2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习12（含答案）

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已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2＋bx＋m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
(1)求b的值；
(2)①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N(M在N的左侧)，与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
(3)已知两点A(﹣1，﹣1)，B(5，﹣1)，当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
(1)求直线BC的解析式；
(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1﹣S2的值最大时，求P点的坐标和S1﹣S2的最大值；
(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A'C'(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．
已知抛物线C1：y＝mx2＋n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；
(3)如图，若点F的坐标为(0，﹣2)，直线l分别交线段AF，BF(不含端点)于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．
如图，抛物线L：y=eq \f(1,2)x2＋ax＋a﹣5，点Q为顶点．
(1)无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 ；
(2)若抛物线的对称轴为直线x＝1．
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；
②将抛物线L向下平移k(k＞0)个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；
(3)当a＝2时，点M(m，n)为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(﹣1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME垂直x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；
(3)连结OD，AC，抛物线上是否存在点M，使得以C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点B和点C(0，4)，△ABO沿射线AB方向以每秒eq \r(2)个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF(点A，B，O的对应点分别为点D，E，F)，平移时间为t(0＜t＜4)秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当tan∠EMF＝eq \f(4,3)时，请直接写出t的值；
(3)如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的eq \f(1,2)，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(﹣eq \r(3)，0)，B(3eq \r(3)，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．
(1)填空：△ABC的形状是 ．
(2)求抛物线的解析式；
(3)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标；
(4)M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B．
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
\s 0 答案
解：(1)∵已知二次函数y＝x2＋bx＋m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
(2)如图1：①令x2＋bx＋m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2＋，
∵M在N的左侧，
∴M(2﹣，0)，N(2＋，0)，
∴MN＝2，MN的中点坐标为(2，0)，
∵△MNP为直角三角形，
∴＝，解得m＝0(舍)或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)，
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1(x≥0)与直线y＝﹣4的交点为(1，﹣4)，(3，﹣4)，
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)，
当﹣x2＋4x＋1＝﹣4时，解得x＝5(舍)或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2＋4x＋1(x＜0)与直线y＝﹣4的交点为(﹣1，﹣4)，
∴﹣1≤x＜2﹣eq \r(5)或0≤x≤1或3≤x＜2＋eq \r(5)时，﹣4≤y＜0；
(3)y＝x2﹣4x＋m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)，
如图2，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)，当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4(x≥0)与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)经过点(0，﹣1)时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2＋4x﹣m(x＜0)经过点(0，﹣1)时，m＝1，
此时图象C与线段AB有两个公共点，
当y＝x2﹣4x＋m(x≥0)的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．
解：(1)对抛物线y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2，
当x＝0时，y＝2，
∴C(0，2)，
当y＝0时，﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2=0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
设直线BC的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，
