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所属成套资源：2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份重难点5-1 数列通项公式的求法（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、重难点5-1数列通项公式的求法8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点5-1 数列通项公式的求法
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【题型2 由Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前项和，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ）
A．是等比数列 B． C． D．
【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是 ．
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列满足，且，若，则正整数为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为 .
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知中，，且，求数列通项公式.
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列的首项为2，等比数列满足且，则的值为 ．
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
（1）试求数列的通项公式；
（2）求.
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列满足：，，则( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，则数列的前2017项和（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
【题型7 三项递推法求通项】
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列中，，若，则（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，求通项.
【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列满足：，，且，则数列的通项公式为 ．
【题型8 不动点法求通项】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）若（，且）求数列的通项公式．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足下列关系：，，，求数列的通项公式．
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．16 D．32
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）数列满足（），则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·高二单元测试）已知数列满足=，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列满足，，数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则该数列的通项公式为 ．
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知，，则数列的通项公式是 ．
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知为数列的前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
满分技巧
若已知数列的前项和与的关系，
求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
满分技巧
适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
1、形如（其中均为常数且）型
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．
2、形如型
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：。
满分技巧
形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p)
要点：①若p＝r，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq \f(q,p)，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
满分技巧
适用于形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
满分技巧
（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
= 1 \* GB3 ①当时，数列为等差数列；
= 2 \* GB3 ②当时，数列为常数数列；
= 3 \* GB3 ③当时，数列为等比数列；
= 4 \* GB3 ④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点5-1 数列通项公式的求法
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
【题型1 观察法求通项】
【例1】（2023·河北张家口·高三尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项
【变式1-1】（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·河南·高三校联考期中）数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《解析九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（ ）
A．561 B．595 C．630 D．666
【题型2 由Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·山东潍坊·高三校考期中）数列前项和，则该数列的第4项为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【变式2-1】（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则 ．
【变式2-2】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ）
A．是等比数列 B． C． D．
【变式2-3】（2023·四川·校联考三模）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且数列的前项和为．若的最大值为，则实数的最大值是 ．
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·福建·高三校联考期中）已知数列满足，且，若，则正整数为（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【变式3-1】（2023·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 .
【变式3-3】（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 .
【变式3-4】（2023·北京·高三汇文中学校考期中）已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为 .
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知中，，且，求数列通项公式.
【变式4-1】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【变式4-2】（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【变式4-3】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式4-4】（2023·河南·高三校联考开学考试）数列的首项为2，等比数列满足且，则的值为 ．
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2023·江苏淮安·盱眙中学校考模拟预测）在数列中，，且，则的通项为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·山西太原·高三统考期中）（多选）已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是递增数列 C． D．
【变式5-4】（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
（1）试求数列的通项公式；
（2）求.
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2022·重庆·高三西南大学附中校考阶段练习）已知数列满足：，，则( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·全国·高三课时练习）已知数列满足，则数列的前2017项和（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列各项均为正数，，且有，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为 ．
【题型7 三项递推法求通项】
【例7】（2023·四川成都·高三成都七中校考期中）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在数列中，，若，则（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【变式7-2】（2023·广东茂名·高三校考阶段练习）已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足，且，求通项.
【变式7-4】（2023·全国·高三对口高考）数列满足：，，且，则数列的通项公式为 ．
【题型8 不动点法求通项】
【例8】（2023·全国·高三专题练习）若（，且）求数列的通项公式．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足性质：对于且求的通项公式.
【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）数列满足下列关系：，，，求数列的通项公式．
【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．求数列的通项公式．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1，，，，3，，…，，…，则7是这个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
2．（2023·天津·高三天津市咸水沽第一中学校考期中）设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
3．（2023·陕西安康·安康中学校考模拟预测）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西汉中·高三统考阶段练习）设数列满足，且，则数列的前9项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津北辰·高三统考期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．16 D．32
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）数列满足（），则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·高二单元测试）已知数列满足=，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽亳州·高二亳州二中校考期中）（多选）已知数列满足，，数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·福建福州·高三校考阶段练习）（多选）已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，则该数列的通项公式为 ．
12．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为 .
13．（2023·广东佛山·高三佛山市第四中学校考开学考试）已知，，则数列的通项公式是 ．
14．（2022·福建漳州·高三校考期中）已知为数列的前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
15．（2023·湖南衡阳·高二校考期末）已知数列满足，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.满分技巧
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
满分技巧
若已知数列的前项和与的关系，
求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
满分技巧
适用于an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
适用于an＋1＝f(n)an，可变形为eq \f(an＋1,an)＝f(n)
要点：利用恒等式an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解
满分技巧
1、形如（其中均为常数且）型
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．
2、形如型
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列；
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：—①，，两边同时乘以得—②，由①②两式相减得，即，构造等比数列。
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：。
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形如an＋1＝eq \f(pan,qan＋r)(p，q，r是常数)，可变形为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(r,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(q,p)
要点：①若p＝r，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列，且公差为eq \f(q,p)，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t型，再利用待定系数法构造新数列求解
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适用于形如型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
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（1）定义：方程的根称为函数的不动点．
利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．
（2）在数列中，已知，且时，（是常数），
= 1 \* GB3 ①当时，数列为等差数列；
= 2 \* GB3 ②当时，数列为常数数列；
= 3 \* GB3 ③当时，数列为等比数列；
= 4 \* GB3 ④当时，称是数列的一阶特征方程，
其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：；
（3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）．
（1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）；
（2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）．
(其中、可利用，求得)
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