2023-2024学年福建省福州市六校联考高一上学期期中联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市六校联考高一上学期期中联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∣-1≤x<1},B={-1,0,2}，则A∩B=( )
A. {0}B. {-1,0}C. {-1,1}D. {-1,0,1,2}
2.函数f(x)= x-1x-2的定义域为( )
A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. [1,2)D. [1,2)∪(2,+∞)
3.下列图象中，表示定义域和值域均为[0,1]的函数是
( )
A. B.
C. D.
4.“|x|>1”是“-2( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知集合A=xx=2k-1,k∈Z，B=xx=4k+1,k∈Z，则
( )
A. A∩B=AB. A∪B=BC. B∩∁RA=⌀D. A∩∁RB=⌀
6.已知a>0，b>0，2a+1b=1且a+b≥m恒成立，则实数m的取值范围是
( )
A. -∞,3+2 2B. -∞,6C. -∞,7D. -∞,3+ 2
7.已知函数f(x)=-x2+(2a+1)x,x≤1ax+3,x>1在R上单调递增，则实数a的取值范围是
( )
A. 12,+∞B. (0,+∞)C. 12,3D. (0,3]
8.将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合适(够用且浪费最少)的是(注： 2≈1.414)( )
A. 9mB. 9.5mC. 10mD. 10.5m
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如果a( )
A. a+dbdC. ac2>bc2D. da10.下列说法正确的是( )
A. 当a≠0，不等式a+1a≥2恒成立
B. 当x>1时，x+4x-1的最小值是5
C. 若不等式ax2+2x+c>0 的解集为{x∣-1D. 不等式ax2+bx-1>0 的解集可以是R
11.已知函数fx=xx+1，则下列说法正确的是
( )
A. fx的定义域为x|x≠-1
B. fx的值域为R
C. fx在区间-1,+∞上单调递增
D. f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2022+f12+f13+⋅⋅⋅+f12022的值为40432
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-3.5]=-4,[1.1]=1.已知f(x)=xx2+1，则关于函数g(x)=[f(x)]的叙述中正确的有
( )
A. f(x)是奇函数B. g(x)是奇函数
C. g(x)在区间[1,+∞)上单调递减D. g(x)的值域是{-1,0}
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.命题“∀x∈R，x3-x2+1>0”的否定是__________________．
14.己知幂函数f(x)=m2-4m+1xm-1在区间(0,+∞)上单调递增，则m=__________．
15.已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，若f(1)=0，则不等式f(x-1)>0的解集为__________．
16.设f(x)=(x-a)2,x≤01+1x,x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x∣-3≤x≤5},B={x∣2m-1(1)当m=-3时，求A∪B,∁RA∩B；
(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)求函数f(x)的解析式并求ff-12的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+9x
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)根据函数单调性的定义证明函数f(x)在区间3,+∞上单调递增；
(3)若函数f(x)在区间a2-6,5a上单调递增，写出a的取值范围(直接写出结论)．
20.(本小题12分)
已知命题p:∃x∈R,x2-x+m≤0是假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x-3a)(x-a-2)≤0的解集为A.若x∈B是x∈A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(千部)手机，需另外投入成本R(x)万元，其中╔╔R(x)= \ begin{cases}10x^{2}+100x+800,0
(1)求2023年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式;
(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大?最大利润是多少?
