福建省福州市八县一中2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，若复数，则z的实部是（ ）
A. 1B. -2C. 2D. i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数相等可求的值可解.
【详解】由于，则，
则，所以z的实部是1.
故选：A
2. 如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（ ）
A. 县B. 市C. 联D. 考
【答案】B
【解析】
【分析】把正方体还原求解.
【详解】解：把正方体还原如下图：
则上面是九，下面是市，左面是县，右面是联，前面是考，后面是区，
故选：B
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等
B. 直四棱柱是长方体
C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥
D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何体的定义和性质，即可判断选项.
【详解】A. 圆柱母线长与圆柱的底面圆半径可能相等，故A错误；
B.直四棱柱是底面是四边形，侧棱和底面垂直的棱柱，不一定是长方体，故B错误；
C. 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个组合体，上下是圆锥，中间是圆柱，故C错误；
D. 正棱锥侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故选：D
4. 在中，已知在线段上，且，设．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助平面向量线性运算计算即可得.
【详解】.
故选：C.
5. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为8m，则树的高度为（ ）
A. （4+4）mB. 4+2m
C. （+4）mD. （+2）m
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得树高.
【详解】在中，由正弦定理得：，
即，
又，
，
树高，
故选：A
6. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在最小值为
D. 函数在单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定图象求出，进而求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】观察图象得，函数的周期，则，
由，得，
而，则，因此，故A错误；
对于B，由于，
则函数的图象关于点不对称，B正确；
对于C，当时，，
则函数在上单调递增，最小值为，故C错误，D正确.
故选：D
7. 三个数，，的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的性质，即可比较大小.
【详解】，，，
所以最大，
因为，所以，
因为，所以，则，所以，
即.
故选：B
8. 已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，从而得到等边三角形，进一步可得的轨迹是两段圆弧，画出示意图可知当是所在圆的直径时，取得最大值.
【详解】由，
故，即，
如图，设，则是等边三角形，
向量满足与的夹角为, ，
因为点在外且为定值，
所以的轨迹是两段圆弧，是弦AB所对的圆周角，
因此：当是所在圆的直径时,取得最大值，
在中，由正弦定理可得：，
故取得最大值4.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦所对的两段圆弧，从而确定当AC是所在圆的直径时，取得最大值，即可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如果平面向量，，那么下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据平面向量共线定理判断A，根据数量积的坐标运算得到即可判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量模的坐标表示判断D.
【详解】对于A：因为，，显然不存在实数使得，
故与不共线，故A错误；
对于B：因为，所以与不垂直，故B错误；
对于C：，所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D：因为，所以，故D正确.
故选：CD
10. 已知函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则是R上的减函数
B. 若，则有最小值
C. 若，则的值域为
D. 若，则存在，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，
在和上单调递减，故A错误；
对于B，若，，
当时，，在区间上单调递减，
，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，
当时，，在区间上单调递减，；
当时，，在区间上单调递增，，
则的值域为，故C正确；
对于D，若，
当时，；
当，即时，；
当，即时，，
即当时，，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：BC
11. 如图，正方形的边长为1，P，Q分别为线段上的动点，则以下说法正确的是（ ）
A. 当P、Q分别为线段中点时，的值为
B. 当时，的最小值为
C. 当的周长为2时，
D. 当时，的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用余弦定理可判断A；设，求出，利用两角和差的正切公式，即可判断B；举反例可判断C；设，表示出的模，利用数量积的定义结合三角恒等变换化简，即可判断D.
【详解】对于A，当P、Q分别为线段中点时，，，
故，A正确；
对于B，当时，设，
连接，则，
故，
故，
故的最小值为，B正确；
对于C，当的周长为2时，由于为直角三角形，
不妨取，则，
则，
此时，则，否则正三角形，
与矛盾，C错误；
对于D，当时，，
设，则，，
故，
而
，而，
故，则，
即当时，；
当时，；
故，D错误，
故选：AB
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，得到水平放置的的直观图，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】根据斜二测画法的规则，可得水平放置的的直观图，如图所示，
因为轴，轴，且，，
可得，且，
所以的面积为.
故答案：.
13. 如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值.
【详解】根据题意，，所以，
所以，
又，，
所以，
因为三点共线，所以，
由图可知，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
14. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的一个问题．当的三个内角均小于时，若其内部的点P满足，则称P为的费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角所对的边分别为，若，设P为的费马点，，则实数的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据得到为直角三角形，又P为的费马点，假设边长后结合利用余弦定理得到等量关系进行化简得，利用基本不等式即可求出的最小值.
【详解】为的费马点，则，
设，，，则，
，
，且；
，则，
，所以为直角三角形；
则在中，
；
同理，中，；
中，
，即，
即，
化简得，又，
又，
即，
，，
解得或（舍去）；
的最小值为.
当且仅当，即时取到等号.
故答案为：.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设复数．
（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数乘法运算公式，即可求解；
（2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式.
【小问1详解】
由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
【小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
16. 如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求线段的长度；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）在△ABC中，利用正弦定理求出，再利用，
在中根据正弦定理即可求解.
【小问1详解】
在中，由余弦定理可得：
，
.
故线段的长度.
【小问2详解】
由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：，
即， 得，
又，所以，
在中，由正弦定理可得：，
即， .
所以的值为.
17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表格中的前三列数据，求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）.（参考数据：，．）
【答案】（1）答案见解析
（2）5.54min
【解析】
【分析】（1）根据数据的增减性，以及增减的快慢，即可判断选择的函数，再利用待定系数法求解函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式，求解方程.
【小问1详解】
选择②（，，）作为函数模型．
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，
解得，
所以函数模型的解析式为：；
【小问2详解】
由（1）中函数模型，有，
即，所以，
所以刚泡好的乌龙茶大约放置5.54min能达到最佳饮用口感．
18. 解决下列问题
（1）在平面直角坐标系中，已知，；
（2）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是轴与轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.在斜坐标系中，
①已知，求；
②已知，，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由向量夹角余弦公式可得答案；
（2）①由题目所给信息结合向量模长公式可得答案；②由①可得表达式，后令，结合及函数单调性可得答案.
【小问1详解】
依题意得， ，
则 .所以 与的夹角为；
【小问2详解】
①由题意可知：
，，
则，
∴；
②由题意可知，
.
由①可得：.
令 ,又因为，
且，所以，，
∴， 则.
又因为函数在单调递增，
即：时，函数取到最大值7，
即，则有，∴当时，的最大值为.
19. 从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
（1）求角C的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围；
（3）若，的内心为I，求周长的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求角，选②，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求角；
（2）由条件，结合三角形面积公式可得，根据正弦定理可得，结合内角和关系可得，结合条件确定的范围，由此求结论；
（2）先求出，在中，通过设，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围.
【小问1详解】
选择条件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，
则由余弦定理可得，，又，
所以．
选择条件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因为，则，
即，
因为，因此，
即，又，
所以．
【小问2详解】
由三角形面积公式可得，
的面积，又 ，
所以，
由正弦定理可得，所以，
又，
所以，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，，
所以，
所以，故，
所以 ，
所以的面积的取值范围为.
【小问3详解】
如图，由（1）知，，有，
因为的内心为，所以，于是．
设，则，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，，
所以的周长为，
由，得，所以，
所以周长的取值范围为.
时间/min
0
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2
3
4
水温/℃
100.00
91.00
82.90
75.61
69.05