2024年中考数学二轮复习 压轴题 专项培优练习08（含答案）

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如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
如图：已知二次函数y＝x2＋(1﹣m)x﹣m(其中0＜m＜1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线L设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA＝PC.
(1)∠ABC的度数为 °；
(2)求点P坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在x轴上是否存在点Q(与原点O不重合)，使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小，如果存在，求满足条件的Q的坐标及对应的二次函数解析式，并求出PQ的最小值；如果不存在，请说明理由.
如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于点A和B(5，0)，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋eq \f(3,2)，以PQ，QM为边作矩形PQMN．
(1)求b的值．
(2)当点Q与点M重合时，求m的值．
(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
(4)抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．
如图,平行四边形OBCD中,OB=8cm，BC=6cm,∠DOB=45°,点P从O沿OB边向点B移动,点Q从点B沿BC边向点C移动,P,Q同时出发，速度都是1cm/s．
(1)求经过O,B,D三点的抛物线的解析式；
(2)判断P,Q移动几秒时,△PBQ为等腰三角形；
(3)若允许P点越过B点在BC上运动,Q点越过C点在CD上运动,设线PQ与OB,BC,DC围成的图形面积为y(cm2),点P,Q的移动时间为t(s),请写出y与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围．

如图1，二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．
(1)写出点D的坐标 ．
(2)点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A．
①试说明二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B；
②点R在二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象上，到x轴的距离为d，
当点R的坐标为 时，二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；
③如图2，已知0＜m＜2，过点M(0，m)作x轴的平行线，分别交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象于点E、F、G、H(点E、G在对称轴l左侧)，过点H作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B(点B在A的右侧)，与y轴交于点C(0，2)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，与y轴交于点D，连接BD，当△BOD≌△COA时，求点P的坐标；
(3)连接OP，与线段BC交于点E，点Q是x轴正半轴上一点，且CE＝BQ，当OE＋CQ的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
\s 0 答案
解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣4)，
代入C(0，3)得3=4a，解得a=eq \f(3,4)，
y=eq \f(3,4)(x﹣1)(x﹣4)=eq \f(3,4)x2﹣eq \f(15,4)x+3，
所以，抛物线的解析式为y=eq \f(3,4)x2﹣eq \f(15,4)x+3.
(2)∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)，
∴OA=1，OC=3，BC=5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，
使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9.
(3)∵B(4，0)、C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y=﹣eq \f(3,4)x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M(a，b)，
∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，
∴=，即=，解得b=eq \f(15,8)，
代入y=﹣eq \f(3,4)x+3得，eq \f(15,8) =﹣eq \f(3,4)a+3，解得a=eq \f(3,2)，∴M(eq \f(3,2)，eq \f(15,8))；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，∴BM=5﹣m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，∴=，解得m=，
作MN∥OB，∴==，即==，
∴MN=，CN=，∴ON=OC﹣CN=3﹣=，∴M(，)，
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，
点M的坐标为(，)或(，).
解：(1)令x＝0，则y＝﹣m，C点坐标为：(0，﹣m)，
令y＝0，则x2＋(1﹣m)x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为：(m，0)，
∴OB＝OC＝m，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°；
故答案为：45°；
(2)如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为：x＝，
设点P坐标为：(，n)，
∵PA＝PC，
∴PA2＝PC2，
即AE2＋PE2＝CD2＋PD2，
∴(＋1)2＋n2＝(n＋m)2＋()2，解得：n＝，
