2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习13（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习13（含答案），共15页。

如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，且OA=OB．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点M为AB的中点，且∠PMQ=45°，∠PMQ在AB的同侧，以点M为旋转中心将∠PMQ旋转，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．
设AD=m(m＞0)，BC=n，求n与m之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时，直接写出∠PMQ的另一边与x轴的交点坐标．
在平面直角坐标系中，已知两点A(0，3)，B(1，0)，现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax2+bx+c经过点C.
(1)如图1，若抛物线经过点A和D(﹣2，0).
①求点C的坐标及该抛物线解析式；
②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO，若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(2)如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)经过点E(2，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO，若符合条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围.
如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝eq \f(1,3)x2＋eq \f(7,3)x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．(点A在点B的左侧)
(1)则m＝ ，n＝ ．
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A'、B'两点，延长OB'交抛物线C2于点C，连接A'C．设△OA'C的外接圆为⊙M．
①求圆心M的坐标；
②试直接写出△OA'C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标(A'、C除外)．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y=x2＋bx＋c过点C(0，﹣3)，与抛物线L2：
y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．
(1)求抛物线L1对应的函数表达式；
(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；
(3)设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c(b＞0，c＞0)图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．
(1)如图2，若CD∥x轴．
①求证：b2＝4c；
②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；
(2)当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线y＝ax2＋bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示线段DF的长；
②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当DG＝eq \f(3,5)AC时点D的坐标．
在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(﹣2，0)，B(﹣3，3)及原点O，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；
(2)设该抛物线上一动点P的横坐标为t．
①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；
②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
③在图3中，若P是y轴左侧该抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝﹣x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ(点P位于点Q的上方)在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP＋PQ＋QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．
\s 0 答案
解：(1)由抛物线y=ax2﹣2ax﹣4，得B(0，﹣4)，OB=4．
∵OA=OB=4，且点A在x轴正半轴上，∴A(4，0)．
将A(4，0)代入y=ax2﹣2ax﹣4，得16a﹣8a﹣4=0，解得a=eq \f(1,2)，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣4；
(2)∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，AB=4eq \r(2)，
∴∠ADM+∠AMD=135°，AM=BM=2eq \r(2)．
∵∠CMD=45°，∴∠AMD+∠BMC=135°，
∴∠ADM=∠BMC，∴△ADM∽△BMC，∴=．
∵AD=m，BC=n，∴=，∴n=，
∴n与m之间的函数关系式为n=；
(3)设抛物线y=eq \f(1,2)x2﹣x﹣4与x轴另一个交点为E，
令y=0，得eq \f(1,2)x2﹣x﹣4=0，解得x1=4，x2=﹣2，
∴点E的坐标为(﹣2，0)．
∵A(4，0)，B(0，﹣4)，M为AB的中点，∴M的坐标为(2，﹣2)．
①当MP经过点(﹣2，0)时，设直线PM的解析式为y=mx+n，
则有，解得，∴直线PM的解析式为y=﹣eq \f(1,2)x﹣1．
当x=0时，y=﹣1，∴点C的坐标为(0，﹣1)，∴n=BC=﹣1﹣(﹣4)=3，
∴m=eq \f(8,3)，即AD=eq \f(8,3)，∴OD=4﹣eq \f(8,3)=eq \f(4,3)，∴MQ与x轴交点为(eq \f(4,3)，0)；
②当MQ经过点(﹣2，0)时，同理可得：MP与x轴交点为(8，0)．
解：(1)①如图2，∵A(0，3)，B(1，0)，∴OA=3，OB=1，
由旋转知，∠ABC=90°，AB=CB，∴∠ABO+∠CBE=90°，
过点C作CG⊥OB于G，
∴∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠ABO=∠BCG，
∴△AOB≌△GBC，
∴CG=OB=1，BG=OA=3，
∴OG=OB+BG=4
∴C(4，1)，
抛物线经过点A(0，3)，和D(﹣2，0)，
∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(5,6)x+3；
②由①知，△AOB≌△EBC，∴∠BAO=∠CBF，
∵∠POB=∠BAO，∴∠POB=∠CBF，
如图1，OP∥BC，∵B(1，0)，C(4，1)，
∴直线BC的解析式为y=eq \f(1,3)x﹣eq \f(1,3)，
∴直线OP的解析式为y=eq \f(1,3)x，
∵抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(5,6)x+3；
联立解得，或(舍)
∴P(，)；
在直线OP上取一点M(3，1)，∴点M的对称点M'(3，﹣1)，
∴直线OP'的解析式为y=﹣eq \f(1,3)x，
∵抛物线解析式为y=﹣eq \f(1,3)x2+eq \f(5,6)x+3；
联立解得，或(舍)，
∴P'(，﹣)；
(2)同(1)②的方法，如图3，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C(4，1)，E(2，1)，
∴，∴，∴抛物线y=ax2﹣6ax+8a+1，
令y=0，∴ax2﹣6ax+8a+1=0，∴x1×x2=
∵符合条件的Q点恰好有2个，
∴方程ax2﹣6ax+8a+1=0有一个正根和一个负根或一个正根和0，
∴x1×x2=≤0，
∵a＜0，∴8a+1≥0，∴a≥﹣eq \f(1,8)，即：﹣eq \f(1,8)≤a＜0.
