2024年山东省淄博市周村区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上．
3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑．
4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分．
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】轴对称图形的概念是：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形的概念是：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，解题的关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．
2. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和在数轴上表示不等式的解集，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故选：C．
3. 如图，一副三角板拼成如图所示的图形，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
4. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则点M为线段的中点
C. 若，则
D. 若点A，B，C不在同一直线上，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了判断命题的真假，涉及解一元一次方程、绝对值的意义、两点之间线段最短以及线段中点的判断：符合线段中点的条件：①在已知线段上，②把已知线段分成两条相等线段的点．根据相关知识进行判断解答即可．
【详解】解：若，则，故A错误，是假命题，不符合题意；
若，则点不一定为线段的中点，故B错误，是假命题，不符合题意．
若，则或，故C错误，是假命题，不符合题意；
若点，，不在同一条直线上，则，故D正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图所示，该几何体的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，结合俯视图是从上面往下面看到的，据此即可作答．
【详解】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ，
即是俯视图为，
故选：B
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. 4B. C. D. －4
【答案】B
【解析】
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于n的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
∴，
解得，
故选：B．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. 如图，在中，，，，点D在上，且满足，是的中线，与交于点F，则的面积是（ ）

A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，，根据等腰三角形的性质可得，则，过点F作于H，交于G，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，，
∵，是的中线，
∴，
∴，
∴，
过点F作于H，交于G，

∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
8. 如图，正比例函数的图象与矩形有公共点，，，轴，且点A的坐标为，则k的值可能是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得点的坐标，求得直线过点时的的值和过点时的的值，结合图象即可求解．本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得直线过点时的的值和过点时的的值是解题的关键．
【详解】解：点的坐标为，，，轴
，
把点的坐标代入得，
把点的坐标代入得，
正比例函数的图象与矩形有公共点，则，
故选：D．
9. 如图，在扇形中，，点C在弧上，连接，过C作的垂线交于点D，若，，则的半径为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，于，判定四边形是矩形，推出，，由余角的性质推出，而，推出，得到，令，，由勾股定理求出，由勾股定理得到，求出，得到．本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，关键是由，推出，由勾股定理得到．
【详解】解：过作于，于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
∴，
，
令，，
，
，
，
，
，
（舍去负值），
，
的半径为．
故选：A．
10. 如图1，动点P从点A出发，在边长为1的小正方形组成的网格平面内运动．设点P经过的路程为s，点P到直线l的距离为d，已知d与s的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P的运动路线的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象分析点P与直线l的距离，由此得到答案．
【详解】解：由图象得，
当时，点P与直线l的距离始终是1，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，四个图均符合；
当时，点P与直线l的距离由1增加到3，且是匀速运动，即点P距直线l为3个单位长度，图B不符合；
当时，点P与直线l的距离始终是3，即点P沿着平行于直线l的线段运动1个单位长度，图A，C，D均符合；
当时，点P与直线l的距离由3减小为2，即点P距直线l为2个单位长度，图C符合；
故选：C．
【点睛】此题考查了识别函数图象，正确理解理解函数图象并得到相应的信息是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11. 若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法运算以及数轴，根据点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，得点B在数轴上表示的数是，计算即可作答．
【详解】解：∵点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，
∴，
则点B表示的数是，
故答案为：．
12. 计算的结果是________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
13. 如图，中，平分，交于点．若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】因为，可得，由相似三角形对应边对应成比例即可求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，，，
设，则，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据平行线，角平分线的关系找出线段，，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
14. 如图，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为416，则这段“斐波那契螺旋线”的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】设最小的两个正方形的边长为，则最大的矩形的长为，宽为，根据题意列方程得到最小正方形的边长，然后根据弧长公式即可得到结论．本题考查了弧长的计算，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设最小的两个正方形的边长为，
如图：
∵每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”
∴
∴
则最大的矩形的长为，宽为，
根据题意得，，
解得（负值舍去），
这段“斐波那契螺旋线”的长度为，
故答案为：．
15. 如图，线段与相交于点E，保持，已知，，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，过点作交于，过点作于，连接，则四边形为平行四边形，从而得，，，在中分别求出，，则，由此可求出，然后根据可得出的最小值．此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确地作出辅助线构造平行四边形和直角三角形，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，过点作交于，过点作于，连接，如下图所示：
，，，
四边形平行四边形，
，，
又，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
即，
的最小值为，
的最小值是．
故答案为：．
三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算与整式的运算：
（1）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（2）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算即可
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
.
17. 已知．
（1）化简P；
（2）当a满足不等式组，且a为整数时，求P的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简求值，解一元一次不等式组．
1）根据分式的加法法则、乘法法则化简P；
（2）解不等式组求出a的范围，进而确定a的值，代入计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：解不等式组，得，其中整数为2，
∴．
18. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解决下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度；
（2）本次调查所得数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）统计图见解答，72
（2）1，2 （3）
【解析】
【分析】（1）根据读3部的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，总人数减去其他3部的人数求得2部的人数，可以将条形统计图补充完整，根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角的度数；
（2）根据（1）中所求数据，然后即可得到众数和中位数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到相应的概率．
【小问1详解】
解：本次调查的人数为：（人，
读2部的学生有：（人，
扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：72；
补全的条形统计图如右图所示：
【小问2详解】
故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（部，
故答案为：1，2；
【小问3详解】
《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母、、、表示，
树状图如图所示：

