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山东省临沂市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山东省临沂市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省临沂市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省临沂市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试范围：（16章-18章）．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A. x≥2B. x≤2
C. x＞2D. x＜2
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 菱形的四个内角都是直角B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角D. 平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，不最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B选项符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2m，则树高为（ ）米
A. B. C. +1D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则BC=
∴BC+AC=
∴树高为米
故选C．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6. 如图，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，那么的长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：点，分别是边，的中点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若和S分别代表相应正方形的面积，且，则（ ）
A. 25B. 31C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据个勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，由勾股定理得，
∴，
故选：B．
8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形D. 对角线相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．
【详解】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
10. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．有下列结论：①；②是直角三角形；③．其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设正三角形的边长为a，分别求出BC、AC和AB的长，即可判断出① 、②正确，③错误．
【详解】解：过A作AF⊥DM于E，过B作BF⊥CN交CN延长线于F，如图，
设正三角形的边长为a，则DE=，
∵AD=a，
∴，
∴BE=BM+ME=，
在Rt△ABE中，，
同理可得，NF=，BF=，
在Rt△BCF中，
又AC=2a，
∵
∴
∴△ABC是直角三角形；
∵AC≠BC，
∴∠CAB≠∠ABC=45°；
所以，正确的结论是①②；错误的是③，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
12. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG,则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△AED≌△GED得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，进而有∠AED=∠AFE=67.5°，从而证AE=EG=GF=FA，得四边形AEGF是菱形，于是判断①正确，进而∠AFG=67.5°×2=135°，从而判断③错误．在等腰直角三角形EGB中，求得AE=AB-BE=1-(2-)=-1，于是AH=AE=-1，即可得△HED的面积，判断②正确，由①的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°得CD=CF，进而得AC= ，判断④正确，从而即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，
∴△AED≌△GED，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，①正确，
∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．
根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，
在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，
所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ,②正确；
由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．
综上，正确的结论为①②④．
故选B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
13. 若一个三角形的一边长为a，这条边上的高为6，其面积与一个边长为3的正方形的面积相等，则a＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据这个三角形和正方形的面积相等列出方程求解即可．
【详解】由题意可得：，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形和正方形的面积，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握三角形和正方形的面积公式，二次根式的运算．
14. 若＝2.5，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．
【详解】设=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，
∵−=2.5，
a-=，
a−＝，
两边同时平方得：(a−)2＝a2−16，
解得：a=，
则，
=+，
=+，
=+，
=+，
=，
故答案为．
【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．
15. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
【答案】（）
【解析】
【分析】由含30度角的直角三角形的性质得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】在Rt△ABC中，AB=2BC=4（米），
AC=（米），
∴AC+BC=米，
∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；
故答案为：（）．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质；由含30度角的直角三角形的性质求出AC是解决问题的关键．
16. 如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________．
【答案】45mm
【解析】
【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，
所以△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45mm．
故答案为：45mm．
17. 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____
【答案】22.5 °
【解析】
【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用．
18. 在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】根据折叠的性质可知，CD和EF互相垂直且平分，即可得到结论．
【详解】解：连接DF、DE，DC、EF相交于点O，
根据折叠的性质得，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF，
∴四边形DECF是菱形．
菱形DECF因条件不足，无法证明是正方形．
故答案为：①③
【点睛】本题考查了菱形的判定以及折叠的性质，灵活运用即可．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答过程写在答题卡上）
19. +（+2）（2﹣）．
【答案】0
【解析】
【分析】利用二次根式的乘除法则和平方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：原式＝+4﹣6
＝2﹣2
＝0
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，平方差公式的运用，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解决本题的关键．
20. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．
21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是l，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）画出一个菱形，使其面积为4．
（3）画出一个正方形，使其面积为5．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）平行四边形面积为6，则可以为底边长为3，高为2，具体图形如下；
（2）菱形面积为4，则对角线长度为2和4，据此可画出菱形；
（3）要使正方形面积为5，则正方形的边长为．
【详解】（1）图形如下：
（2）图形如下：
（3）图形如下：
【点睛】本题考查根据条件绘制四边形，注意在绘制前，需要根据四边形的特点，适当进行分析，以辅助完成绘图．
22. 已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，
∴；
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为E、F；
（1）连结AE、CF，得四边形AFCE，试判断四边形AFCE是下列图形中哪一种？
①平行四边形；②菱形；③矩形；
（2）请证明你的结论；
【答案】(1)平行四边形(2)证明见解析.