∴P点的坐标为：(，)；
(3)存在点Q满足题意，
∵P点的坐标为：(，)，
∴PA2＋PC2＝AE2＋PE2＋CD2＋PD2，
＝(＋1)2＋()2＋(＋m)2＋()2＝1＋m2，
∵AC2＝1＋m2，
∴PA2＋PC2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：(﹣m，0)
若PQ与x轴垂直，则＝﹣m，解得：m＝eq \f(1,3)，PQ＝eq \f(1,3)，
若PQ与x轴不垂直，
则PQ2＝PE2＋EQ2＝()2＋(＋m)2＝eq \f(5,2)m2﹣2m＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)(m﹣eq \f(2,5))2＋eq \f(1,10)，
∵0＜m＜1，
∴当m＝eq \f(2,5)时，PQ2取得最小值eq \f(1,10)，PQ取得最小值eq \f(\r(10),10)，
∵eq \f(\r(10),10) 解：(1)∵点B(5，0)，C(0，5)在抛物线y＝﹣x2＋bx＋c上，
∴，解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
(2)设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，
则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，
∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上，
∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点，
∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，
∴，
∴点M的坐标为(2，0)，
∵点C的坐标为(0，5)，点B的坐标为(5，0)，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
∴△MBF是等腰直角三角形，
∴MB＝MF，
∴点F的坐标为F(2，3)，
∵点M关于直线BC的对称点为点M′，
∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，
∴△MBM′是等腰直角三角形，
∴BM′＝BM＝3，
∴点M′的坐标为(5，3)，
∴FM′∥x轴，
∴﹣x2＋4x＋5＝3，解得，x1＝2＋eq \r(6)，x2＝2﹣eq \r(6)，
∴E1(2＋eq \r(6)，3)，E2(2﹣eq \r(6)，3)，
∴点E的坐标为(2＋eq \r(6)，3)或(2﹣eq \r(6)，3)；
(3)存在，Q1(，)，Q2(，)，Q3(2＋eq \r(7)，2)．
设Q(m，﹣m2＋4m＋5)，P(2，p)，
①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K，
∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，
∴∠LOP＝∠KPQ，
∵OP＝PQ，
∴△LOP≌△KPQ(AAS)，
∴LO＝PK，LP＝QK，
∴，解得m1＝，m2＝(舍去)，
当m1＝时，﹣m2＋4m＋5＝，∴Q(，)；
②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△PKQ≌△QTO(AAS)，
∴QT＝PK，TO＝QK，
∴，解得m1＝，m2＝(舍去)，
当m1＝时，﹣m2＋4m＋5＝，∴Q(，)；
③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K，
同理可得△OLP≌△QSO(AAS)，
∴SQ＝OL，SO＝LP，
∴，解得m1＝2＋eq \r(7)，m2＝2﹣eq \r(7)(舍去)，
当m1＝2＋eq \r(7)时，﹣m2＋4m＋5＝2，∴Q(2＋eq \r(7)，2)；
综上，Q1(，)，Q2(，)，Q3(2＋eq \r(7)，2)．
解：(1)∵抛物线的对称轴为x=1，
矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A在DE上，
∴点A坐标为(1，4)，设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+4，
把C(3，0)代入抛物线的解析式，可得a(3﹣1)2+4=0，解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4，即y=﹣x2+2x+3；
(2)依题意有：OC=3，OE=4，∴CE==5，
当∠QPC=90°时，∵cs∠QPC==，∴=，解得t=；
当∠PQC=90°时，∵cs∠QCP==，∴=，解得t=．
∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；
(3)∵A(1，4)，C(3，0)，设直线AC的解析式为y=kx+b，
则，解得．故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P(1，4﹣t)，将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+eq \f(1,2)t，∴Q点的横坐标为1+eq \f(1,2)t，
将x=1+eq \f(1,2)t代入y=﹣(x﹣1)2+4中，得y=4﹣eq \f(1,4)t2．∴Q点的纵坐标为4﹣eq \f(1,4)t2，
∴QF=(4﹣eq \f(1,4)t2)﹣(4﹣t)=t﹣eq \f(1,4)t2，
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ=eq \f(1,2)FQ×AG+eq \f(1,2)FQ×DG=eq \f(1,2)FQ(AG+DG)=eq \f(1,2)FQ×AD
=eq \f(1,2)×2(t﹣eq \f(1,4)t2)=﹣eq \f(1,4)(t﹣2)2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
故答案为：(1，4)，y=﹣(x﹣1)2+4．
解：(1)把点A(3，0)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)，
得到0＝﹣eq \f(9,2)＋3b＋eq \f(3,2)，解得b＝1．
(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)，
∴P(m，﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2))，
∵M，Q重合，
