【二轮复习】高考数学专题8 统计案例分析（讲义）（考点精练）.zip

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01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（五大命题方向+四道高考预测试题，高考必考5-15分）
命题点1 统计数据分析
命题点2 古典概型及应用
命题点3 独立性检验及相关系数应用
04创新好题·分层训练（ 精选10道最新名校模拟试题+10道综合提升）

（1）回归直线方程，其中.
相关系数 .
注：|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
（2）频率直方图的频率 = 小矩形 ，
频率直方图的频率之和：f1 +f2 +⋅⋅⋅ +fn = 1；同时 S1 + S2 +⋅⋅⋅ +Sn = 1；
频率直方图的众数：最高小矩形底边的中点.
频率直方图的平均数：；.
频率直方图的中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于 0.5 时 x 的值.
频率直方图的方差：.
（3）古典概型概率公式：P(A) = ..

统计案例分析是高考中必考点，随着新高考结构改革，统计部分作为解答题的可能性逐步减少，概率及随机变量分布列作为解答题几乎是必然趋势，但是综合几年的高考试卷来说，统计部分对于小题的考查也是高考中的必考部分.
命题点1 统计数据分析
典例01 （2022·全国·统考高考甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【解析】1．B
【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.
【详解】讲座前中位数为,所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.
故选:B.
二、多选题
典例02 （2023·全国·Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【解析】．BD
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；
例如，可得；
例如，可得；故A错误；
对于选项B：不妨设，
可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
三、解答题
典例03 （2021·全国·乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提
【解析】．（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
命题点2 古典概型及应用
典例01（2023·全国·乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
典例02（2022·全国·Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
典例03（2021·全国·甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0不相邻的概率为.
故选：C.
命题点3 独立性检验及相关系数应用
典例01（2023·全国甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【答案】(1)分布列见解析，(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
典例02（2022·全国·乙卷）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【答案】(1)；(2)(3)
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
预计2024年新高考中试卷结将是小题的形式考查关于统计分析相关的问题
一、单选题
1．天文专家表示，“十五的月亮十四圆”这种现象比较罕见.21世纪这100年中，这种情况仅会出现6次，其中一次是2020年的8月3日（农历六月十四），下一次则要等到2037年．若某同学计划从这6次“十四月圆”中随机选取3次，研究其发生的时间，则其中至少包含2020年与2037年这两次中的一次的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，从这6次“十四月圆”中随机选取3次，基本事件的总数为种，
其中不包含2020年与2037年这两次所包含的基本事件有种，
所以至少包含2020年与2037年这两次中的一次的概率为.故选：D.
2．现有甲､乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（ ）
A．若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3
B．若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5
C．若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5
D．若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5
【答案】B
【详解】设甲组数据的平均数为，方差为，
乙组数据的平均数为，方差为，
混合后的新数据的平均数为，方差为，
则，，
对于A，新的一组数据平均数，A正确；
对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式可知无法确定新的一组数据方差，B错误；
对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即，，
所以，
所以，C正确；
对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即，，
所以，
所以，D正确；
故选：B.
3．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关
B．线性回归方程中
C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
D．时，残差为
【答案】D
【分析】对于，利用表中的数据分析即可求解；对于，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于，利用预测值和残差的定义即可求解；对于，利用回归方程即可求出预测值．
【详解】对于，从数据看随的增加而增加，所以变量y与x正相关，故正确；
对于，由表中数据知，
所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，故正确；
对于，当时该商场5G手机销量约为（千只），故正确．
对于，线性回归方程为，所以，，故错误；
故选：．
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A·新题速递
一、单选题
1．（2024下·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考开学考试）为了积极推进国家乡村振兴战略，某示范村不断自主创新，拓宽村民增收渠道，近年来取得了显著成效．据悉该村2023年经济总收入是2022年的2倍，为了更好地了解该村经济收入变化情况，统计了该村两年的经济收入构成比例，得到如图所示的条形图和饼图．则以下说法错误的是（ ）
A．2023年“种植收入”和2022年“种植收入”一样多
B．2023 年“养殖收入”与“第三产业收入”之和比2022年的全年总收入还多
C．2023年“外出务工收入”是2022年“外出务工收入”的
D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍还多
【答案】C
【分析】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，A选项，分别计算出2022年和2023年种植收入，得到A正确；B选项，计算出，B正确；C选项，分别计算出2022年和2023年外出务工收入，得到C错误；D选项，分别计算出2022年和2023年其他收入，得到D正确.
【详解】设2022年总收入为m，则2023年总收入为，
对于A，2022年种植收入为，2023年种植收入为，A正确；
对于B，2023年养殖收入和第三产业收入之和为，B正确；
对于C，2022年外出务工收入为，2023年外出务工收入为，
是2022年外出务工收入的，C不正确；
对于D，2022年其他收入为，2023年其他收入为，
由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍还多，D正确．
故选：C．
2．（2024下·湖南·高三校联考开学考试）有一组样本数据由5个连续的正整数组成，其中是最小值，是最大值，若在原数据的基础上增加两个数据，，组成一组新的样本数据，则（ ）
A．新样本数据的平均数小于原样本数据的平均数
B．新样本数据的平均数大于原样本数据的平均数
C．新样本数据的方差等于原样本数据的方差
D．新样本数据的方差大于原样本数据的方差
【答案】D
【分析】根据题意结合平均数、方差的概念逐项分析判断.
【详解】设原样本数据的平均数为，
则新数据的平均数为
，
所以新样本数据的平均数等于原样本数据的平均数，故A，B错误；
由题意新数据的波动增大，所以方差越大，故C错误，D正确．
故选：D.
3．（2024下·广东·高三校联考开学考试）国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（居民消费水平：）

