最新中考数学思想方法讲与练 【数形结合】数轴中的数形结合思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
数轴中的数形结合思想
知识方法精讲
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
4．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
5．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
7．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
8. 数形结合思想数形。1二113455511呃呃属性
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。
3. 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
一．选择题（共11小题）
1．（2021秋•七星关区期末）如图，数轴上的两点、表示的数分别为、，下列结论正确的是
A．B．C．D．
【考点】数轴
【分析】根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项逐一分析即可．
【解答】解：由图可知，，且，
、，故本选项不符合题意；、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了数轴，准确识图，判断出、的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
2．（2020秋•江津区期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数是
①；
②；
③；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】数轴；绝对值
【分析】由数轴确定、、的符号与大小，根据实数的运算、绝对值知识进行辨别即可．
【解答】解：由数轴可得，，且，
，①不正确；
，②不正确；
，③不正确；
，④正确，
故选：．
【点评】此题考查了利用数轴解决实数的运算符号确定与绝对值的化简能力，关键是能根据数轴确定各数的符号、大小．
3．（2021秋•都江堰市期中）如图，在数轴上，已知点表示的数为，则点到原点的距离是
A．B．3C．D．
【考点】数轴
【分析】根据有理数绝对值的概念进行结果确定即可．
【解答】解：，
点到原点的距离是3，
故选：．
【点评】此题考查了利用数形结合思想解决有理数的绝对值问题的能力，关键是能利用数轴准确理解有理数绝对值的概念．
4．（2021秋•瑞安市期中）如图，数轴上点表示的数是1，点，分别位于点两侧，且到点的距离相等．若点表示的数是，则点表示的数是
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴
【分析】根据点、表示的实数，确定出线段的长度，就能求得此题结果．
【解答】解：数轴上点表示的数是1，点表示的数是，
线段的长度和线段的长度为：，
点表示的数为，
故选：．
【点评】此题考查了利用数形结合解决实数运算的能力，关键是能根据数轴确定点所表示的数及两点间的距离．
5．（2021秋•义乌市期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；则翻转2021次后，数轴上数2021所对应的点是
A．点B．点C．点D．点
【考点】实数与数轴
【分析】根据在翻转过程中落在数轴上的点四次一循环的规律，可以推算出此题结果．
【解答】解：在翻转过程中，1对应的数是，2对应的数是，3对应的数是，4对应的数是，依次4次一循环的出现，
，
所对应的点是，
故选：．
【点评】此题考查了利用数轴解决实数问题的能力，关键是能确定出此题的变化规律．
6．（2021秋•金水区校级期中）数，，在数轴上的位置如图所示．化简：等于
A．B．C．D．
【考点】数轴；绝对值
【分析】根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数去绝对值计算即可得答案．
【解答】解：，且，
，，，
，
故选：．
【点评】本题考查去绝对值及整式运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则．
7．（2020秋•建平县期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案
【解答】解：由题意可知：，
，
原式
，
故选：．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
8．（2021秋•山亭区期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用数轴得出，，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：
，，
则
．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．
9．（2021秋•梁子湖区期中）已知，代数式的值等于
A．B．C．D．
【考点】绝对值
【分析】根据，得出，，的符号，然后去掉绝对值即可得出答案．
【解答】解：，
，，，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，根据，，的符号确定，，的符号解决问题的关键．
10．（2021秋•崆峒区期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是
A．B．C．D．
【考点】数轴；绝对值
【分析】先由数轴得出，，的大小关系，再根据绝对值化简的法则展开，最后合并同类项即可．
【解答】解：由数轴可得：
故选：．
【点评】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简，数形结合并明确绝对值的化简法则，是解题的关键．
11．（2021秋•五常市期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为
A．B．C．D．
【考点】整式的加减；数轴；绝对值
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【解答】解：由数轴得：，即，
则原式，