∴﹣m＋eq \f(3,2)＝﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2)，解得m＝0或4．
(3)y＝﹣eq \f(1,2)x2＋x＋eq \f(3,2)＝﹣eq \f(1,2)(x﹣1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，
由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，
∴3﹣m＝﹣m＋eq \f(3,2)﹣(﹣eq \f(1,2)m2＋m＋eq \f(3,2))且﹣m＋eq \f(3,2)＞2，得m＜﹣eq \f(1,2)
解得m＝1﹣eq \r(7)或1＋eq \r(7)(不合题意舍弃)，∴m＝1﹣eq \r(7)．
(4)当m≤3和m≥4时，抛物线不能被覆盖，理由如下：
如图4﹣1中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，
当m＝4时，点M与点Q重合，
当m≥4时，矩形你能覆盖抛物线在直线x＝4的右侧部分(包括m＝4)，
∴抛物线被扫描部分自变量的取值范围为：x≤3或x≥4，
解：(1)过点D作DM⊥OB于M，

∵平行四边形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，
∴OD=BC=6cm，
∴OM=DM=OD•sin45°=6×eq \f(\r(2),2)=3eq \r(2)，∴D(3eq \r(2)，3eq \r(2))，B(8，0)，
设经过O，B，D三点的抛物线的解析式为：y=ax(x﹣8)，
将D的坐标代入得：3eq \r(2)=3eq \r(2)a•(3eq \r(2)﹣8)，
解得：a=﹣，∴y=﹣x(x﹣8)；
(2)∵∠PBQ=180°﹣∠DOB=135°，
∴若△PBQ为等腰三角形，则PB=BQ．
设P，Q移动t秒时，△PBQ为等腰三角形，
∴P点走过的路程为t，Q点走过的路程为t，
∴PB=OB﹣t=8﹣t(cm)，BQ=tcm．
若PB=BQ，则8﹣t=t，解得：t=4(s)．
∴P，Q移动4秒时，△PBQ为等腰三角形；
(3)如图：过点D作DM⊥OB于M，过点P作PN⊥OB于N，交CD于H，

∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3eq \r(2)cm，
∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，∴，
由题意得：PC=14﹣t(cm)，PB=t﹣8(cm)，CQ=t﹣6(cm)，
∴，解得：PH=eq \f(\r(2),2)(14﹣t)，
∴y=S▱OBCD﹣S△CPQ=8×3eq \r(2)﹣eq \f(1,2)(t﹣6)×eq \f(\r(2),2)(14﹣t)=eq \f(\r(2),4)t2﹣5eq \r(2)t＋45eq \r(2)，
∵P点越过B点在BC上运动，Q点越过C点在CD上运动，∴8＜t≤14，
∴y与t之间的函数关系式为y=eq \f(\r(2),4)t2﹣5eq \r(2)t＋45eq \r(2)，t的取值范围为8＜t≤14．
解：(1)∵y1=(x﹣2)(x﹣4)=x2﹣6x+8=(x﹣3)2﹣1，
∴顶点D的坐标为(3，﹣1)．
(2)①∵点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，
∴点P的坐标为(3，2)，
∴二次函数y1=(x﹣2)(x﹣4)与y2=ax2+bx+c的图象的对称轴均为x=3，
∵点A、B关于直线x=3对称，
∴二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点B．
②∵二次函数yy2=ax2+bx+c的顶点坐标P(3，2)，
且图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d，
∴2d=2，解得：d=1．
令y1=(x﹣2)(x﹣4)= x2﹣6x+8中y1=±1，
即x2﹣6x+8=±1，解得：x1=3﹣eq \r(2)，x2=3+eq \r(2)，x3=3，
∴点R的坐标为(3﹣eq \r(2)，1)、(3+eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
故答案为：(3﹣eq \r(2)，1)、(3+eq \r(2)，1)或(3，﹣1)．
③设过点M平行x轴的直线交对称轴l于点K，
直线l也是二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴．
∵二次函数y2=ax2+bx+c过点A、B，且顶点坐标为P(3，2)，
∴二次函数y2=﹣2(x﹣2)(x﹣4)．
设N(n，0)，则H(n，﹣2(n﹣2)(n﹣4))，Q(n，(n﹣2)(n﹣4))，
∴HN=2(n﹣2)(n﹣4)，QN=(n﹣2)(n﹣4)，∴=2，即=．
∵△GHN∽△EHQ，∴．
∵G、H关于直线l对称，
∴KG=KH=eq \f(1,2)HG，∴．
设KG=t(t＞0)，则G的坐标为(3﹣t，m)，E的坐标为(3﹣2t，m)，
由题意得：，解得：或(舍去)．
故当△GHN∽△EHQ，实数m的值为1．
解：(1)将4(﹣1.0)，C(0.2)，代入y＝ax2＋x＋c，得
，∴，
∴y＝﹣x2＋x＋2；
(2)∵A(﹣1，0)，△BOD≌△COA，
∴OA＝OD＝1，
∴D(0，1)或(0，﹣1)，
设直线AD的解析式为＝kx＋b，
则或，∴或，
∴y＝x＋1或y＝﹣x﹣1，
联立或，
解得 (不合题意，舍去)或，或 (不合题意，舍去)，
∴P(1，2)或(3，﹣4)；
(3)由题意得，点Q在点B的左侧，在线段BC上，取BM＝CO，作M关于x轴的对称点M′，连接QM，QM′，连接MM′交x轴于点S，
∴y＝﹣x2＋x＋2，令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，则B(2，0)，
∴OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BO＝OC＝2，
∵BQ＝CE，BM＝CQ，∠QBM＝∠ECO，
∴QM＝OE，
∵QM＝Q′M，
∴CQ＋OE＝CQ＋QM′，
当且仅当C，Q，M′共线时取得最小值，即点Q在直线′M′CM′上，
∵∠OCE＝45°，BM＝2，
∴MS＝SB＝eq \r(2)，
∴M(2﹣eq \r(2)，eq \r(2))，则M′(2﹣eq \r(2)，﹣eq \r(2))，
设直线CM′的解析式为y＝sx＋t，
把C(0，2)，(2﹣eq \r(2)，﹣eq \r(2))，代入得，
，解得：，
∴直线CM′的解断式为y＝(﹣3﹣2eq \r(2))x＋2，
令y＝0，解得x＝6﹣4eq \r(2)，
∴Q(6﹣4eq \r(2)，0)．