【解析】
【分析】易证△ABF≌ △CDE，再利用对边平行且相等得出四边形AFCE为平行四边形．
【详解】解：（1）平行四边形；
（2）证明：平行四边形ABCD中，
AO=CO,
∵AF⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∠AOF=∠COE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴AF=CE
∵AF∥CE
∴四边形AFCE为平行四边形．
24. 如图所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）BC= cm；
（2）求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）12；（2）13cm；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得：，从而可得答案；
（2）画出符合题意的图形，利用垂直平分线的性质得到：， 再利用勾股定理求解时间， 从而可得答案；
（3）分三种情况讨论，当 证明， 可得此时的时间，当， 结合已知条件求解时间即可，当时，过B点作BE⊥AC于点E，利用等面积法求解， 再利用勾股定理求解，利用等腰三角形的三线合一可得的长度，从而可得此时的时间， 从而可解答此问.
【详解】解：（1）∵∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm
∴BC===12（cm）．
故答案为：12；
（2）如图，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC=PA=t，PB=16-t，
在中，，
即
解得：t=．
此时，点Q在边AC上，CQ=2×−12＝13（cm）；
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11秒．
②当CQ=BC时，如图2所示，
则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12秒．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
由
∴BE＝＝＝，
∴CE＝=．
∴CQ=2CE=
∴BC+CQ=
∴t=秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，同时考查了等腰三角形中的分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键.
25. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
（1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）；
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
（2）如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；
（3）如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．
①在图2中，求证：平分；
②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）④ （2）见解析
（3）①见解析，②BC+CD=AC
【解析】
【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断；
（2）连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD，结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证；
（3）①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证；
②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS“可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定埋可求CE=AC，即可求解．
【小问1详解】
解：根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形；
故答案为：④；
【小问2详解】
证明：如图，连接BD，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=60°=∠A，
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE=DF，∠AED=∠BFD，
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠BFD+∠DEB=180°，
∴四边形DEBF是完美四边形．
【小问3详解】
①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠D，
又∵AB=AD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠E，AC=AE，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCB；
②BC+CD=AC，理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AD=AB，BE=CD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴，
∴CD+BC=AC．
【点睛】本题考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，是四边形综合题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
5．考试范围：（16章-18章）．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A. x≥2B. x≤2
C. x＞2D. x＜2
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 菱形的四个内角都是直角B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角D. 平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、，不最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B选项符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2m，则树高为（ ）米
A. B. C. +1D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则BC=
∴BC+AC=
∴树高为米
故选C．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6. 如图，在中，，，，点D，E分别是边，的中点，那么的长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：点，分别是边，的中点，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若和S分别代表相应正方形的面积，且，则（ ）
A. 25B. 31C. 32D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据个勾股定理求出，则．
【详解】解：如图所示，由勾股定理得，
∴，
故选：B．
8. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A. 菱形B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形D. 对角线相等的四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
9. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出．
【详解】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b＝12；
∴a＝16﹣12＝4，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b13，
∴此时a＝3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
10. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．有下列结论：①；②是直角三角形；③．其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设正三角形的边长为a，分别求出BC、AC和AB的长，即可判断出① 、②正确，③错误．
【详解】解：过A作AF⊥DM于E，过B作BF⊥CN交CN延长线于F，如图，
设正三角形的边长为a，则DE=，
∵AD=a，
∴，
∴BE=BM+ME=，
在Rt△ABE中，，
同理可得，NF=，BF=，
在Rt△BCF中，
又AC=2a，
∵
∴
∴△ABC是直角三角形；
∵AC≠BC，
∴∠CAB≠∠ABC=45°；
