得，即的最大值为，所以D正确.
故选：D
【变式】
1．（2023·山东烟台·校考模拟预测）设等差数列的前n项和为，已知是方程的两根，则能使成立的n的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】A
【解析】因为 是方程 的根， ，
又 ，公差 ，
由等差中项知： ， ，
， ，即使得 的成立的最大 ；故选：A.
2．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）设等差数列的公差为，共前项和为，已知，，则下列结论不正确的是（ ）.
A．，B．与均为的最大值
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，
因为，
，
所以，所以CD正确；
由，易得，
所以，即，
由，得，
所以，所以A正确；
对于B：因为，所以，
因此，与不可能同为的最大值.
故选：B.
3．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．1
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】BD
【解析】若，则，，所以，与矛盾；
若，则因为，所以，，则，与矛盾，因此，所以A不正确．
因为，所以，因此，故B正确．
因为，所以单调递增，即的最大值不为，故C错误．
因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确．故选：BD.
考法七 数列与其他知识的综合运用
【例7-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算 ．
【答案】
【解析】】设，
，
上面两式相减可得，
，
则．
故答案为：．
【例7-2】（2023·山西阳泉·统考三模）已知数列满足，其前项和为，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
.
故答案为：.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成，这种生物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代.若某生物群体的基因型为，在该生物个体的随机交配过程中，基因型为的子代因无法适应自然环境，会被自然界淘汰.例如，当亲代只有基因型个体时，其子1代的基因型如下表所示：
由上表可知，子1代中，子1代产生的配子中占，占.以此类推，则子10代中个体所占比例为 .
【答案】
【解析】由题，设子代中占比为，则占比为.
所以，则子代的基因型如下表所示，
由表可得，表格中总份数为（其中淘汰了份），
因此子代中占比为，
化简得，即，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，，因此 .
故答案为：.
2．（2023·全国·模拟预测）离子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一个或几个电子后达到的稳定结构，得到电子为阴离子，失去电子为阳离子，在外界作用下阴离子与阳离子之间可以相互转化．科学家们在试验过程中发现，在特定外界作用下，1个阴离子可以转化为1个阳离子和1个阴离子，1个阳离子可以转化为1个阴离子，如果再次施加同样的外界作用，又能产生同样的转化．若一开始有1个阴离子和1个阳离子，则在9次该作用下，阴离子的个数为（ ）
A．87B．89C．91D．93
【答案】B
【解析】由题目知，作用后的阳离子个数是作用前阴离子个数，作用后的阴离子个数是作用前阴阳离子个数之和。
现在有1个阴离子和1个阳离子，经过逐次作用后：
则在9次该作用下，阴离子的个数为.
故选：B.
考法八 新定义数列
【例8-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）（多选）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（ Lenard Fibnacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以，所以
故A正确；
因为，所以，即，
所以，而，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确
答案：ACD.
【例8-2】（2023·江苏扬州·统考模拟预测）（多选）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列、进行“美好成长”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；；设第次“美好成长”后得到的数列为、、、、、，并记，则（ ）
A．B．
C．D．数列的前项和为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，A对；
对于B选项，设第次“美好成长”后共插入项，即，共有个间隔，且，
则第次“美好成长”后再插入项，则，
可得，且，
故数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，故，B错；
对于C选项，由题意可知：
，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，故，
所以，，
所以，数列的前项和为，D对.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640B．1560C．820D．780
【答案】C
【解析】设第层放小球的个数为，由题意，，……，数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以．
故，
故．
故选：C．
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任意正整数，按照上述规则实施第次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16B．5或32
C．5或16或4D．5或32或4
【答案】B
【解析】由题知，因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则.
综上所述：或32.
故选：B
3．（2023·河南安阳·统考二模）如果有穷数列，，，…，（m为正整数）满足条件，，…，，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”．例如，数列8，4，2，，，是“倒序等积数列”．已知是80项的“倒序等积数列”，，且，，…，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（ ）．
A．210B．445C．780D．1225
【答案】B
【解析】由题可知当时，.
根据定义，当时，.
则.
故
.
故选：B
4．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:,该数列从第三项起,每一项都等于前两项的和,即递推关系式为,故此数列称为斐波那契数列,又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为,其中的值可由和得到,比如兔子数列中代入解得.利用以上信息计算表示不超过的最大整数（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【解析】由题意可令,
所以将数列逐个列举可得:
,,,,,
故,
因为,
所以,
故.
