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所属成套资源：2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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热点2-4 导数的切线问题（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份热点2-4 导数的切线问题（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点2-4导数的切线问题6题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点2-4导数的切线问题6题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点2-4 导数的切线问题
导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。
【题型1 “在”点P处的切线问题】
【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 .
【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【题型2 “过”点P处的切线问题】
【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数，且为曲线的一条切线，则 ．
【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则 ．
【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C． D．
【题型3 切线的平行、垂直问题】
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 .
【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.
【题型4 切线的条数问题】
【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．或
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 两条曲线的公切线问题】
【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线与是曲线的两条切线，则 ．
【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为 .
【题型6 与切线有关的距离最值】
【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为 ．
【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是
【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，记，则的最小值为 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为
C．的方程为 D．的方程为
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2 D．在轴上的截距之积可能为
11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为 ．
12．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数 ．
13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数的图象在点处的切线为，则的斜率的最小值为 ，此时 .
14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
15．（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）当时，与有公切线，求实数的取值范围.
16．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.满分技巧
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
满分技巧
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
满分技巧
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
满分技巧
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
满分技巧
已知和存在（）条公切线问题
第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；
第二步：求公切线的斜率与；
第三步：写出并整理切线
（1）整理得：
（2）整理得：
第四步：联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
满分技巧
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点2-4 导数的切线问题
导数的切线问题一直是高考数学的中重点内容，从近几年的高考情况来看，今年高考依旧会涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题的形式考察导数的意义、求曲线的切线方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档。
【题型1 “在”点P处的切线问题】
【例1】（2023·广东肇庆·高三校考阶段练习）曲线在处的切线方程为 .
【变式1-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 .
【题型2 “过”点P处的切线问题】
【例2】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式2-1】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知函数，且为曲线的一条切线，则 ．
【变式2-2】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知，直线与曲线相切，则 ．
【变式2-3】（2023·陕西·校联考模拟预测）函数的图象与直线相切，则以下错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C． D．
【题型3 切线的平行、垂直问题】
【例3】（2023·广东茂名·统考二模）已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为 .
【变式3-1】（2023·青海·校联考模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式3-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程.
【题型4 切线的条数问题】
【例4】（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．或
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .
【变式4-3】（2023·广东深圳·高三珠海市第一中学校联考阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 两条曲线的公切线问题】
【例5】（2023·湖北荆州·高三荆州中学校考阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
【变式5-2】（2023·辽宁营口·高三校考阶段练习）已知直线与是曲线的两条切线，则 ．
【变式5-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）若函数与，有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则的最小值为 .
【题型6 与切线有关的距离最值】
【例6】（2023·广西玉林·校联考模拟预测）已知点P是曲线上的一点，则点P到直线的最小距离为 ．
【变式6-1】（2023·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是
【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 .
【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，记，则的最小值为 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·云南红河·统考一模）已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·重庆·高三统考阶段练习）设曲线在处的切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·福建莆田·高三莆田第二十五中学校考阶段练习）已知函数的图象有两条与直线平行的切线，且切点坐标分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川凉山·统考一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
7．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线：相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广东·校联考二模）（多选）已知函数的图象在点处的切线为，则（ ）
A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为
C．的方程为 D．的方程为
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．在轴上的截距之差为2 D．在轴上的截距之积可能为
11．（2023·河北石家庄·高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为 ．
12．（2023·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数 ．
13．（2023·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）设函数的图象在点处的切线为，则的斜率的最小值为 ，此时 .
14．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
15．（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）当时，与有公切线，求实数的取值范围.
16．（2023·河南南阳·高三统考期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.满分技巧
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
满分技巧
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
满分技巧
结合平行垂直的斜率关系解决与切线平行、垂直的问题。
满分技巧
已知，过点，可作曲线的（）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解；
满分技巧
已知和存在（）条公切线问题
第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点；
第二步：求公切线的斜率与；
第三步：写出并整理切线
（1）整理得：
（2）整理得：
第四步：联立已知条件
消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；
满分技巧
利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。
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