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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型，文件包含热点2-4函数的图象与函数的零点10大题型原卷版docx、热点2-4函数的图象与函数的零点10大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型
函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
一、函数图象辨识的方法步骤
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
3、找特殊值： = 1 \* GB3 ①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值； = 2 \* GB3 ②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.
二、作函数图象的一般方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
4、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换．
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；
②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化．
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【题型1 函数图象的画法与图象变换】
【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象
（1）
（2）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，
所以，
所以函数为偶函数，关于轴对称，
因此只需要画时的函数图形即可，，
再利用对称性即可得解.
（2）将函数 的图象向左平移 1个单位，
再将 轴下方的部分沿 轴翻折上去, 即可得到函数 的图象,
如图所示.
【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向下平移两个单位长度 D．向上平移两个单位长度
【答案】BD
【解析】,
可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，
可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.故选：BD
【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，
又将的图象关于轴对称后可得函数，
再向下平移个单位，可得
所以解析式为，故选：C.
【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数的图像可看作是把函数经过以下哪种变换得到（ ）
A．把函数向右平移一个单位
B．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
C．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
D．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
【答案】D
【解析】选项A：函数向右平移一个单位得到；
选项B：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后向左平移一个单位得到；
选项C：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后向左平移一个单位得到；
选项D：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到；故选：D
【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且在单调递增，，，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以的图象关于直线对称，
则的图象关于直线即轴对称，是偶函数，
为偶函数，图象关于轴对称，
所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AD选项.
，
由于在上递增，在上递减，
所以有且仅有个零点：和，另外有，
所以有且仅有个零点：和，有唯一零点：，
所以有且仅有个零点：、和.
当时，，，
从而排除C选项，故B选项正确.故选：B
【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，，，D错误.故选：B.
【题型2 由复杂函数解析式选择图象】
【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴为奇函数，图象关于原点对称，C、D错误；
又∵若时，，
当时，，当时，，
∴当时，，当时，，A错误，B正确；
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】注意到过点，故可排除C，D选项.
因在上单调递增，在上单调递增，
则由复合函数单调性相关知识点可知，在上单调递增，故排除B选项.
故选：A
【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得函数定义域为，已知函数，
，
函数为奇函数，排除A选项；
当时，，，，则，
所以，排除C选项；
当时，，，，则，
所以，排除D选项；故选：B.
【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则其定义域为，
因为，故函数为偶函数，
，，
令，解得，可得下表：
故选：A.
【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数在,上的大致图像可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】①当时，，，函数为奇函数，
由时，时等性质可知A选项符合题意；
②当时，令，作出两函数的大致图象，
由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；
当时，，时，，
若在内无交点，则在恒成立，
则图象如C选项所示，故C选项符合题意；
若在内有两交点，同理得B选项符合题意.故选：ABC.
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列可能是的解析式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故错误；
B.因为，且，则在R上递增，故正确；
C.的定义域为关于原点对称，
又 ，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；
D. 的定义域为关于原点对称，
又，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；
故选：B
【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题图：的定义域为，排除A；
当，
故是奇函数，排除B.
当，
故是奇函数，排除C.故选：D
【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当时，；
对CD：定义域关于原点对称，且都有，均为偶函数，故错误；
对A：当时，，故错误；故选：B.
【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，
对于A：由得：，
为偶函数，故可排除A；
对于D：由得：，
为偶函数，故可排除D；
由图知图象不经过点，
而对于C：，故可排除C；故选：B
【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数，，，则图像为下图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，该函数为奇函数，
由已知图象可得函数的图象不关于原点对称，故A不符合；
对于B，该函数为奇函数，
由已知图象可得函数的图象不关于原点对称，故B不符合；
对于C，由于，所以，
由于已知图象的值域中存在负值，故C不符合；
对于D，不是奇函数，，所以，故D图象符合.故选：D.
【题型4 根据实际问题作函数图象】
【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，
结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，
而变化变快，故对应的图象为B，故选B．
【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】在a中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A正确；
在b中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；
在c中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C错误；
在d中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D错误.
故选：AB.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当时，有，的图象关于点对称，排除D，
故选：A
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,平面,且,,点在棱上运动,设的长度为,若的面积为,则的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作于点,作于点,连接到,
由已知可得,且平面,
所以平面,又平面,所以,
平面，平面,
平面，,
设,
则,
,
,
故,
其函数图像是关于直线对称的图像且开口上,故选项B,C,D错误．故选:A．
【题型5 函数零点所在区间问题】
【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以函数最多只有一个零点，
因为，
，
，
，
所以函数零点所在的区间是.故选：C
【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4)
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.故选：A．
【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数有零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数与均在上单调递增，
所以在上单调递增.
