【专项复习】高考数学专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）（题型训练）.zip

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\l "_Tc17644" 二、典型题型 PAGEREF _Tc17644 \h 2
\l "_Tc3611" 题型一：隔项等差数列 PAGEREF _Tc3611 \h 2
\l "_Tc3241" 题型二：隔项等比数列 PAGEREF _Tc3241 \h 3
\l "_Tc29341" 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 PAGEREF _Tc29341 \h 5
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
二、典型题型
题型一：隔项等差数列
例题1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知数列满足，.
(1)求数列的前100项和；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)10000
(2)an＝2n－1
【详解】（1）∵a1＝1，an＋1＋an＝4n，
∴S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝4×1＋4×3＋…＋4×99＝4×(1＋3＋5＋…＋99)
＝4×502＝10 000.
（2）an＋1＋an＝4n，①
an＋2＋an＋1＝4(n＋1)，②
由②－①得，an＋2－an＝4，
由a1＝1，a1＋a2＝4，所以a2＝3.
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
综上所述，.
例题2．（2020·高二单元测试）数列满足，，求.
【答案】为奇数，为偶数
【详解】由，得，
两式作差得，即
又
∴数列{an}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列.
则当n为奇数时，；
当n为偶数时，.
∴.为奇数，为偶数
例题3．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知数列，，，，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和；
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因为，所以，
当时，
当时，
所以
则当为偶数时，
累加得：，所以
当为奇数时，为偶数，则，则此时，
综上可得
所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
其前n项和
题型二：隔项等比数列
例题1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知数列满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1），，
两式相比得．
，．
数列是以为首项，4为公比的等比数列；
数列是以为首项，4为公比的等比数列．
．
综上，的通项公式为．
例题2．（2023春·福建福州·高二校考期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)是等比数列，
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；
是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）在数列中，，且．
(1)证明：，都是等比数列．
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，且，所以，．
因为，故，
所以，，
则，都是公比为16的等比数列．
（2）由（1）知，都是公比为16的等比数列，所以，，
故对任意的
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）已知数列满足是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题设，且，
所以，即，
当且时，是首项为1，公比为2的等比数列，则；
当且时，是首项为2，公比为2的等比数列，则；
.
故选：B
二、多选题
2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知数列满足，，则（ ）
A．B．是的前项和，则
C．当为偶数时D．的通项公式是
【答案】AD
【详解】数列满足，，
因为，，所以，
，B错；
由题意，①，②，
由②①得，，由，，所以，
当为奇数时，设，
则，
当为偶数时，设，
则，
综上所述，对任意的，，C错D对；
，A对.
故选：AD.
三、解答题
3．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知为数列的前项和，，．
(1)证明：．
(2)求的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
【详解】（1）当时，，则，而，则，
当时，由，得，两式相减得，
又，满足上式，
所以当时，．
（2），
因此的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，，
的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，，于是，
所以的通项公式是．
4．（2023春·四川德阳·高二统考期末）已知正项等比数列对任意的均满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设公比为，
由，得当时，，
两式相除得，所以，
又，则，所以（舍去），
所以；
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，求此数列的通项公式.
【答案】.
【详解】在数列中，由，得，当时，，
两式相除得：，因此数列构成以为首项，为公比的等比数列；
数列构成以为首项，为公比的等比数列，于是，
所以数列的通项公式是.
6．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，求通项.
【答案】
【详解】因为，
所以当时，，
当时，，
两式相减得：，
构成以为首项，2为公差的等差数列；
构成以为首项，2为公差的等差数列，
，
，
7．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由，
当时，，
∴，
又，，
∴。
当时，，
∴为奇数时， ；
当时，，
∴为偶数时，
∴；
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【详解】（1）由已知，
所以，
相除得；
又，
所以，
所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，
由得，
由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，
所以，
所以存在正数使得数列是等比数列.
9．（2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期末）在数列中，已知，．
(1)求证：是等比数列．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【详解】（1）由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
10．（2022·安徽黄山·统考一模）已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【详解】（1）解:由题知①,
因为,
所以,
解得,
当时,②,
①-②可得:
,
所以当为奇数时,
,,,
以上式子相加可得:
,
化简可得,满足上式，
所以当为偶数时,
,,,
以上式子相加可得:
,
化简可得,满足上式，
综上: ;
11．（2022秋·广东·高二校联考期末）已知等比数列对任意的满足.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）设等比数列公比为q，则有，两式相除化简得，解得，
又，可得.
∴数列的通项公式.
12．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）已知数列，且满足，有.
(1)求数列的通项公式：
【答案】(1)
【详解】（1）由题设知，且，
易得，所以.
因为，①
所以，②
①②得，，
所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，
从而，
所以.
即所求数列的通项公式为所以.
13．（2022秋·江苏盐城·高三统考期中）数列中，．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由①②，
②-①，
∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，
由，∴，
∴，∴，n为奇数，
，∴，n为偶数．
∴.