A．2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B．2018年至2022年我国城镇居民消费水平逐年提高
C．2018年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为27504元
D．2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
【答案】D
【分析】AB选项，2019年比2020年的两项指标高；C选项，将数据从小到大排序，再利用百分位数的概念进行求解；D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则可列出方程，得到，故D正确.
【详解】A选项，2019年的居民消费水平为元，2020年的居民消费水平为元，
2019年比2020年的居民消费水平高，A错误；
B选项，2019年的城镇居民消费水平为元，2020年的城镇居民消费水平为元，
2019年比2020年的城镇居民消费水平高，B错误；
C选项，2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为，
由于，
故年至2022年我国居民消费水平数据的分位数为从小到大第3个和第4个数据的平均数，
即元，C错误.
D选项，设2022年我国农村人口数为，城镇人口数为，则，
化简得，
所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多，D正确.
故选：D
4．（2024上·山东烟台·高三统考期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；
其中质数有13、17、31、71，
所以取到的数字为质数的概率为，
故选：A
5．（2024上·广东·高三统考期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出10个数中任取3个数，至多有1个阴数的总基本事件个数，再列举出取出的3个数之和是5的倍数的基本事件，利用古典概型概率公式即可求解.
【详解】如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为，阴数为
若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，
基本事件总数为，
取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括，
共有12个，
取出的3个数之和是5的倍数的概率是.
故选：A.
二、解答题
6．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程，其中，，
样本相关系数；
参考数据：，．
【答案】(1)0.96
(2)，219.4万元
【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进一步代入相关系数公式即可求解；
（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，由此即可得经验回归方程并预测.
【详解】（1），
，
所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
7．（2024下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）． 调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
(1)完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为“平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
(2)经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，的平均浓度的标准差．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数．（精确到0.1）
参考公式：，其中．
回归方程，其中．
相关系数． 若，则认为与有较强的线性相关性．
【答案】(1)列联表见解析，至少有的把握；
(2)① 0.84，有价值；②
【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果.
（2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值.
【详解】（1）列联表如下：
零假设：“PM2.5平均浓度不小于100μg/m3”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
（2）①因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
与有较强的相关性，该回归方程有价值．
②，解得
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算.
8．（2024上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y（单位：亿元）的散点图，其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.

根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，.
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y（单位：亿元）关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由；
(2)（i）根据（1）中所选模型，求出y关于x的经验回归方程；
（ii）设该科技公司的年利润（单位：亿元）和年研发投入y（单位：亿元）满足（且），问该科技公司哪一年的年利润最大?
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)选择模型②更适宜，理由见解析
(2)（i）；（ii）该公司2028年的年利润最大
【分析】（1）根据残差图确定；
（2）根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；
【详解】（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜.
（2）（i）设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
（ii）由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润L有最大值，
故该公司2028年的年利润最大.

