山东省临沂市莒南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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第I卷 选择题共30分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 使有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零即可．
【详解】解：若有意义，
则，
解得，
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. ＝B. ﹣＝C. ×＝6D. ÷＝4
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式运算法则运算及即可．
【详解】解：A、不能合并，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，能熟练运算是解题关键．
3. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，符合题意；
D、是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
4. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. B. ∠A＝∠B+∠C
C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5D. a＝6，b＝8，c＝10
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，
∴∠A=90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠C=5×15°=75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
5. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ）
A. 0.6kmB. 1.2kmC. 1.5kmD. 2.4km
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．
【详解】解：，
，
为的中点，
，
，
，
故选：．
【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．
6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
7. 如图，的周长为，相交于点O，交于E，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出，根据线段垂直平分线得出，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质的应用，关键是求出，主要培养运用性质进行推理的能力，
8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．
【详解】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
9. 如图，过对角线的交点，交于点，交于点，则：
①；
②图中共有4对全等三角形；
③若，，则；
④；
其中正确的结论有（ ）
A. ①④B. ①②④C. ①③④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴；
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形性质与判定，三角形三边关系，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10. 如图，D是内部一点，，且，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（ ）
A. 12B. C. 24D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解：点分别是，的中点，且，
，
同理可得：，，
，
四边形平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
则四边形的面积是，
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题共90分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知是整数，则正整数的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据是整数，即可求解．
【详解】∵，
∵是整数，
∴是一个平方数，
∴正整数的最小值为：，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，理解“被开方数是平方数，那么二次根式的值为整数”是解题的关键．
12. 已知，化简：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：，
=，
∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值，解题关键是明确，能熟练化简绝对值．
13. 化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.
【答案】5
【解析】
【分析】本题先将化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．
【详解】，其中被开方数为6；的被开方数为 ，
故有：，则．
故答案为：5．
【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．
14. 如图，已知O是□ABCD对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________．
【答案】45mm
【解析】
【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，
所以△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45mm．
故答案为：45mm．
15. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田的面积有多少？请帮他算一算，该田的面积为___________平方步．
【答案】480
【解析】
【分析】根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式即可解答．
【详解】解：设该矩形的宽为x步，则对角线为步，
由勾股定理，得，解得，
故该矩形的面积为（平方步）．
故答案是：480．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，利用方程思想求得矩形的宽是解答本题的关键．
16. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
，
作，交于点，如图所示，

，
，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】（1）先化简成最简二次根式，再根据二次根式加减法法则计算即可；
（2）先利用完全平方公式展开，再根据二次根式混合运算法则计算即可得答案．
【详解】（1）
=4
=；
（2）．
=84+1+
=94+
=9．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18. 如图，在四边形中，，E，F，M分别是，，的中点，连接，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】此题主要考查三角形的线段证明，解题的关键是熟知三角形中位线与直角三角形斜边上的中线性质．
【详解】证明：，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，M是的中点，
．，
．
19. 如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
先由得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20. 如图，是菱形的对角线，，F是上一点，且垂直平分，垂足为E，连接，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】由垂直平分线可得，由菱形的性质可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：为的垂直平分线，，
∴，
四边形是菱形，
∴，
∴，
∴的度数为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握垂直平分线的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键．
21. 已知：和都是等腰直角三角形，，点在的延长线上．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据边角边证明，然后根据全等三角形的性质得出，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】和都是等腰直角三角形，
，，，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据全等三角形的判定与性质得出是解本题的关键．
22. △ABC如图所示．
（1）利用尺规作图法作▱ABCD（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）所作的▱ABCD中，连接BD．若∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝8，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】（1）分别以A，C为圆心，BC，AB为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD即可；
（2）在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求；
理由：∵ ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形ABCD即为所求；
（2）设AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝8，
∴AO＝OC＝4，OB＝OD，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，
∴ ，
∴BD＝2OB＝10．
【点睛】本题考查作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是利用勾股定理求出OB，再利用平行四边形的性质求出BD．
23. 【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，求的最小值，并求出此时a的值；
【应用意识】
（2）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边AB需要用栅栏围上，求栅栏AB的最小值．
【答案】（1）最小值为4，；（2）
【解析】
【分析】（1）仿照材料中的例子，可求得；
（2）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边AB的式子，求最小值；
本题考查了二次根式的运算，关键是掌握三角形面积公式和勾股定理．
【详解】解：（1）当时，
当且仅当即时，取得最小值，最小值为4．
（2）设，则，则
当且仅当即时，取得最小值，最小值为80．
24. 实践探究

如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，若得到一个正方形，剪口与折痕应成______度的角．
知识应用
(1)小明按照以上方法剪出两个边长为的全等正方形，如图②所示摆放，则四边形的面积为______．
(2)小明发现，正方形 在绕点转动的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形面积之间存在一定的数量关系，如图③写出该数量关系，并予以证明．
拓展延伸
小明剪了两个大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，且．如图④放置，其中点是的中点，点在的延长线上，，当点是的中点，时．请直接写出两个等腰直角三角形重叠部分的面积．
【答案】实践探究：；知识应用：（1）；（2）两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的；拓展延伸：
【解析】
【分析】实践探究：根据展开后的图形是正方形得出结论即可；
知识应用：（1）根据点是正方形的中心点得出结论即可；
（2）作于点，作于，证，即可得出结论；
拓展应用：设与交于点，连接，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得出的长，证，得出是的中点，根据勾股定理求出及的长度，证，然后求出的面积即可．
【详解】解：实践探究：由题意知，折痕为正方形的对角线，则剪口与折痕成角，
故答案为：；
知识应用：（1）由图知，点是正方形的中心点，四边形是边长为的正方形，
∴四边形的面积为 ，
故答案为：；
（2）两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的，证明如下：
作于点，作于，

由(1)知，四边形OMBN是正方形，
∴OM=O，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
阴影部分的面积等于正方形的面积，是正方形面积的，
即两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的；
拓展延伸：
设与交于点，连接，过点作于点，

在和中，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，是的中点，
和是等腰直角三角形，
在中，，
即
解得，舍去负值，
，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
两个等腰直角三角形重叠部分的面积的面积，
即两个等腰直角三角形重叠部分的面积．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
（1）作的垂直平分线交于点O；

（2）连接，在的延长线上截取；

（3）连接，，则四边形即所求．