22.(本小题12分)
定义：对于定义域为D的函数f(x)，若∃x0∈D，有fx0=x0，则称x0为f(x)的不动点．己知函数f(x)=ax2+(b-1)x+b-8,a≠0．
(1)当a=1,b=0时，求函数f(x)的不动点；
(2)若∀b∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
(3)设a∈(1,3)且f(x)的两个不动点为x1,x2，且x1fx2=aa-1，求实数b的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解．
解：因为A={x∣-1≤x<1},B={-1,0,2}，
所以A∩B={-1,0}．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：
x-1≥0x-2≠0，解得：x≥1且x≠2，
故函数的定义域是[1,2)∪(2,+∞)，
故选：D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的概念，属于基础题．
根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可．
【解答】
解：选项A：定义域为 [0,1] ，但是值域不是 [0,1] 故错误；
选项B：定义域不是 [0,1] ，值域为 [0,1] ，故错误；
选项C：定义域和值域均为 [0,1] ，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C．
4.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，利充分性以及必要性的定义即可得解．
解：当|x|>1时，取x=2，此时-2当-21成立，故必要性成立；
所以“|x|>1”是“-2故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】通过推理得到B是A的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误．
解：A=xx=2k-1,k∈Z=xx=4k+1,k∈Z∪xx=4k-1,k∈Z，
故B是A的真子集，
故A∩B=B，A∪B=A，B∩∁RA=⌀，A∩∁RB=xx=4k-1,k∈Z≠⌀，
故A，B，D均错误，C正确．
故选：C．
6.【答案】A
【解析】【分析】结合基本不等式与不等式求解a+b的最小值即可得实数m的取值范围，
解：因为a>0，b>0，2a+1b=1，
所以a+b=a+b2a+1b=3+2ba+ab≥3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2b时等号成立，
所以a+bmin=3+2 2，
若a+b≥m恒成立，则m∈-∞,3+2 2．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据f(x)在R上的单调递增，可以列出相应的不等式方程组，从而得解．
解：因为f(x)=-x2+(2a+1)x,x≤1ax+3,x>1在R上单调递增，
所以a>02a+12≥1-1+(2a+1)≤a+3，解得12≤a≤3，
所以实数a的取值范围为12,3．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边为x,y，从而得到周长为L=x+y+ x2+y2，再利用均值不等式即可得解．
解：由题意，设直角三角形的两条直角边为x,y(x>0,y>0)，
则S=12xy=4，则xy=8，
此时三角形框架的周长L=x+y+ x2+y2≥2 xy+ 2xy=4 2+4，
当且仅当x=y时，等号成立，
由于 2≈1.414，所以4 2+4≈4×1.414+4=9.656．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质，是基础题．
根据不等式的基本性质分别判断即可，借助赋值法是解题的关键．
【解答】
解：对于A：令a=-2,b=-1,c=-5,d=-1，显然A错误；
对于B：∵a∴-a>-b>0,-c>-d>0，
∴ac>bd，故B正确；
对于C：∵a0
∴ac2对于D：∵c∴ca>da，故D正确；
故选：BD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】举反例排除AD，利用基本不等式可判断B，利用一元二次不等式的解法判断C，从而得解．
解：对于A，当a=-1时，a+1a=-2，显然a+1a≥2不成立，故 A错误；
对于B，因为x>1，即x-1>0，
所以x+4x-1=x-1+4x-1+1≥2 x-1⋅4x-1+1=5，
当且仅当x-1=4x-1，即x=3时，等号成立，
所以x+4x-1的最小值是5，故B正确；