要使函数有零点，则只需要即可，
即，解得.故选：D.
【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.
【答案】
【解析】的零点可以转化为函数和图象交点的横坐标，
图象如右所示，由图可知共三个零点，
，，所以在上存在一个零点；
，则在上存在一个零点；
，，则在上存在一个零点；
所以.
【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】设在区间上零点为，则，
所以点在直线上，
由，其中О为坐标原点．
又，
记函数，，
因为，所以在上单调递增
所以最小值为，所以，故选：BCD.
【题型6 函数的零点与零点个数问题】
【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数，满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意得的周期为2，
作出与的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C
【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：
由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．故选：B．
【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意只有，，则方程实数根的个数为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【解析】由于函数的图象关于直线对称，当，时，,
对任意都有，得，
所以函数在，上以4为周期，,
做出函数一个周期，的图象：
当时， ，由得：
令，则，
因为，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，
所以共有个交点，
当时， ，由得：,
令，得，由上述可知，有个交点，
故有个交点，
又时，，
所以方程实数根的个数为．故选：D．
【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】,
是上的偶函数，,
①当时,令,得或，
令,得.
在和上单调递增,在上单调递减.
,使得在上有两个零点.
②当时,，
在上没有零点，
由①②及是偶函数可得在上有三个零点.故选：D.
【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意函数 的定义域为，且，
，
令，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
故综合上述,曲线与的交点个数为3，故选：B
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】
【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，即，
令，当时，，
，令得：或，
结合，所以，令得：，
结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，
，当时，，且，
当时，，则恒成立，
单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：
要想有3个零点，则故选：B
【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴函数关于直线对称，又为定义在R上的偶函数，
故函数关于直线对称，
作出函数与直线的图象，
要使关于x的方程恰有5个解，
则函数与直线有5个交点，
∴，即.故选：B.
【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图所示，画出函数的图象.
结合图象可知，
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设函数，根据题意函数恰有3个零点，
即为函数的图象与直线有3个公共点，
当时，可得，令，得，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由，作出的图象，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是．
【题型8 复合函数的零点问题】
【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为______.
【答案】2
【解析】先由函数画出草图如图，函数的零点为，令，得，
函数的零点个数就是方程解的个数，也就是函数的
图像与直线交点的个数，
由图可知函数的图像与直线有两个不同的交点，，
的零点个数为2，
【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数，关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】设，则，当时，,当时，有两解．
则原方程等价为，即．
画出以及的图象，
由图象可知，（1）当时，，此时方程恰有2个不同的实根；
（2）当时，或或，
当时，有两个不同的解，
当时，有两个不同的解，
当时，只有一个解，所以此时共有5个不同的解．
（3）当时，或或或，此时对应着8个解．
（4）当时，或．此时每个对应着两个，所以此时共有4个解．
综上正确的是①③④．故选：C
【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，讨论函数的零点个数．
【答案】（1），；（2）答案详见解析
【解析】（1），
由，，
解得，，
故递增区间为，.
（2），则，则，
所以，
画出在区间上的图象如下图所示，
令，则，，
由，结合图象得：
①当时，，，即，此时零点唯一；
②当时，或或，此时三个零点；
③当时，或或，此时两个零点；
④当时，或或（无解），此时只有一个零点；
⑤当时，或或，此时两个零点；
⑥当，时，或或，此时有两个零点；
⑦当时，或或（无解），此时有一个零点；
综上所述：当时，只有一个零点；
时，只有两个零点；，有三个零点.
【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数，方程（其中）有6个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当时，有，
故在上图象与在上的图象关于对称，
故在上有3个不同的实数根.
下面仅在上讨论的解.
因为，故或，
当时，则有：，解得.
因为方程在上有3个不同的实数根.
故在上有2个不同的实数根且与相异，
故有两个不同的解，整理得到有两个不同的解.
设，则，解得，
故.故选：C.
【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，
即或，
作出函数的图象，
结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，
所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.
【题型9 函数零点的大小与范围】
【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知，函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为单调递增,
且
由零点的存在性定理可知有唯一零点且;
因为在单调递增,
且,
由零点的存在性定理可知有唯一零点且;
因为在单调递增，且,
由零点的存在性定理可知有唯一零点，所以.故选:C.
【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的零点分别为，则的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得即为的图象分别与，，的交点的横坐标，
如图，画出函数图象，由图可得，.故选：A.