故选：．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共2小题）
12．（2021秋•西城区期末）线段，为线段的中点，点在直线上，若，则 12或6 ．
【考点】两点间的距离
【分析】分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧．
【解答】解：分两种情况：
当点在点的右侧时，如图：
点是线段的中点，，
，
，
，
当点在点的左侧时，如图：
点是线段的中点，，
，
，
，
线段的长为12或6，
故答案为：12或6．
【点评】本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
13．（2021秋•金水区校级期中）已知有理数、在数轴上的对应点位置如图所示，请化简： ．
【考点】数轴；绝对值
【分析】根据数轴分别确定、、的符号，再求出它们的绝对值进行运算．
【解答】解：由数轴可得，，
，，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了利用数形结合进行有理数的绝对值化简、计算的能力，关键是能运用数形结合确定有理数及算式的符号．
三．解答题（共10小题）
14．（2021秋•长丰县期末）如图，，，三点在数轴上，点对应的数为多项式中一次项的系数，点对应的数为单项式的次数，点对应的数为．
（1）请直接写出点和点在数轴上对应的数．
（2）请求出点对应的数，使得点到点，点距离和为10．
（3）若点在原点，点和点同时向右运动，它们的速度分别为1，4个长度单位分钟，则第几分钟时，，，三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【考点】单项式；多项式；数轴
【分析】（1）根据多项式中一次项的系数是，单项式的次数是6得到、两点表示的数；
（2）根据的位置不同，分三种情况分别求解；
（3）分为的中点和为的中点两种情况．
【解答】解：（1）多项式中一次项的系数是，
点对应的数为，
单项式的次数是6，
点对应的数为6．
（2）若在点左侧，则，解得；
若在点、中间，因为，故不存在这样的点；
若在点右侧，则，解得．
故点对应的数为或7．
（3）设第分钟时，点的位置为，点的位置为．
①当为的中点时，则，解得；
②当为的中点时，则，解得．
故第或7分钟时，、、三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点．
【点评】此题主要考查了中点的性质和两点之间的距离，解题时要注意分类讨论．
15．（2021秋•江夏区期末）如图，在数轴上有，两点，其中点在点的左侧，已知点对应的数为4，点对应的数为．
（1）若，则线段的长为 9 （直接写出结果）．
（2）若点在射线上（不与，重合），且，求点对应的数（结果用含的式子表示）．
（3）若点在线段之间，点在点的左侧、均不与、重合），且．当，时．求的值．
【考点】有理数的混合运算；数轴
【分析】（1）利用有理数混合运算的法则计算出的值，结合数轴即可求得结论；
（2）分两种情况讨论解答：①点在，之间；②点在点的右侧；设点对应的数字为，依据已知条件列出等式后化简即可得出结论；
（3）设点对应的数字为，点对应的数字为，利用依据已知条件列出等式后化简即可得出结论．
【解答】解：（1）
，
，
故答案为：9．
（2）设点对应的数字为，
①点在，之间时，
，
．
化简得：．
．
②点在点的右侧时，
，
．
化简得：．
．
综上，点对应的数为或．
（3）设点对应的数字为，点对应的数字为，
由题意得：，，，，
，
．
①．
当时，，
，．
②，
③，
③②得：④，
将④代入①得：．
．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，数轴，数轴上的点对应的数字的特征，利用数轴上的点对应的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．
16．（2021秋•西城区校级期中）我们知道，的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数，对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．
（1）数轴上1和两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是 ．
（2）数轴上表示和的两点、之间的距离可以表示为 ；如果，结合几何意义，那么的值为 ；
（3）代数式表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是 ．
【考点】有理数的减法；绝对值；数轴
【分析】（1）根据题目中的几何意义可以直接得到1和两点之间的距离的表示方法，再计算即可；
（2）根据题目中的几何意义可以直接得到和两点之间的距离的表示方法，再解关于的绝对值方程即可；
（3）根据两点之间距离的几何意义，结合数轴发现在1和之间时，代数式的值最小．
【解答】解：（1）数轴上1和两点之间的距离可以表示为；
和两点之间的距离是4．
故答案为：；4．
（2）数轴上表示和的两点、之间的距离可以表示；
，
，
或．
故答案为：；或．
（3）代数式表示的几何意义是数轴上表示数的点到1和两点的距离的和；
位于到2之间时它们的距离和有最小值为3．
故答案为：数轴上表示数的点到1和两点的距离的和；3．
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，体现了数形结合思想．
17．（2021秋•魏都区校级期中）已知有理数、、在数轴的位置如图所示，化简：．
【考点】绝对值；数轴；整式的加减
【分析】根据数轴确定绝对值里面实数的符号进行求值计算．
【解答】解：由题意得，，
，，，，
．
【点评】此题考查了利用数形结合解决实数绝对值化简的能力，关键是能根据数轴确定绝对值里面实数的符号并进行准确的化简计算．
18．（2021秋•滕州市期中）送货员开着货车从超市出发，向东走了4千米到达小刚家，继续走了2千米到达小明家，然后向西走了10千米到达小芳家，最后回到超市．
（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，小芳家在超市的 西 方，距超市 千米，请在数轴上表示出小明家、小芳家的位置．
（2）小刚家距小芳家 千米．
（3）若送货车每千米耗油0.15升，每升汽油6元，请问货车全程油耗多少元？
【考点】数轴
【分析】（1）结合数轴，根据该送货员的行进情况确定此题结果；
（2）根据小刚家和小芳家在数轴上的位置确定此题答案；