对于C，因为等式ax2+2x+c>0的解集为x-1所以方程ax2+2x+c=0的两个实数根为x=-1或x=2，且a<0，
所以-1+2=-2a-1×2=ca⇒a=-2c=4，即a+c=2，故 C正确；
对于D，当x=0时，ax2+bx-1=-1<0恒成立，
所以ax2+bx-1>0 的解集不可能是R，故 D错误．
故选：BC．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】变换得到fx=1-1x+1，计算定义域和值域得到 A正确，B错误，根据反比例函数单调性确定C正确，根据fx+f1x=1计算得到 D正确，得到答案．
解：fx=xx+1=1-1x+1，
对选项A：函数fx=xx+1的定义域满足x+1≠0，即x|x≠-1，正确；
对选项B：fx的值域为-∞,1∪1,+∞，错误；
对选项C：fx在区间-1,+∞上单调递增，正确；
对选项D：fx+f1x=xx+1+1x1x+1=xx+1+1x+1=1，f1=12，
故f1+f2+⋅⋅⋅+f2022+f12+f13+⋅⋅⋅+f12022=40432，正确．
故选：ACD
12.【答案】AD
【解析】【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断A，再利用基本不等式求得fx的值域，进而求得g(x)的值域，从而可判断BCD，由此得解．
解：因为f(x)=xx2+1的定义域为R，
又f(-x)=-x(-x)2+1=-xx2+1=-f(x)，所以f(x)数为奇函数，故 A正确；
当x>0时，x+1x≥2 x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立；
所以0当x<0时，x+1x=--x+1-x≤-2 -x⋅1-x=-2，当且仅当x=1x，即x=-1时，等号成立；
所以-12≤f(x)=xx2+1=1x+1x<0，此时g(x)=[f(x)]=-1；
当x=0时，f(x)=0，此时g(x)=[f(x)]=0；
综上，g(x)的值域是{-1,0}，故 D正确；
由上分析可知g(-1)=0,g1=1，显然g(-1)≠-g1，故 B错误；
且g(x)在[1,+∞)上恒有g(x)=0，故 C错误．
故选：AD．
13.【答案】∃x∈R，x3-x2+1≤0
【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论即可．
解：根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“∀x∈R，x3-x2+1>0”的否定为∃x∈R，x3-x2+1≤0．
故答案为：∃x∈R，x3-x2+1≤0．
14.【答案】4
【解析】【分析】利用幂函数的定义与单调性即可得解．
解：因为fx是幂函数，所以m2-4m+1=1，
所以m=4或m=0，
当m=4时，f(x)=x3，显然fx在(0,+∞)上单调递增，满足题意；
当m=0时，f(x)=x-1，fx在(0,+∞)上单调递减，不满足题意；
所以m=4．
故答案为：4．
15.【答案】-∞,0∪1,2
【解析】【分析】先由函数的奇偶性与单调性得到fx的性质，再分类讨论x-1的取值情况，得到关于x的不等式，解之即可得解．
解：因为fx为R上的奇函数，且在(0,+∞)上单调递减，f(1)=0，
所以fx在-∞,0上单调递减，f(-1)=-f(1)=0，且f0=0，
所以对于f(x-1)>0，
当x-1>0，即x>1时，由f(x-1)>f1得x-1<1，解得x<2，故1当x-1<0，即x<1时，由f(x-1)>f-1得x-1<-1，解得x<0，故x<0；
当x-1=0，即x=1时，f(x-1)=0，不满足题意；
综上，f(x-1)>0的解集为-∞,0∪1,2．
故答案为：-∞,0∪1,2．
16.【答案】-1≤a≤0
【解析】【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解．
解：因为f(x)=(x-a)2,x≤01+1x,x>0,
当x>0时，f(x)=1+1x>1；
当x≤0时，f(x)=(x-a)2开口向上，对称轴为x=a，
又f(0)是f(x)的最小值，f(0)=a2，
所以a≤0a2≤1，解得-1≤a≤0，故a的取值范围为-1≤a≤0．
故答案为：-1≤a≤0．
17.【答案】解：(1)
当m=-3时，B=x-7又A={x∣-3≤x≤5}，
则A∪B={x|-75}，
所以∁RA∩B=x-7(2)
因为B⊆A，
若B=⌀，则2m-1≥m+1⇒m≥2，满足题意；
若B≠∅，则2m-1综上，m≥-1．

【解析】【分析】(1)利用集合的交并补运算即可得解；
(2)分类讨论B=⌀、B≠∅，列不等式或不等式组即可得解．
18.【答案】解：(1)
由图可知，函数fx的定义域为-2,3，值域为-2,2．