【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则方程，在区间[-5,7]上所有解的和为（ ）
A ．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】第一步：判断函数与的图象的特征并作出图象
∵为奇函数，∴，即，
∴的图象关于点(1,0)对称．
又
，
∴是周期为4的周期函数，显然，函数的图象关于点(1,0)对称，
在同一直角坐标系中，分别作出函数与函数的图象如图所示．
（画出函数图象，注意“草图不草”）
第二步：确定交点个数，进而求解
由可知，函数与的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，
∴方程在[-5,7]上所有解的和为．故选：B
【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数若直线与的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为，则（ ）
A．12 B．16 C．18 D．32
【答案】C
【解析】作出函数的图像如图所示：
的图像关于直线对称.由图可知：，且.
所以.
由可得：，所以.
同理可得，所以.
于是.故选：C
【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数的两个零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】令，则，
令，，
则函数的两个零点为，
即为函数，交点的横坐标，
作图如下图所示：
故，故A正确；
根据题意得，即，
因为，所以，
故，即，
所以，即，所以，故B正确；
因为，所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
又因，所以，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：ABD.
【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数，如果互不相等的实数，满足，则实数的取值范围_____.
【答案】
【解析】，画出函数图象，如图所示：
不妨设，其中，故，且，所以的取值范围是.
【题型10 二分法及其应用】
【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又,A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
，C错误.故选：B.
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知，，，，，
根据二分法可知该近似解所在的区间是．故选：C.
【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，
即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，
故x1，x2，x4可以用二分法求解，
但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．故选：C
【变式10-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分函数值如下表所示：
那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89
【答案】B
【解析】根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57，故选：B
【变式10-4】（2022·黑龙江·高三嫩江市高级中学开学考试）已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由求解方程近似解的步骤可知，需将区间等分4次．
（建议用时：60分钟）
1．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，其定义域为关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，
当时，，，，即，故排除D，故选：B.
2．（2022秋·四川·高三川大附中校考期中）方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，设 ，
则方程的解等同于函数 的零点；
，所以函数是单调递增的，
又 ， ， ，
∴函数的零点在 内；故选：C.
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
所以只需把函数的图像向上平移个单位长度即可.故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，当，即时，；
当，即时，
所以
结合函数图象可知：自变量的分界线为，故排除A,C,D故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知为偶函数，由，则为奇函数，
由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，
所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意.
因为当时，无意义，所以C不符合题意.故选：D.
6．（2022秋·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考阶段练习）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，关于原点对称
，
函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；
又，故排除D选项；
，
当时，，即在上单调递增，故排除C选项.故选：B.
7．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第四中学校考三模）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（ ）
A．，，为“同形”函数
B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
【答案】A
【解析】，，
故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、
向右平移1个单位得到，
故，，为“同形”函数．故选：A．
8．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）函数若方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程有三个不同的实数根
函数与的图象有三个不同的交点．
当时，，令，得，
则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，且，
则函数的图象如图所示：
要使函数与的图象有三个不同的交点，需，
故实数m的取值范围是．故选：D．
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）（多选）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．
10．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）定义域和值域均为（常数）的函数和图像如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解
C．方程有且仅有7个解 D．方程有且仅有1个解
【答案】ACD
【解析】对于A中，设，则由，即，
由图像知方程有三个不同的解，设其解为，，，
由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程，，分别有且仅有一个解，
所以有且仅有3个解，故A正确；
对于B中，设，则由，即，
由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，
则直线与函数只有2个交点，
所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；
对于C中，设，若，即，
方程有三个不同的解，设其解为，，，设，
则由函数图像，可知，，
由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，
直线与函数只有1个交点，
所以或或共有7个解，
所以共有7个解，故C正确；
对于D中，设，若，即，
由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，
因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：ACD.
11．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）函数的零点的个数为____．
【答案】２
【解析】当时，
根据二次函数的性质可知，此时单调递减，零点为
当时，
∵单调递增，单调递增，
∴单调递增.
,
由零点存在定理，在区间必有唯一零点.
综上所述，函数的零点个数为２．
12．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知定义域为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】定义为的奇函数满足：，
方程在上恰有三个根，
即直线与函数的图像有三个交点，
由是上的奇函数，则，
当时，，则，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增，
结合奇函数的对称性和“周期现象”得在，上的图像如下：
由于直线过定点，
如图，连接，两点作直线，
过点作的切线，
设切点，，其中，，则斜率，
切线过点，
则，即，则，
当直线绕点在与之间旋转时，
直线与函数在，上的图像有三个交点，故．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示，令，则，
若函数恰有4个不同的零点，
则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，
14．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】当，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，，
作出函数的大致图象，
设，则有两个不同的实数根，
由可知，与异号，
不妨设，要使方程有3个不同的实数根，
则或，
①当时，，得；
②当时，设，则，得，
综上，的取值范围为．
15．（2022·全国·高三专题练习）设为实数，函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，讨论在上的零点个数.
