2024年山东省烟台招远市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2024年初中学业水平适应性考试数学试题
一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 的算术平方根是（ ）
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
2. 榫卯是我国古代建筑、家具广泛应用的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图1所示就是一组榫卯构件．若将②号构件按图2所示方式摆放，则该构件的主视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 计算的结果为（ ）
A B. C. D.
4. 若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 在圆中，平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧
B. 顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形，则该四边形是矩形
C. 位似图形一定是相似图形
D. 点C为线段的黄金分割点，若，则
7. 如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将边长为正六边形铁丝框（面积记为），变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为），则的值为（ ）

A B. C. 1D.
9. 规定：两个函数，的图像关于y轴对称， 则称这两个函数互为“Y函数”﹒例如，函数与的图像关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”﹒若函数的“Y函数”图像与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 （ ）
A. B.
C. D.
10. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b之间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ）
A. B. 15C. 18D. 20
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 因式分解：________．
12. 如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为________．
13. 若，则关于x的方程的解的取值范围是________．
14. 如图，现将四根木条钉成的矩形框变形为平行四边形木框，且与相交于边的中点E，若，，则原矩形和平行四边形重叠部分的面积是________．
15. 在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是_____．
16. 如图，在正方形中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、．若是等腰三角形，则________．
三．解答题（本大题共8个小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答．）
17. 化简并计算：，当时，求出该代数式的值．
18. 我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
19. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．（不写作法，保留痕迹）
（1）图1中，在上画一点D，使；
（2）图2中，点P、M为格点，在上画一点E，使得最小，并直接写出的值．
20. 夏季来临，金都百货准备购进甲、乙两种空调．已知甲种空调每台进价比乙种空调多500元，用20000元购进甲种空调的数量与用15000元购进乙种空调的数量相同．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台的进价；
（2）若甲种空调每台售价2600元，乙种空调每台售价1900元，商场欲同时购进两种空调20台，且全部售出，请写出所获利润y（元）与甲种空调x（台）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若商场计划用不超过37500元购进空调，且甲种空调至少购进10台，请问：甲乙两种空调各购进多少台时，所获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
21. 如图①，在中，.求作菱形，使点D在边上，点E、F在边上，点G在边上．小明的作法如下：
1.如图②，在边上取一点D，过点D作交于点G．
2.以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E．
3.在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．

请结合小明的作法，解决以下问题：
（1）证明小明所作的四边形是菱形．
（2）若小明所作的四边形恰好是正方形，你能求出线段的长吗？
22. 某挖掘机的底座高米，动臂米，米，与的固定夹角．初始位置如图1，其示意图为图2，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线垂直地面于点E，测得；工作时如图3，其示意图为图4，动臂会绕点B转动，当点A、B、C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角的度数；
（2）斗杆顶点D的最高点的位置距地面多少米？（精确到米）（参考数据：）
23. 【初步发现】
如图，的内切圆与斜边相切于点D，与、相切于点E、F，，，求的面积．
解：设线段的长为x，
根据切线长定理，得，，，
在中，根据勾股定理，得，
整理，得，
所以
请同学们想一想，，的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？
【深入探索】
已知：如图，的内切圆与相切于点D，与、相切于点E、F，，．
（1）若，求证：的面积等于；
（2）若，求证：．
拓展延伸】
（3）已知：的内切圆与、、相切于点D、E、F，，，．请直接写出的面积．
24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
（1）求b的值；
（2）请求出四边形的面积；
（3）直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．