所以，正确的结论是①②；错误的是③，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了正三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
易知的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选：C．
12. 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG,则下列结论：
①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③；④BC+FG=．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】先证明△AED≌△GED得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，进而有∠AED=∠AFE=67.5°，从而证AE=EG=GF=FA，得四边形AEGF是菱形，于是判断①正确，进而∠AFG=67.5°×2=135°，从而判断③错误．在等腰直角三角形EGB中，求得AE=AB-BE=1-(2-)=-1，于是AH=AE=-1，即可得△HED的面积，判断②正确，由①的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°得CD=CF，进而得AC= ，判断④正确，从而即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，
∴△AED≌△GED，
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF，同理EG=GF，
∴AE=EG=GF=FA，
∴四边形AEGF是菱形，①正确，
∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．
根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，
在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，
所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ,②正确；
由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．
综上，正确的结论为①②④．
故选B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题，共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
13. 若一个三角形的一边长为a，这条边上的高为6，其面积与一个边长为3的正方形的面积相等，则a＝________．
【答案】
【解析】
【分析】根据这个三角形和正方形的面积相等列出方程求解即可．
【详解】由题意可得：，
∴，解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形和正方形的面积，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握三角形和正方形的面积公式，二次根式的运算．
14. 若＝2.5，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．
【详解】设=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，
∵−=2.5，
a-=，
a−＝，
两边同时平方得：(a−)2＝a2−16，
解得：a=，
则，
=+，
=+，
=+，
=+，
=，
故答案为．
【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．
15. 一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ（θ=30°）．要在楼梯上铺一条地毯，已知BC=2m，楼梯宽1cm，则地毯的面积至少需要_____________平方米．
【答案】（）
【解析】
【分析】由含30度角的直角三角形的性质得到AC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【详解】在Rt△ABC中，AB=2BC=4（米），
AC=（米），
∴AC+BC=米，
∴地毯的面积至少需要1×（）=（）（米2）；
故答案为：（）．
【点睛】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质；由含30度角的直角三角形的性质求出AC是解决问题的关键．
16. 如图，已知O是□ABCD的对角线交点，AC = 38mm，BD = 24mm，AD = 14mm，那么△OBC的周长等于__________．
【答案】45mm
【解析】
【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC=AC=19，OB=OD=BD=12，AD=BC=14，
所以△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45mm．
故答案为：45mm．
17. 如图，E是正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E=_____
【答案】22.5 °
【解析】
【分析】由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知了顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数．
【详解】解：正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=∠135°，
又∵CE=AC，
∴∠E==22.5°．
故答案为：22.5°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形两底角相等的应用，以及正方形中边角性质的应用．
18. 在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D，E，F．折叠方法如下：如图2，（1）AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；（2）C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．则下列结论：①四边形DECF一定是矩形，②四边形DECF一定是菱形，③四边形DECF一定是正方形．其中错误的是__________（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】根据折叠的性质可知，CD和EF互相垂直且平分，即可得到结论．
【详解】解：连接DF、DE，DC、EF相交于点O，
根据折叠的性质得，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF，
∴四边形DECF是菱形．
菱形DECF因条件不足，无法证明是正方形．
故答案为：①③
【点睛】本题考查了菱形的判定以及折叠的性质，灵活运用即可．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答过程写在答题卡上）
19. +（+2）（2﹣）．
【答案】0
【解析】
【分析】利用二次根式的乘除法则和平方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：原式＝+4﹣6
＝2﹣2
＝0
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，平方差公式的运用，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解决本题的关键．
20. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据x的值，可以求得，将所求值代入原式即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算方法及乘法公式是解题的关键．
21. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是l，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）画出一个菱形，使其面积为4．
（3）画出一个正方形，使其面积为5．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）平行四边形面积为6，则可以为底边长为3，高为2，具体图形如下；
（2）菱形面积为4，则对角线长度为2和4，据此可画出菱形；
（3）要使正方形面积为5，则正方形的边长为．
【详解】（1）图形如下：
（2）图形如下：
（3）图形如下：
【点睛】本题考查根据条件绘制四边形，注意在绘制前，需要根据四边形的特点，适当进行分析，以辅助完成绘图．
22. 已知满足．
（1）有意义，的取值范围是 ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得
（2）根据（1）的分析，求的值．
【答案】（1）；；（2）2020
【解析】
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a的取值范围；根据a的取值范围，结合绝对值的意义，即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出，然后求出答案即可.