一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，
故他们恰好选中同一名著的概率是，
即他们恰好选中同一名著的概率是．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？
【答案】（1）每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元
（2）要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用．
（1）设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元，根据题意列方程并求解即可；
（2）设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副，根据题意列关于a的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为W元，写出W关于a的函数，根据该函数的增减性，确定当a取何值时W取最小值，求出最小值即可．
【小问1详解】
解：设每副乒乓球拍的价格是x元，则每副羽毛球拍的价格是元．根据题意，得
，
解得，
经检验，是所列分式方程的根，
（元），
∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元．
【小问2详解】
解：设购买乒乓球拍a副，则购买羽毛球拍副．根据题意，得：
，
解得，
设花费的资金总额为W元，则，
∵，
∴W随a增大而减小，
∵且x为整数，
∴当时，W取最小值，，
∴要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元．
20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，．
（1）求k的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）直线与y轴的交点为C，若P为x轴上的一点，当的面积为3时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或．
（3）或．
【解析】
【分析】（1）依据题意，由两函数图象相交于点，从而，求出后可得的坐标，再代入反比例函数，即可得解；
（2）依据题意，在函数上，从而可得坐标，再由不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，从而可以判断得解；
（3）依据题意，令，可得直线与轴的交点，再令，可得，又设，再结合，，可得，进而求出，即可得解．本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
【小问1详解】
解：．
．
．
又在反比例函数上，
．
【小问2详解】
解：由题意，在函数上，
．
．
由图象可得不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的取值范围，
又，，
或．
【小问3详解】
解：由题意，令，
．
直线交轴于点．
对于函数，令，
．
．
设，
又，，
．
．
或．
或．
21. 如图，是的直径，点C在上，过点C作交于点E，交于点D，连接交于点G，连接，设（m为常数）．
（1）求证：；
（2）设，．求证：；
（3）求的值（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）连接．根据圆周角定理得到，由，得到，即可得出结论；
（2）设，相交于点，连接．由（1）可知，得到，再根据．推出，由即可得出结论；
（3）证明，得到，解直角三角形得到，代入计算即可得出结果．
【小问1详解】
证明：是的直径．
如图，连接．
，
又，即，
，
，
，，
；
【小问2详解】
证明：如图，设，相交于点，连接．
由（1）可知，
，即．
又．
，
又，
．
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，即．
又，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 有公共顶点A的两个正方形与，连接，点M是的中点，连接交于点N．
（1）如图1，当点E，G分别在边上时，直接写出线段与之间的数量关系和位置关系：
（2）如图2，将正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由：
（3）如图3，将正方形绕点A顺时针旋转，当点E在边的延长线上、点G在边上时，连接与相交于点H，
①求的度数；
②连接交于点I，请直接写出的值．
【答案】（1），．
（2），，理由见详解
（3）①②
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）延长至点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，结合角的等量代换，则可得出答案．
（3）①过点C作交于一点M，连接，证明四边形是平行四边形，再推出，再进行角的等量代换得出，得出是等腰直角三角形，即可作答．
②连接交于点I，连接，根据同弧所对的圆周角是相等是，得出点四点共圆，结合圆内接四边形对角互补，得出，因为是等腰直角三角形，，即可作答．
【小问1详解】
解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，，
，
，
在中，是的中点，
，
．
，
，
又，
，
，
即；
故答案为：，．
【小问2详解】
解：仍然成立，
证明如下：延长至点，使得，连接，
是的中点，
，
又，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
∴
即
∴，
四边形和四边形是正方形，
，，，
∵，
，
则
，
，
∵
∴
即
即．
故线段与之间的数量关系是．线段与之间的位置关系是．
【小问3详解】
解：①如图：过点C作交于一点M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴四边形平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②连接交于点I，连接，如图
∵，
∴点四点共圆，
∴
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，在直线下方的抛物线上有一动点P．连接，求的面积最大值与此时点P的横坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）．随着点M的运动，判断点N的坐标是否可求？如能，直接写出点N的坐标、如不能，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据顶点为设抛物线的解析式为，再代入，求出，再整理解析式，即可作答．
（2）运用待定系数法求直线的解析式为，设，，构建面积的二次函数，得出，结合二次函数的性质，即可作答．
（3）先根据题意补全图形，再结合旋转性质以及角的等量代换，得证，运用待定系数法求直线的解析式为，再与构建方程，运用因式分解法，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的解析式为，
∵与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点，
∴把代入，
得出，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：过点P作轴交于点H，如图
设直线的解析式为，
把，代入，
得出，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P在抛物线上，
∴设，
∵点H在直线上
∴
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴有最大值，
当时，则（最大值），
此时点P的横坐标为；
【小问3详解】
解：能求出点N的坐标，过程如下：
设点N的坐标为
依题意，点M是抛物线对称轴上的一个动点，且在点C的上方，将点C绕点M逆时针旋转得到对应点H，直线交抛物线于点N（点N与点D不重合）
则过点M作轴的平行线，交轴于一点Q，过点H作轴的平行线交直线于一点F，如图：
∴，，
则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点H的坐标为，
即，
设直线的解析式为
∵，
∴把，代入，
得
解得
∴直线的解析式为，
依题意，得出，
即，
∴，
解得（舍去，因为点N不与点D重合），
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，面积问题、求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．