解：(1)当x＝﹣4时，y＝eq \f(1,3)×(﹣4)2＋eq \f(7,3)×(﹣4)＝﹣4，
∴点A坐标为(﹣4，﹣4)，
当y＝﹣2时，eq \f(1,3)x2＋eq \f(7,3)x＝﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6，
∵点A在点B的左侧，
∴点B坐标为(﹣1，﹣2)，
∴m＝﹣4，n＝﹣1．
故答案为﹣4，﹣1．
(2)①如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G．
∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2，
∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB′，
∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°，
∴∠BOE＋∠B'OG＝∠BOE＋∠OBE＝90°，
∴∠B'OG＝∠OBE，
在△B'OG与△OBE中，
，
∴△B'OG≌△OBE(AAS)，
∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1，
∵点B'在第四象限，
∴B'(2，﹣1)，
同理可求得：A'(4，﹣4)，
∴OA＝OA'＝4eq \r(2)，
∵抛物线F2：y＝ax2＋bx＋4经过点A'、B'，
∴，解得：，
∴抛物线F2解析式为：y＝eq \f(1,4)x2﹣3x＋4，
∵直线OB′的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x，
由，解得或，
∴点C(8，﹣4)，
∵A′(4，﹣4)，
∴A′C∥x轴，
∵线段OA′的垂直平分线的解析式为y＝x﹣4，
线段A′C的垂直平分线为x＝6，
∴直线y＝x﹣4与x＝6的交点为(6，2)，
∴△OA′C的外接圆的圆心M的坐标为(6，2)．
②设⊙M与抛物线C2的交点为P(m，eq \f(1,4)m2﹣3m＋4)．
则有(m﹣6)2＋(eq \f(1,4)m2﹣3m＋2)2＝62＋22，解得m＝0或12或4或8，
∵A'、C除外，
∴P(0，4)，或(12，4)．
解：(1)将x=2代入y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，得y=﹣3，故点A的坐标为(2，﹣3)，
将A(2，﹣1)，C(0，﹣3)代入y=x2＋bx＋c，得
，解得，
∴抛物线L1：y=x2﹣2x﹣3；
(2)设点P的坐标为(x，x2﹣2x﹣3)，
第一种情况：AC为平行四边形的一条边，
①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为(x＋2，﹣2x﹣3)，
将Q(x＋2，﹣2x﹣3)代入y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，得﹣2x﹣3=﹣eq \f(1,2)(x＋2)2﹣eq \f(3,2)(x＋2)＋2，
解得，x=0或x=﹣1，
因为x=0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为(﹣1，0)；
②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为(x﹣2，x2﹣2x﹣3)，
将Q(x﹣2，x2﹣2x﹣3)代入y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，得y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，
得x2﹣2x﹣3=﹣eq \f(1,2)(x﹣2)2﹣eq \f(3,2)(x﹣2)＋2，解得，x=3，或x=﹣eq \f(4,3)，
此时点P的坐标为(3，0)或(﹣eq \f(4,3)，1eq \f(4,9))；
第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，
由AC的中点坐标为(1，﹣3)，得PQ的中点坐标为(1，﹣3)，
故点Q的坐标为(2﹣x，﹣x2＋2x﹣3)，
将Q(2﹣x，﹣x2＋2x﹣3)代入y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2，
得﹣x2＋2x﹣3=﹣eq \f(1,2)(2﹣x)2﹣eq \f(3,2)(2﹣x)＋2，解得，x=0或x=﹣3，
因为x=0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，
此时点P的坐标为(﹣3，12)，
综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(﹣eq \f(4,3)，1eq \f(4,9))或(﹣3，12)；
(3)当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，
当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，
过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，
过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC=∠RTC=90°，
由CA平分∠PCR，得∠PCA=∠RCA，则∠PCS=∠RCT，
∴△PSC∽△RTC，∴，