故选:B
一、单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3B．18C．54D．152
【答案】C
【解析】由题意可得：当时，，即， ①
当时，，即， ②
联立①②可得，则.
故选：C.
2．（2023·江西九江·统考一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，，故选：C.
3．（2023·四川南充·模拟预测）等差数列的前项和为，则的最大值为（ ）
A．60B．50C．D．30
【答案】D
【解析】由和，
由于为等差数列，且，所以当时，,
故的最大值为，
故选：D
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知为等比数列，是它的前项和．若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．37B．35C．31D．29
【答案】C
【解析】，，解得，
与的等差中项为，解得，
设等比数列的公比为，则，解得，
，，故选：C．
5．（2023·湖南郴州·统考一模）设数列满足且是前项和，且，则（ ）
A．2024B．2023C．1012D．1011
【答案】C
【解析】由题意，，，
则数列为等差数列，设公差为，，即，则，则，
则所以，（常数），则也为等差数列.
则数列的公差为.
所以
所以.
故选：C
6．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【答案】C
【解析】因为，所以异号，
因为，所以，
又有，所以，即，
因为，，
所以的最大整数n为17.
故选：C
7．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．11
【答案】A
【解析】设，
则
，
所以.
故选：A
8．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得 ，
故 .
故选：A.
10．（2023·江西景德镇·统考三模）在数列中，，，则数列的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
.
故选：D.
11．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为成等比数列，可得，
则，（当且仅当时取等号），
由于在三角形中，且在上为减函数，
所以角的取值范围是：.
故选：B.
12．（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知正项等比数列，若，则（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项，，
又是正项数列，故（负值舍去）
设等比数列的公比为，由，
即，解得（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
13．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．8B．C．D．10
【答案】B
【解析】由正项等比数列可知，，成等比数列，
则，又，所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
故的最小值为.
故选：B.
14．（2023·福建泉州·统考模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为（），
则，解得：，
又，
所以，
故选：C.
15．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，且也成等比数列，
因为，，所以，
所以8，-1，S9-S6成等比数列，所以8(S9-S6)=1，
即，所以.故B，C，D错误.
故选：A.
16．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】因为等差数列的公差为，
所以，
所以，
所以数列是周期为3的数列，
又，所以或或，
则符合题意，此时，
所以，
所以，排除,只有符合,
故选：.
17．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
18．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
19．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
20．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
21．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438B．19.9C．22.3D．24.3
【答案】C
【解析】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，
2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，
2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，
所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，
他可取回的钱数约为万元，
故选：C.
22．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩（ ）（参考数据）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，设一开始锶90质量为1，
则每年的剩余量构成以为公比的等比数列，
则经过800年锶90剩余质量为，
两边取常用对数可得：，
所以，
故选：B
23．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A．B．7C．13D．26
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得，
又由，所以.
故选：C.
24．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
25．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，设方程的三个不同的实数根从小到大依次为，，
则，解得，
所以.
故选：A.
26．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为．若数列是等比数列；，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若是等比数列，设公比为k，则，
，
于是，
即成立；
若，
取，显然不是等比数列，故是的充分不必要条件．
答案：A
27．（2023·新疆·统考三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【答案】D
【解析】对于A项，由（）得，
所以，，
又因为，所以，
所以，故A项正确；
对于B项，由A项可知，，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
假设当，，成立，则，
令，则，
当，，单调递减，
所以，即，
所以，
所以有，
所以对于任意，，成立，故C项正确；
对于D项，由A项知，不满足，故D项错误.
故选：D.
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）养过蜂的人都知道，蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是有母无父，雌蜂是有父有母的，因此一只雄蜂的第代祖先数目如下图所示：
若用表示一只雄蜂第代祖先的个数，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，当时，，
A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，
故，C错误；
D选项，
，
故，D错误.
故选：B
二、多选题
29．（2023·湖南·校联考模拟预测）若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时，B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是
【答案】ABC
【解析】当时，公差，，A正确．
因为是正项等差数列，所以，即，且，
所以公差的取值范围是，D错误．
因为，所以的取值范围是，B正确．
，当为整数时，的最大值为29，C正确．
故选：
30．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则下列结论正确的是( )
A．数列是等差数列B．数列是等差数列
C．数列是等比数列D．数列是等差数列
【答案】ABC
【解析】设等差数列的公差为，则，∴．
对于A选项，，∴为等差数列，A正确；
对于B选项，令，
∴，
故数列是等差数列，B正确；
设等比数列的公比为，
对于C选项，令，则，故数列是等比数列，C正确；
对于D选项，∵不一定为常数，故数列不一定是等差数列，故D错误；
故选：ABC．
31．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．是递增数列B．是数列中的项
C．数列中的最小项为D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，.
