山东省临沂市兰山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题纸规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中．
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，利用二次根式的性质及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，故不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选A．
2. 通过实数与数轴内容的学习，我们已经知道了能在数轴上表示出来的数不仅有有理数，还有无理数．于是同学们对如何在数轴上表示无理数进行了探究．如图，长方形的边 的长为3，边的长为1， 在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于点 D，则点 D 表示的实数是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长度即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵， 的长为3，边的长为1，
∴，
∵以原点O为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点 D，
∴，
∴点 D 表示的实数是：，
故选：C．
3. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的顶点的坐标分别是，
∴，
∴顶点D的坐标为．
故选：A．
4. 设，则实数m所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
即，
故选：B．
5. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识，根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可．
【详解】解：A、若，则有，所以，故是直角三角形，该选项不符合题意；
B、 若，所以，
由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意；
C、若，设，，，
则有，
解得，
所以，，，
故是直角三角形，该选项不符合题意；
D、若，设，，，
则有，
解得，
所以，，，
故不是直角三角形，该选项符合题意；
故选：D．
6. 在菱形ABCD中，，，则边上的高为（ ）
A. 4B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的运用菱形的对角线互相垂直平分是解本题的关键．
利用菱形的性质先求解菱形的边长，再利用等面积法求解高即可．
【详解】解：如图，交于点O，
菱形，，，
，
，
，
∴由可得：
∴，
故选B．
7. 下列计算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8. 如图，沿方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从上的一点B取，沿的方向前进，取，测得m，m，并且和在同一平面内，那么公路段的长度为（ ）
A. 180mB. mC. mD. m
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，由已知可求得，，继而根据可求出的长，然后根据勾股定理可求出的长，继而可求出的长．熟练掌握勾股定理以及含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的外角，，，
∴，，
∴，
∴，
∴公路段的长度为，
故选：D．
9. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识，掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A.根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故不符合题意；
B.根据两组对边分别相等能判断该四边形平行四边形，故不符合题意；
C.根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，符合题意；
D.根据图可判断出，，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故不符合题意．
故选：C．
10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中位线可得 ，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可．
【详解】∵点分别是的中点,
,
∵,
∴四边形是平行四边形，
，
，
的最小值就是的最小值，
找到点关于直线对称点，连接

当点三点共线时，的最小值就是,
在中, ，
∴，
∴的最小值
故选: B．
【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷分填空题和解答题．
2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内，在试卷上答题不得分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故答案为：．
12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理等知识点．三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积，求算术平方根可得边长．
【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，另一条直角边的平方，
由勾股定理可知：斜的平方，即A所代表的正方形的面积为32．
∴A所代表的正方形的边长为．
故答案为：．
13. 最简二次根式与是可以合并的二次根式，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；掌握相关定义是解题关键．根据同类二次根式的定义计算求值即可；
【详解】解：∵，
根据题意得：，
解得，
故答案为：2．
14. 在菱形ABCD中，，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键．
由菱形中，，易证得是等边三角形，再由菱形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，B的位置可以表示成，则A与B的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点B的位置可以表示成，进而得到和中心点连线的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：A的位置可以表示成，点B的位置可以表示成，
∴和中心点连线的夹角为（度），
∴，
故答案为：．
16. 在矩形中，，，点是线段一动点，若将沿折叠，使点落在点处，连结，若三点在同一条直线上，则_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，矩形性质中折叠问题，全等三角形性质及判定．根据题意分情况讨论，由勾股定理可以求出的长，设，在直角三角形中，有勾股定理列方程即可，另一种情况先证明，再利用勾股定理即可．
【详解】解：根据题意分情况讨论：
①当点在线段上时，
，
根据折叠性质：，，，
在中，，
设，则，
在中，，解得：，
②当点在线段的延长线上时，
，
根据折叠性质：，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
综上： 的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序以及化简法则．
（1）先化简二次根式，再去括号，合并计算即可；
（2）先算乘除法，再化简，最后合并．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，36
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的乘法计算，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19. 如图，是的一个外角，，.

（1）尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形是平行四边形.
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先利用得到，再根据角平分线的定义得到，则利用三角形外角性质可判断，所以，然后利用可判断四边形是平行四边形．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：，
，
平分，
，
，
即，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
20. 4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01）

【答案】火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，先在中，求出的长，再在中求出的长，利用求出的长即可．
【详解】解：在中，，

∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴
答：火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km．
21. 人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为、、，记，那么这个三角形的面积为 ，如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）设边上的高为，边上的高为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了“海伦—秦九韶公式”；
（1）将，，代入公式计算，即可求解；
（2）由三角形面积公式即可求解；
理解公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：，，，
∴
=
，
∴
；
∴的面积为；
【小问2详解】
解：由(1)知，的面积为；
，
，
，，
∴
．
22. 如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．

（1）证明：；
（2）连接、，证明：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明；
（2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．
【小问1详解】
证明：如图所示，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中
，
∴；
【小问2详解】
∵
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．

【猜想】．
【验证】请将下列证明过程补充完整：
矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
∴______=______，
∴．
【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
【答案】【验证】；；；【应用】（1），理由见解析；（2）
【解析】
【分析】【验证】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解；
【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解；（2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：验证：矩形纸片沿所在的直线折叠，
，
四边形是矩形，
（矩形的对边平行），
（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），
（等角对等边）．
故答案为：；；；
应用：（1）；
理由如下：
由四边形折叠得到四边形，
，
四边形是矩形，
（矩形的对边平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等角对等边），
，
，即；
（2）∵矩形ABCD沿MC所在直线折叠，
∴，，，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，即，解得，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键．
24. 如图，和都是等腰直角三角形，的顶点D在的斜边上，，连接．
（1）求证：；
（2）若时，求的长；
（3）点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）存在，8
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质利用证明全等即可；
（2）根据全等三角形性质证出，求出，再在直角三角形中解出即可；
（3）当最小时，有的值最小，根据等腰直角三角形性质求出结论即可；
【小问1详解】
证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，．
∴．
即，
∴．
【小问2详解】
在中，∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴在中，．
小问3详解】
由（2）可知．
∴当最小时，有的值最小，此时．
∵为等腰直角三角形，
∴．
∴，即的最小值为8．