设点P坐标为(x1，)，点R坐标为(x2，)，
所以有，整理得，x1＋x2=4，
在Rt△PRH中，tan∠PRH==
过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为(m，-eq \f(1,2)m2-eq \f(3,2)m+2)，
若OQ∥PR，则需∠QOK=∠PRH，所以tan∠QOK=tan∠PRH=2，
所以2m=-eq \f(1,2)m2-eq \f(3,2)m+2，解得，m=，
所以点Q坐标为(，﹣7＋)或(，﹣7﹣)．
解：(1)①∵y＝﹣x2＋bx＋c＝﹣(x﹣eq \f(1,2)b)＋eq \f(1,4)b2＋c，
∴顶点A(eq \f(1,2)b，eq \f(1,4)b2＋c)，C(0，c)，
连接OA，交BD于点P，如图1，
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴PA＝PO，
∴P(eq \f(1,4)b，eq \f(1,8)b2＋eq \f(1,2)c)，
∵CD∥x轴，
∴eq \f(1,8)b2＋eq \f(1,2)c＝c，
∴b2＝4c；
②如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E(eq \f(1,2)b，0)，
∴OE＝eq \f(1,2)b，AE＝eq \f(1,4)b2＋c＝eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)b2＝eq \f(1,2)b2，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝eq \f(1,2)b，
∴D(b，c)，
∴PD＝b﹣eq \f(1,4)b＝eq \f(3,4)b，
∴BD＝2PD＝eq \f(3,2)b，
∵▱ABOD是矩形，
∴OA＝BD，
∴OA2＝BD2，
∴OE2＋AE2＝BD2，
∴(eq \f(1,2)b)2＋(eq \f(1,2)b2)2＝(eq \f(3,2)b)2，
∴eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)b4＝eq \f(9,4)b2，即b2(b﹣2eq \r(2))(b＋2eq \r(2))＝0，
∵b＞0，
∴b＝2eq \r(2)，
∴c＝2，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2＋2eq \r(2)x＋2；
(2)当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，
当b＝2时，y＝﹣x2＋2x＋c＝﹣(x﹣1)2＋c＋1，
∴抛物线顶点A(1，c＋1)，
若四边形ABOD是正方形，
则GA＝GO，OA⊥BD，
即BD是OA的垂直平分线，
∴AC＝OC，
∴AC2＝OC2，
∴(1﹣0)2＋(c＋1﹣c)2＝c2，
∵c＞0，
∴c＝eq \r(2)，
∴y＝﹣x2＋2x＋eq \r(2)，
∴A(1，eq \r(2)＋1)，G(eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2)+eq \f(1,2))，C(0，eq \r(2))，
设直线CG的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线CG的解析式为y＝(1﹣eq \r(2))x＋eq \r(2)，
令(1﹣eq \r(2))x＋eq \r(2)＝﹣x2＋2x＋eq \r(2)，解得：x＝0(舍去)或x＝1＋eq \r(2)，
∴D(1＋eq \r(2)，eq \r(2)﹣1)，
∴DG2＝(1＋eq \r(2)﹣eq \f(1,2))2＋(eq \r(2)﹣1﹣eq \f(\r(2),2)-eq \f(1,2))2＝5﹣eq \f(\r(2),2)，
OA2＝1＋(eq \r(2)＋1)2＝4＋2eq \r(2)，
若四边形ABOD是正方形，则OA＝2DG，即OA2＝4DG2，
但4DG2＝4×(5﹣eq \f(\r(2),2))＝20﹣2eq \r(2)≠4＋2eq \r(2)＝OA2，
即OA≠2DG，
故当b＝2时，▱ABOD不可能是正方形．
解：(1)在抛物线y＝ax2＋bx﹣4中，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴点C的坐标为(0，﹣4)，
∴OC＝4，
∵OB＝2OC＝4OA，
∴OA＝2，OB＝8，
∴点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，
则把点A、B代入解析式，得：
，解得：，
∴此抛物线的表达式为y＝eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x﹣4；
(2)①设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则把点B、C代入，
得，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣4；
设点D为(m，eq \f(1,4)m2﹣eq \f(3,2)m﹣4)，可得F(m，eq \f(1,2)m﹣4)，
∴DF＝eq \f(1,2)m﹣4−(eq \f(1,4)m2﹣eq \f(3,2)m﹣4)＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m；