对于A选项，因为，所以，是递增数列，A对；
对于B选项，令，可得，B错；
对于C选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C对；
对于D选项，，则，
所以，，
故数列为等差数列，D对.
故选：ACD.
32．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
【解析】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；
对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；
对于C，设等差数列的公差为，首项是，
，
，
因此，则 ，成等差数列，C正确；
对于D，若等比数列的公比，则 不成等比数列，D错误.
故选：ABC
33．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，，B为坐标原点，点P在圆上，若对于，存在数列，，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．为公差为2的等差数列B．为公比为的等比数列
C．D．前n项和
【答案】CD
【解析】对AB，由点P在圆上，则由参数方程得，
则，∴.
对于，存在数列，，使得，即①，②，
②①得，
令，则，则是以为首项，
公比为的等比数列.
则，AB错；
对C，，C对；
对D，，
，
两式相减得，
.
∴，D对.
故选：CD.
34（2023·全国·模拟预测）已知数列满足为的前项和．则下列说法正确的是（ ）
A．取最大值时，B．当取最小值时，
C．当取最大值时，D．的最大值为
【答案】AD
【解析】由题意知，则，因为，
所以，
令，所以，所以，所以，
即或，又，故．
当取最大值时，，此时，则，，
故，故A正确；
当取最小值时，，此时，则，，
故，故B不正确；
由，知，
即，当且仅当时取等号，
故当取最大值时，，
此时，故C不正确，D正确．
故选：AD
35．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．若，则的最小值为
C．取最小值时
D．设，则
【答案】AC
【解析】对于选项A：设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
但，所以的最小值不为，故B错误；
对于选项C：令，解得，
又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以取最小值时，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
可得，
两式相减得：
，
所以，故D错误；
故选：AC.
36．（2023·重庆·校联考三模）已知数列 满足，，的前项和为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，，得，而，
因此数列是首项为，公比为2的等比数列，，
所以，B正确；
由，A正确；
，
则有2，
两式相减得，D错误；
由，C错误.
故选：AB
37．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，即，
所以数列为递增数列，可得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
两边平方整理得，故B正确；
对于选项C：因为数列为递增数列且，则为递减数列，
所以为递减数列，不存在最小值，故C错误；
对于选项D：因为，整理得，
两边平方得，即，
可得，
所以，
即，所以，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
39．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
40．（2023·全国·统考高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
41（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差 ．
【答案】2
【解析】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
42．（2022·北京·统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
43．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .
【答案】100
【解析】当或，时，，；
当，时，，，
当，时.
∴，
∴.
故答案为：100.
44．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 .
【答案】
【解析】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，则，
所以.
故答案为：.
45．（2023·江苏·统考模拟预测）若数列满足，，则的前n项和为 .
【答案】
【解析】设的前n项和为，则，
又，
故
，
故，
故答案为：.
46．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值等于 .
【答案】
【解析】因为，
所以，将代入，得，
所以，，所以，
，
又因为，所以，，即，
因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以，
因为，所以当时，
最大，
所以，
即时，有最大值.
故答案为：.
47．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【解析】在数列中，又，且，
两式相除得，，
∴数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则，∴ ，
当，，
当时，，也满足上式，
∴数列的通项公式为，
则，
数列的前2023项和为.
故答案为：
48．（2023·贵州·统考模拟预测）已知数列满足，若数列的前项和为，，则中所有元素的和为 .
【答案】2520
【解析】由，得，
所以，
所以为奇数时，故都是集合中的元素.
又，所以为偶数时，
由得，所以2，4，6，8是集合中的元素，
则集合中所有元素的和为.
故答案为：2520.
49．（2023·陕西·校联考三模）已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，满足上式，
所以.
所以，
所以，
由，可得，即，
因为函数在单调递增，
所以当时，有最小值为10，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
50．（2023·陕西铜川·校考一模）已知数列中，，且，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总有，则t的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】由得，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，即．
所以．
故
，
易知数列为递增函数，且，所以，
故，解得或．
故答案为:.
雌雄
×
雌雄
×
作用次数
阳离子个数
阴离子个数
0
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
5
4
5
8
5
8
13
6
13
21
7
21
34
8
34
55
9
55
89
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