5.7 构造法求通项 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第7节  构造法求通项

知识与方法

本节解决形式的递推公式求通项问题，这一大类问题又可分为三类小问题：

（1）型：即为常数的情形.

（2）型：即为一次函数的情形.

（3）型：即为指数型函数的情形.

提醒：构造法求通项的基本思路是构造同一个数列的前后项，实施方法常用待定系数法.

典型例题

【例题】设数列满足，且，求.

【解析】设，则，又，故，即，又，所以构成首项和公比均为3的等比数列，从而，故.

变式1  （2020·新课标III卷）设数列满足，.

（1）计算、，猜想的通项公式并加以证明；

（2）求数列的前n项和.

【解析】（1）由题意，，，

故可猜想，下面证明，

设，则，

又，所以是所有项均为0的常数数列，从而，故.

（2）由（1）知，所以①，

故，②

①－②得：

，

所以.

【反思】请自行总结型的递推公式求的方法.

变式2  设数列满足，且，求.

【解析】设，

则，

由题意，，所以较系数可得，解得：，

从而，

又，所以是等比数列，故，即.

【反思】请自行总结型的递推公式求的方法.

变式3  设数列的前n项和为，且

（1）求、；

（2）求.

【解析】（1）由题意，，故，，故.

（2）当时，，

所以，

整理得：，故，从而，所以是公差为3的等差数列，故，所以.

变式4  设数列满足，且，求.

【解析】设，则，又，故，即，结合知数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，故

【反思】请自行总结型的递推公式求的方法.

强化训练

1.（★★★）设数列满足，且

（1）求；

（2）求数列的前n项和.

【解析】（1），

又，所以是等比数列，首项和公比都是2，故，即.

（2）由（1）知.

2.（★★★）设数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【解析】（1）设，则，

与比较系数得，解得：，，

所以，又，

所以是首项和公比均为2的等比数列，故，即.

（2）由（1）可得，.

3.（★★★）设数列满足，且，求.

【解析】设，

则，

又，所以，解得：，，，

故，

又，所以，故.

4.（★★★）设数列满足，且，求.

【解析】是等差数列，

所以，故.

5.（★★★）设数列满足，且，求.

【解析】设，

整理得：，与比较系数得，

所以，又，从而数列是等比数列，故，所以.

6.（★★★）已知数列的通项公式是，数列的首项.

（1）若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；

（2）若是公比为2的等比数列，求数列的前n项和.

【解析】若是公差为3的等差数列，则结合可得，又，所以，故数列也是等差数列.

（2）若是公比为2的等比数列，则，从而，所以，又，所以是首项为4，公比为2的等比数列，从而，所以，

故数列的前n项和

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