(2)
当-2≤x≤0时，设fx=kx+b，则f-2=-2k+b=0f0=b=2，解得k=1b=2,
当0≤x≤3时，可设fx=ax-22-2，则f0=4a-2=2，解得a=1，
所以，fx=x+2,-2≤x<0x2-4x+2,0≤x≤3,
则f-12=2-12=32，因此，ff-12=f32=94-6+2=-74．

【解析】【分析】(1)由函数fx的图象可得出函数fx的定义域和值域；
(2)求出函数fx的解析式，代值计算可得ff-12的值．
19.【答案】解：(1)
f(x)为奇函数，理由如下：
因为f(x)=x+9x的定义域为-∞,0∪0,+∞，
又f(-x)=-x+9-x=-x+9x=-f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)
任取x1,x2∈3,+∞，不妨设x1因为fx1-fx2=x1+9x1-x2-9x2=x1-x2x1x2-9x1x2，
因为3≤x10，x1x2-9>0，所以x1-x2x1x2-9x1x2<0，
所以fx1-fx2<0，即fx1所以fx在区间3,+∞上单调递增．
(3)
由(2)同理可得，fx在区间0,3上单调递减，
又f(x)为奇函数，所以fx在区间-∞,-3上单调递增，在-3,0上单调递减，
因为f(x)在区间a2-6,5a上单调递增，
所以a2-6<5a5a≤-3或a2-6<5aa2-6≥3，解得-1所以a的取值范围为-1
【解析】【分析】(1)利用函数奇偶性的判定方法即可得解；
(2)利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
(3)结合(1)(2)的结论，利用函数奇偶性与单调性得到关于a的不等式，解之即可得解．
20.【答案】解：(1)
因为命题p:∃x∈R,x2-x+m≤0是假命题，
则命题¬p:∀x∈R，x2-x+m>0是真命题，
所以Δ=1-4m<0，解得m>14，
故B=mm>14．
(2)
因为x∈B是x∈A的必要不充分条件，则A是B的真子集，
而不等式(x-3a)(x-a-2)≤0，
当3a>2+a，即a>1时，其解集A=x|2+a≤x≤3a，
则a+2>14，即a>-74，又a>1，故a>1；
当3a=2+a，即a=1时，其解集A=3，满足题意；
当3a<2+a，即a<1时，其解集A=x|3a≤x≤2+a，
则3a>14，此时a>112，又a<1，故112综上，a>112 ．

【解析】【分析】(1)根据假命题的否定是真命题，利用二次不等式恒成立即可得解；
(2)对a分三种情况讨论，结合充要条件与集合的包含关系即可得解．
21.【答案】解：(1)当0当x≥50时，y=500x-(504x+10000x-2-6450)-250=-(4x+10000x-2)+6200，
所以y=-10x2+400x-1050,0(2)当0∴当x=20时，ymax=2950，
当x≥50时，
则y=-(4x+10000x-2)+6200=-4(x-2)-10000x-2+6192≤-2 40000+6192=5792，
当且仅当4(x-2)=10000x-2，即x=52时，ymax=5792，
因此当年产量为52(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元．
【解析】本题考查分段函数模型的实际应用和基本不等式的应用，属于中档题．
(1)根据已知条件求得分段函数y的解析式．
(2)结合二次函数的性质、基本不等式求得y的最大值以及此时的产量．
22.【答案】解：(1)
当a=1,b=0时，f(x)=x2-x-8，
令f(x)=x，即x2-x-8=x，解得x=-2或x=4，
所以f(x)的不动点为-2或4．
(2)
令f(x)=x，即ax2+(b-1)x+b-8=x，则ax2+(b-2)x+b-8=0，a≠0，
于是得方程ax2+(b-2)x+b-8=0有两个不等实根，
即Δ=(b-2)2-4a(b-8)>0，则b2-4(a+1)b+4(8a+1)>0，
由题意知，∀b∈R，不等式b2-4(a+1)b+4(8a+1)>0恒成立，
所以Δ'=16(a+1)2-16(8a+1)<0，整理得a2-6a<0，解得0所以实数a的取值范围是(0,6)．
(3)
由(2)知，当a∈(1,3)时，x1x2=b-8a，0又x1x2=x1fx2=aa-1，于是得b-8a=aa-1，则b=a2a-1+8，
令t=a-1，则0所以b=t+12t+8=t+1t+10≥2 t⋅1t+10=12，
当且仅当t=1t，即t=1，a=2时取等号，
所以实数b的最小值为12．

【解析】【分析】(1)利用不动点的定义，得到关于x的方程，解之即可得解；
(2)利用一元二次方程有两个不等实根列式，结合一元二次不等式恒成立即可得解；
(3)利用定义结合韦达定理得到b关于a的表达式，再利用均值不等式即可得解．