②∵点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，点C的坐标为(0，﹣4)，
∴AC2＝22＋42＝20，BC2＝82＋42＝80，AB2＝(8＋2)2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ACO＋∠OCF＝90°，
∵DG∥AC，
∴∠DGC＝∠ACB＝90°，
∴∠DGF＝∠AOC＝90°，
∴∠DFG＋∠FDG＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴，
∴∠OCF＝∠DFG，
∵∠ACO＋∠OCF＝90°，∠DFG＋∠FDG＝90°，
∴∠ACO＝∠FDG，
∴△AOC∽△FGD，
∴，
∵AC2＝22＋42＝20，
∴AC＝2eq \r(5)，
∵DG＝eq \f(3,5)AC，
∴DG＝eq \f(6\r(5),5)，
∴DF＝3，
∵DF＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m，
∴﹣eq \f(1,4)m2＋2m＝3，解得m1＝2，m2＝6，
∴点D的坐标为(2，﹣6)或(6，﹣4)．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，
将A(﹣2，0)，B(﹣3，3)代入，
∴，解得，
∴y＝x2＋2x，
∴C(﹣1，﹣1)；
(2)①∵P的横坐标为t，
∴P(t，t2＋2t)，
设直线BO的解析式为y＝kx，
∴﹣3k＝3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x，
过点P作PG⊥x轴交BO于点G，
∴E(t，﹣t)
∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，
∴S＝eq \f(1,2)×3×(﹣t2﹣3t)＝﹣eq \f(3,2)(t＋eq \f(3,2))2＋eq \f(27,8)，
∵﹣3＜t＜0，
∴t＝﹣eq \f(3,2)时，S有最大值eq \f(27,8)；
②∵y＝x2＋2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设E(﹣1，m)，
当AO为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(﹣1，﹣1)；
当AP为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(1，3)；
当AE为平行四边形的对角线时，
，解得，
∴P(﹣3，3)；
综上所述：P点坐标为(﹣1，﹣1)或(1，3)或(﹣3，3)；
(3)存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，理由如下：
∵B(﹣3，3)，C(﹣1，﹣1)，
∴BO＝3eq \r(2)，OC＝eq \r(2)，BC＝2eq \r(5)，
∴BO2＋CO2＝BC2，
∴△COB为直角三角形，∠BOC＝90°，
∴tan∠CBO＝eq \f(1,3)，
∵PM⊥AM，
∴∠BOC＝∠PMA，
设P(m，m2＋2m)(t＜0)，
∴PM＝m2＋2m，AM＝﹣2﹣m，
当∠MPA＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣3，
∴P(﹣3，3)；
当∠PAM＝∠OBC时，＝，解得m＝﹣2(舍)或m＝﹣eq \f(1,3)，
∴P(﹣eq \f(1,3)，﹣eq \f(5,9))；
综上所述：P点坐标为(﹣3，3)或(﹣eq \f(1,3)，﹣eq \f(5,9))．
解：(1)在y＝﹣x2＋3x＋4中，
令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)；
(2)将C(0，4)向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP＋PQ＋BQ＝C'Q＋PQ＋BQ＝BC'＋PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP＋PQ＋BQ最小，最小值为BC'＋PQ的值，
∵C(0，4)，CC'＝PQ＝1，
∴C'(0，3)，
∵B(4，0)，
∴BC'＝5，
∴BC'＋PQ＝5＋1＝6，
∴CP＋PQ＋BQ最小值为6；
(3)如图：
由在y＝﹣x2＋3x＋4得抛物线对称轴为直线x＝eq \f(3,2)，
设Q(eq \f(3,2)，t)，则P(eq \f(3,2)，t＋1)，M(0，t＋1)，N(eq \f(3,2)，0)，
∵B(4，0)，C(0，4)；
∴BN＝eq \f(5,2)，QN＝t，PM＝eq \f(3,2)，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，解得t＝eq \f(15,2)或t＝eq \f(15,8)，
∴Q(eq \f(3,2)，eq \f(15,2))或(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))；
②当＝时，＝，解得t＝eq \f(3,2)＋eq \r(6)或t＝eq \f(3,2)﹣eq \r(6)(舍去)，
∴Q(，)，
综上所述，Q的坐标是(eq \f(3,2)，eq \f(15,2))或(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))或(eq \f(3,2)，eq \f(3,2)＋eq \r(6))．