【详解】解：（1）∵有意义，
∴，
∴；
∴，
∴；
故答案为：；；
（2）由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为E、F；
（1）连结AE、CF，得四边形AFCE，试判断四边形AFCE是下列图形中哪一种？
①平行四边形；②菱形；③矩形；
（2）请证明你的结论；
【答案】(1)平行四边形(2)证明见解析.
【解析】
【分析】易证△ABF≌ △CDE，再利用对边平行且相等得出四边形AFCE为平行四边形．
【详解】解：（1）平行四边形；
（2）证明：平行四边形ABCD中，
AO=CO,
∵AF⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∠AOF=∠COE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴AF=CE
∵AF∥CE
∴四边形AFCE为平行四边形．
24. 如图所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）BC= cm；
（2）求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值；
（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）12；（2）13cm；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得：，从而可得答案；
（2）画出符合题意的图形，利用垂直平分线的性质得到：， 再利用勾股定理求解时间， 从而可得答案；
（3）分三种情况讨论，当 证明， 可得此时的时间，当， 结合已知条件求解时间即可，当时，过B点作BE⊥AC于点E，利用等面积法求解， 再利用勾股定理求解，利用等腰三角形的三线合一可得的长度，从而可得此时的时间， 从而可解答此问.
【详解】解：（1）∵∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm
∴BC===12（cm）．
故答案为：12；
（2）如图，
∵点P在边AC的垂直平分线上，
∴PC=PA=t，PB=16-t，
在中，，
即
解得：t=．
此时，点Q在边AC上，CQ=2×−12＝13（cm）；
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10，
∴BC+CQ=22，
∴t=22÷2=11秒．
②当CQ=BC时，如图2所示，
则BC+CQ=24，
∴t=24÷2=12秒．
③当BC=BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
由
∴BE＝＝＝，
∴CE＝=．
∴CQ=2CE=
∴BC+CQ=
∴t=秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，同时考查了等腰三角形中的分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键.
25. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
（1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）；
①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形
（2）如图1，菱形中，，，分别是，上的点，且，求证：四边形是完美四边形；
（3）如图2和如图3中，四边形均为完美四边形，，，连接．
①在图2中，求证：平分；
②在图3中，当时，直接用等式写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）④ （2）见解析
（3）①见解析，②BC+CD=AC
【解析】
【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断；
（2）连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD，结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证；
（3）①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证；
②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS“可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定埋可求CE=AC，即可求解．
【小问1详解】
解：根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形；
故答案为：④；
【小问2详解】
证明：如图，连接BD，
∵菱形ABCD，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，
∴AD=BD
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=60°=∠A，
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE=DF，∠AED=∠BFD，
∵∠AED+∠DEB=180°，
∴∠BFD+∠DEB=180°，
∴四边形DEBF是完美四边形．
【小问3详解】
①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠D，
又∵AB=AD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠E，AC=AE，
∴∠ACE=∠E，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCB；
②BC+CD=AC，理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
又∵AD=AB，BE=CD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，
∴∠CAE=∠DAB=90°，
∴，
∴CD+BC=AC．
【点睛】本题考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，是四边形综合题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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