把点C(0，2)，B(3，0)代入得：
，解得：．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣eq \f(2,3)x＋2．
(2)∵AD∥BC，直线BC的解析式为：y＝﹣eq \f(2,3)x＋2．
设AD的解析式为，y＝﹣eq \f(2,3)x＋m，
把点A(﹣1，0)代入得：解得：m＝﹣eq \f(2,3)，
∴AD的解析式为：y＝﹣eq \f(2,3)x﹣eq \f(2,3)，
由解得：，
∴D(4，﹣eq \f(10,3))，
∴直线CD的解析式为：y＝﹣eq \f(4,3)x＋2，
当y＝0时，﹣eq \f(4,3)x＋2=0，解得：x＝eq \f(3,2)，
记直线CD与x轴交于点N，则：
N(eq \f(3,2),0)，BN＝3﹣eq \f(3,2)＝1.5，
过点P作PM⊥AB交BC于点M，设P(a，﹣eq \f(2,3)a2＋eq \f(4,3)a＋2)，
∴M(a，﹣eq \f(2,3)a＋2)，
∴PM＝﹣eq \f(2,3)a2＋2a，
∴S1＝S△ABC＋S△PCM＋S△PBM＝﹣a2＋3a＋4，
S2＝S△BNC＋S△BND＝4，
∴S1﹣S2＝﹣a2＋3a＋4﹣4＝﹣a2＋3a＝﹣(a﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴当a＝eq \f(3,2)时，S1﹣S2的最大值为eq \f(9,4)，
此时，点P的坐标为(eq \f(3,2),eq \f(5,2))．
(3)抛物线y=﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(4,3)x＋2的对称轴为：x＝1，
∵抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，
∴直线l为：x＝2，
(i)当等腰三角形以∠A'C'G1＝90°，A'C'＝C'G1时，如图，过点C'作C'H⊥l于点H，过点A'作A'Q⊥C'H于点Q，
∵∠HC'G1＋∠QC'A'＝90°，∠QC'A'＋∠QA'C'＝90°，
∴∠HC'G1＝∠QA'C'，
又∵∠A'QC'＝∠C'HG1＝90°，A'C'＝C'G1，
∴△A'QC'≌△C'HG1
∴QA'＝C'H，HG1＝QC'，
∵AC∥A'C'，设点A'(a，﹣eq \f(2,3)a﹣eq \f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3))，
∴C'H＝2﹣a，A'Q＝2，HG1＝C'Q＝1，
∴2﹣(a＋1)＝2，解得：a＝﹣1，
∴C'(0，2)，H(2，2)，
∴G1(2，1)，
(ii)当等腰三角形以∠C'A'G2＝90°，A'C'＝A'G2时，
如图，过点A'作A'F⊥l于点F，过点C'作C'E⊥A'F于点E，
同(i)理可证：△C'A'E≌△A'G2F，
设点A'(a，﹣eq \f(2,3)a﹣eq \f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3))，
∴G2F＝A'E＝1，FA'＝2﹣a＝2，∴a＝0，
∴A'(0，﹣eq \f(2,3))，∴F(2，﹣eq \f(2,3))，∴G2(2，﹣eq \f(5,3))，
(iii)当等腰三角形以∠C'G3A'＝90°，C'G3＝A'G3时，如图，过点A'作A'Q⊥l于点Q，过点C'作C'P⊥l于点P，
同(i)理可证：△C'PG3≌△G3A'Q，
设点A'(a，﹣eq \f(2,3)a﹣eq \f(2,3))，C'(a＋1，﹣eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3))，
∴A'Q＝G3P＝2﹣a，C'P＝QG3＝1﹣a，PQ＝2，
∴2﹣a＋1﹣a＝2，
解得：a＝0.5，
∴C'(1.5，1)，G3P＝2﹣0.5＝1.5，
∴G3(2，﹣0.5)，
综上所述：存在点G1(2，1)，G2(2，﹣eq \f(5,3))，G3(2，﹣0.5)，
使得以A'，C'，G为顶点的等腰直角△A'C'G．
解：(1)∵n＝﹣1，
∴点C(0，﹣1)，
∴抛物线C1：y＝mx2﹣1，对称轴为x＝0，
∴AC＝BC，
∵△ABC为等腰直角三角形，C为顶点，
∴OA＝OB＝OC＝1，
∴A(﹣1，0)，B(1，0)，
将B(1，0)代入y＝mx2﹣1得，m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴抛物线C1：y＝x2﹣1；
(2)∵将C1向上平移一个单位得到C2，
∴抛物线C2：y＝x2，
设MN的直线解析式为y＝kx＋b，
∴直线MN与y轴的交点为(0，b)，
设M点坐标为(xM，xM2)，N(xN，xN2)，
联立方程组，整理得x2﹣kx﹣b＝0，
∴xM•xN＝﹣b，
过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F，
∵∠MON＝90°，
∴∠MOE＋∠NOF＝90°，
∵∠MOE＋∠OME＝90°，
∴∠NOF＝∠OME，
∴△MEO∽△OFN，
∴＝，
∴xN•xM＝﹣1，
∴b＝1，
∴直线MN经过定点(0，1)，
∵OE⊥MN，
∴E点在以(0，eq \f(1,2))为圆心，直径为1的圆上运动，
∴点E到y轴距离的最大值为eq \f(1,2)；
(3)a﹣b是定值，理由如下：
∵F的坐标为(0，﹣2)，
设直线BF的解析式为y＝k1x＋b1，
∴，解得，
∴直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，
同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，
设直线l的表达式为y＝tx＋n，
联立方程组，
整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
故Δ＝(﹣t)2﹣4(﹣n﹣1)＝0，解得n＝﹣eq \f(1,4)t2﹣1，
∴直线l的表达式为y＝tx﹣eq \f(1,4)t2﹣1③，
联立①③并解得a＝，联立②③可得，b＝，
∴a﹣b＝﹣＝1为常数．
解：(1)∵y＝eq \f(1,2)x2＋ax＋a﹣5＝＝eq \f(1,2)x2＋a(x＋1)﹣5，
∴当x＝﹣1时，y＝eq \f(1,2)﹣5＝﹣eq \f(9,2)，
∴无论a为何值，抛物线L总过一个定点为(﹣1，﹣eq \f(9,2))，
故答案为：(﹣1，﹣eq \f(9,2))；
(2)①∵抛物线L的对称轴为直线x=1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝eq \f(1,2)x2﹣x﹣6．
∵x＝1时，y=-eq \f(13,2)，∴顶点Q的坐标为(1,-eq \f(13,2))；
②∵将抛物线L向下平移k(k＞0)个单位长度，使顶点Q落在点A处，
∴QA＝k，B(0，﹣6﹣k)，
∵Q(1,-eq \f(13,2))，QA＝QB，
∴，∴，
∴k=eq \f(5,4)；
(3)当a＝2时，y＝eq \f(1,2)x2＋2x＋2﹣5＝＝eq \f(1,2)x2＋2x﹣3＝eq \f(1,2)(x＋2)2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M(m，n)在对称轴的右侧，