（3）求出该送货员所走的全部路程乘以每千米耗油量和每升汽油的单价．
【解答】解：（1）
（千米），
小芳家在超市的西方，距超市4千米，小明家、小芳家的位置在数轴上标注如图；
（2）（千米），
小刚家距小芳家8千米；
（3）
（元，
答：货车全程油耗18元．
【点评】此题考查了利用数轴和正负数解决实际问题的能力，关键是能根据数轴和正负数确定位置，并准确列式计算．
19．（2021秋•运城期中）已知是最小的正整数，且，，满足，请回答下列问题：
（1）请直接写出，，的值， ， ， ．
（2）如图，，在数轴上所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在，之间运动时，请化简式子：；（请写出化简过程）
（3）在（1）和（2）的条件下，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒1个单位长度向右运动，假设经过秒，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则 ， ，并求出的值．
【考点】非负数的性质：偶次方；数轴；非负数的性质：绝对值
【分析】（1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质求出、即可；
（2）首先确定的范围，再化简绝对值即可；
（3）根据题意用的代数式表示出、即可解决问题．
【解答】解：（1）最小的正整数是1，
，
，
，，
解得：，，
故答案为：，1，6．
（2）根据图形可得，
原式．
（3）经过秒，点表示的数是，点表示的数是，
，，
则．
故答案为：，，3．
【点评】本题考查非负数的性质、绝对值、数轴等知识，解题的关键是熟练掌握非负数的性质，绝对值的化简，学会用参数表示线段的长，属于中考常考题型．
20．（2021秋•青岛期中）同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了．可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图①是一个直角边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形，则这个正方形的面积也就等于等腰直角三角形的面积即为2，则这个正方形的边长就是，它是一个无理数．
（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（滚动时与点重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是 ，它是一个无理数．
（3）如图，在中，，，，根据已知可求得 ，它是一个无理数．好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你分别在①②图形中作出两个无理数吧：
①你能在的网格图中（每个小正方形边长均为，画出一条长为的线段吗？
②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系，那么你能在数轴上找到表示的
点吗？
【考点】勾股定理；无理数；实数与数轴
【分析】（2）根据数轴上点的特征即可得出答案；
（3）由勾股定理直接计算；
①利用勾股定理构造直角边为1和3的直角三角形；
②利用勾股定理构造直角边为1和2的直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：（2），
数轴上点代表的实数就是，
故答案为：；
（3）由勾股定理得，
故答案为：；
①如图，线段即为所求；
②如图，点即为所求．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴上的点一一对应等知识，利用勾股定理构造直角三角形是解题的关键．
21．（2021秋•长安区期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、，是数轴上的一个动点．
（1）若点在数轴上表示的数是8，则、两点的距离为 3 ，、两点的距离为 ；
（2）若点在点的右侧，且表示的数为，则、两点的距离用代数式表示为 ；、两点的距离用代数式表示为 ；
（3）若点从数轴上处开始移动，第1次从点向右移动2个单位到，第2次从点向左移动4个单位到，第3次从点向右移动6个单位到，第4次从点向左移动8个单位到，依次这样移动，若点表示的数是7．
①点表示的数是多少？
②点表示的数是多少？
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类；数轴
【分析】（1）由数轴直接得出即可；
（2）由数轴直接得出即可；
（3）①按顺序从开始反向移动到，得出即可；
②按①得出的规律：当时奇数时，按此规律计算即可．
【解答】解：（1）由数轴可得，、两点的距离为3，、两点的距离为9，
故答案为：3，9；
（2）点在点的右侧，
，
、两点的距离用代数式表示为，、两点的距离用代数式表示为，
故答案为：，；
（3）①点表示的数是7，从点项右移动10个单位到，
表示的数是，
从点项左移动8个单位到，
表示的数是5，
从点项右移动6个单位到，
表示的数是，
从点项左移动4个单位到，
表示的数是3，
从点项右移动2个单位到，
表示的数是1；
②由①知，表示的数是3，表示的数是5，表示的数是7，，
当为奇数时，点表示的数是，
点表示的数是2023．
【点评】本题主要考查数轴的知识及数字的变化规律，熟练掌握数轴上数字的几何意义是解题的关键．
22．（2021秋•重庆期中）已知，，在数轴上的位置如图所示，求的值．
【考点】数轴；绝对值
【分析】根据点的位置，可得，，的关系，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【解答】解：由数轴上点的位置关系，得
，．
．
【点评】本题考查了整式的加减，利用绝对值的性质化简绝对值是解题关键．
23．（2021秋•西城区校级期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示．
（1）用“”连接：0，，，；
（2）化简代数式：．
【考点】数轴；有理数大小比较；整式的加减
【分析】（1）根据数轴上的数，右边的总大于左边的进行判断即可；
（2）根据绝对值的性质去绝对值进行计算．
【解答】解：（1）如图可得，；
（2）由（1）得：，，，，
．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是比较，，的大小以及绝对值的性质．