C·综合提升
一、单选题
1．（2024下·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）以正方体的个顶点中的某个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】找出各面都不是直角三角形的三棱锥，并求出全部三棱锥的个数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】如下图所示：
三棱锥各面都是等边三角形，这样的三棱锥还有三棱锥，共个，
从正方体的个顶点中的某个为顶点可组成一个三棱锥，
从个顶点中任取三点不共线，若取个点，若这四点共面，则四点所在的面是正方体的侧面或底面，
或者是正方体的对角面，如面，对角面的个数为个，
所以，从正方体的个顶点中的某个为顶点可组成一个三棱锥，
不同的三棱锥的个数为，
因此，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为.
故选：B.
2．（2024上·全国·高三期末）中国饮食文化历史悠久，博大精深，是中国传统文化中最具特色的部分之一，其内涵十分丰富，根据义务教育课程方案，劳动课正式成为中小学一门独立的课程，“食育”进入校园.李老师计划在实验小学开展一个关于“饮食民俗”的讲座，讲座内容包括日常食俗，节日食俗，祭祀食俗，待客食俗，特殊食俗，快速食俗6个方面.根据安排，讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序），则节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据排列组合知识和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】讲座分为三次，每次介绍两个食俗内容（不分先后次序）,一共有种不同的安排方法，
其中节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗有一个和节日食俗安排在第二次讲座的有种，
节日食俗安排在第二次讲座，日常食俗与祭祀食俗都不和节日食俗安排在第二次讲座且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故节日食俗安排在第二次讲座，且日常食俗与祭祀食俗不安排在同一次讲座中的有种，
故所求概率为.
故选：B
3．（2024·全国·高三专题练习）为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动．已知该班男生人，女生人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为．记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由方差公式推出，，可得，，再用推导公式求班级的方差即可.
【详解】记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则
，
，
同理，
，，，
，
故选：D．
4．（2024上·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考期末）已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．记总的样本平均数为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据平均数和方差的定义可得，，
再由化简计算即可.
【详解】因为样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．
所以，
，，
所以
，
故选：D.
5．（2024上·四川泸州·高三泸县五中校考期末）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去的情况数，从而得到甲不去小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果.
【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
5人被分为或
当5人被分为时，情况数为;
当5人被分为时，情况数为；
所以共有.
由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则
共计种，
当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，
所以甲不在小区的概率为
故选：B.
二、解答题
6．（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表．
(1)公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）
(2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?
参考公式及数据：，，，，，，，， ．
【答案】(1)，
(2)②的拟合效果好，预测销售量是千件
【分析】（1）根据经验回归方程的求法求得正确答案.
（2）通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测.
【详解】（1），
所以，
所以.
由，两边取以为底的对数得，即，
，
所以，所以.
（2），
对于，；对于，，
所以②的拟合效果好，当时，预测值千件.
7．（2024·全国·高三专题练习）小强发现汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素 是驾驶员的反应时间和汽车的行驶速度.小强根据美国公路局公布的实验数据，制作了汽车行驶速度x（km/h）和停车距离y（m）的表格.
(1)通过样本相关系数的值说明x和y的相关程度；
(2)小强选择用一元线性回归分析这组数据，请帮他求出回归方程（保留两位小数）.
参考数据：，
参考公式：相关系数；（若认为相关性很强；|r|认为相关性一般，认为相关性较弱）
回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.
【答案】(1)和有很强的线性相关关系
(2)
【分析】（1）根据线性相关系数的求解公式得结果，即可判断相关性；
（2）根据最小二乘法求得线性回归方程的斜率与截距，即可得回归直线方程.
【详解】（1），
所以可以认为和有很强的线性相关关系．
（2）据题意，，又，
所以，
所以回归方程为．
考点
考向
考题
统计案例
①统计数据分析
②古典概型及应用
③独立性检验及相关系数应用
2023新高考全国ⅠT9 全国乙T9 T17
2022 全国甲卷T2
2021 全国乙卷T17 ⅠT9 ⅡT9
2023 甲卷T4 乙卷T9
2022全国乙卷T4 T14 T10
新高考Ⅰ卷T5 全国ⅡT10
2021 甲卷ⅡT10
2023 甲T19
2022乙卷 T19 甲卷T17 ⅠT20
2021 甲卷T17
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
乙
甲
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额／万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽车日流量
汽车日流量
合计
的平均浓度
16
8
24
的平均浓度
6
20
26
合计
22
28
50
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
1
2
3
4
5
6
1
1.5
3
6
12
经验回归方程
残差平方和
x
40
50
60
70
80
90
100
110
y
17
26.5
35.8
46
52.7
70.8
85.4
101