又∵﹣2≤m≤2，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣2时，n＝﹣5，
当m＝2时，n＝eq \f(1,2)×(2＋2)2﹣5＝3，
∴﹣5≤n≤3．
解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，代入y＝ax2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)设点M的坐标为(x，﹣x2＋2x＋3)(0＜x＜3)．
∵四边形MNOE为正方形，
∴x＝﹣x2＋2x＋3，
解得：x1＝，x2＝(舍去)，∴MN＝，
∴该正方形的边长为；
(3)∵点C的坐标为(0，3)．点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)，
∴AB＝4，BC＝3eq \r(2)．
∵OB＝OC＝3，
∴∠OCD＝∠ABC＝45°．
∴存在两种情况．
过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，则△CDF为等腰直角三角形，如图所示．
①当△OCD∽△ABC时，，即，
∴CD＝，∴DF＝CF＝，∴点M的坐标为(，)；
②当△DCO∽△ABC时，，即，
∴CD＝2eq \r(2)，
∴DF＝CF＝2，
∴点M的坐标为(2，3)．
综上所述：抛物线上存在点M，使得以点C，O，D为顶点的三角形与△ABC相似，
点M的坐标为(，)或(2，3)．
解：(1)∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴B(4，0)，A(0，﹣4)，
把B(4，0)，C(0，4)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c得到
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋4．
(2)如图1中，当点M在线段DF的上方时，
由题意得，D(t，t﹣4)，则M(t，﹣eq \f(1,2)t2＋t＋4)，∴DM＝﹣eq \f(1,2)t2＋8，
在Rt△MEF中，tan∠EMF＝4/3.，
∴MF＝3，
∵DF＝EF＝4，
∴DM＝7，
∴﹣eq \f(1,2)t2＋8＝7，∴t＝eq \r(2)或﹣eq \r(2)(舍弃)．
当点F在点M上方时，可得DM＝1，即﹣eq \f(1,2)t2＋8＝1，∴t＝eq \r(14)或﹣eq \r(14)(舍弃)，
综上所述，t的值为eq \r(2)或eq \r(14)．
(3)如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D(t，t﹣4)，
则M(t，﹣eq \f(1,2)t2＋t＋4)，N(eq \f(1,2)t，﹣eq \f(1,8)t2＋eq \f(1,2)t＋4)，T(eq \f(1,2)t，﹣eq \f(1,4)t2＋eq \f(1,2)t＋2)，F(t，t)
∵NT∥FM，
∴∠PNT＝∠PFM，
∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，
∴△NPT≌△FPM(ASA)，
∴NT＝MF，
∴﹣eq \f(1,8)t2＋eq \f(1,2)t＋4﹣(﹣eq \f(1,4)t2＋eq \f(1,2)t＋2)＝﹣eq \f(1,2)t2＋t＋4﹣t，
解得t＝eq \f(4\r(5),5)或﹣eq \f(4\r(5),5)(舍弃)，∴t的值为eq \f(4\r(5),5)．
解：(1)由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，
则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，
同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
(2)由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣eq \f(1,3)x2＋eq \f(2\r(3),3)x＋3①；
(3)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋3，
则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋c②，
当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，
联立①②并整理得：﹣eq \f(1,3)x2＋eq \r(3)x＋3﹣c＝0③，
则△＝(eq \r(3))2﹣4×(﹣eq \f(1,3))(3﹣c)＝0，解得：c＝eq \f(21,4)，
将c的值代入③式并解得x＝eq \f(3\r(3),2)，故点P的坐标为(eq \f(3\r(3),2)，eq \f(15,4))；
(4)由抛物线的表达式知，点E的坐标为(eq \r(3)，4)，
∵直线BC的表达式为y＝﹣eq \f(\r(3),3)x＋3，故点D(eq \r(3)，2)，
设点M的坐标为(m，﹣eq \f(\r(3),3)m＋3)，点N的坐标为(n，﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3)，
①当ED是边时，
点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M(N)向上平移2个单位得到点N(M)，
则m＝n且﹣eq \f(\r(3),3)m＋3±2＝﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3，
解得：m＝eq \r(3)(舍去)或2eq \r(3)或；
②当ED为对角线时，
由中点坐标公式得：2eq \r(3)＝m＋n且4＋2＝﹣eq \f(1,3)n2＋eq \f(2\r(3),3)n＋3﹣eq \f(\r(3),3)m＋3，
解得m＝eq \r(3)(舍去)或0，
综上，m＝0或2eq \r(3)或或，
故点M的坐标为(0，3)或(2eq \r(3)，1)或(，)或(，)．
解：(1)依题意得：
，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，
∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分别代入直线y=mx+n，
得，解之得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M(﹣1，2)，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；
(3)设P(﹣1，t)，
又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，
∴BC2=18，PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2，PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；
综上所述P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．