【答案】（1），；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）有2个零点
【解析】（1），,
当时，不等式为恒成立，满足条件，
当时，不等式为，，
综上所述的取值范围为，；
（2）当时，函数，
其对称轴为，此时在时是减函数，
当时，，
其对称轴为：，在时是增函数，
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，
（3）设g(x)=f(x)+|x|=x2+(2−2a)x,x⩾ax2−2ax+2a,0⩽x当时，其对称轴为，
当时，其对称轴为，
当时，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
，（a），
又，（a）在上单调递减，
（a）（2），
在和上各有一个零点，
综上所述时，在上有2个零点.
16．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）若函数的定义域为，满足，，且在区间上，只有和两个零点，
（1）若，求和的值；
（2）试判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）试求函数在闭区间上的零点个数，并说明理由．
【解析】（1）由题意，函数满足，，
且，可得，
.
（2）函数为奇函数，
证明如下：由函数的定义域为，关于原点对称，
任取，则，可得，
即，所以函数为奇函数.
（3）由，可得
因此函数是以8为周期的周期函数，
因为函数在区间上，只有和两个零点，
所以在内无零点，否则内有其他零点与题目矛盾，
因为函数是奇函数，
所以函数在闭区间上共有个零点.极小值
极小值
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型
函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
一、函数图象辨识的方法步骤
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
3、找特殊值： = 1 \* GB3 ①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值； = 2 \* GB3 ②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.
二、作函数图象的一般方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
4、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换．
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；
②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化．
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
【题型1 函数图象的画法与图象变换】
【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象
（1）
（2）
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，
所以，
所以函数为偶函数，关于轴对称，
因此只需要画时的函数图形即可，，
再利用对称性即可得解.
（2）将函数 的图象向左平移 1个单位，
再将 轴下方的部分沿 轴翻折上去, 即可得到函数 的图象,
如图所示.
【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向下平移两个单位长度 D．向上平移两个单位长度
【答案】BD
【解析】,
可将函数的图象向上平移两个单位长度得到，
可将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到.故选：BD
【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，
又将的图象关于轴对称后可得函数，
再向下平移个单位，可得
所以解析式为，故选：C.
【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数的图像可看作是把函数经过以下哪种变换得到（ ）
A．把函数向右平移一个单位
B．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
C．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位
D．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变
【答案】D
【解析】选项A：函数向右平移一个单位得到；
选项B：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后向左平移一个单位得到；
选项C：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后向左平移一个单位得到；
选项D：先把函数的图像关于轴对称得到，
然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到；故选：D
【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且在单调递增，，，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以的图象关于直线对称，
则的图象关于直线即轴对称，是偶函数，
为偶函数，图象关于轴对称，
所以是偶函数，图象关于轴对称，排除AD选项.
，
由于在上递增，在上递减，
所以有且仅有个零点：和，另外有，
所以有且仅有个零点：和，有唯一零点：，
所以有且仅有个零点：、和.
当时，，，
从而排除C选项，故B选项正确.故选：B
【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，，A错误；
对于B，，，B正确；
对于C，，，C错误；
对于D，，，D错误.故选：B.
【题型2 由复杂函数解析式选择图象】
【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴为奇函数，图象关于原点对称，C、D错误；
又∵若时，，
当时，，当时，，
∴当时，，当时，，A错误，B正确；
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】注意到过点，故可排除C，D选项.
因在上单调递增，在上单调递增，
则由复合函数单调性相关知识点可知，在上单调递增，故排除B选项.
故选：A
【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易得函数定义域为，已知函数，
，
函数为奇函数，排除A选项；
当时，，，，则，
所以，排除C选项；
当时，，，，则，
所以，排除D选项；故选：B.
【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，则其定义域为，
因为，故函数为偶函数，
，，
令，解得，可得下表：
故选：A.
【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数在,上的大致图像可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】①当时，，，函数为奇函数，
由时，时等性质可知A选项符合题意；
②当时，令，作出两函数的大致图象，
由图象可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项；
当时，，时，，
若在内无交点，则在恒成立，
则图象如C选项所示，故C选项符合题意；
若在内有两交点，同理得B选项符合题意.故选：ABC.
【题型3 根据函数图象选择解析式】
【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列可能是的解析式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故错误；
B.因为，且，则在R上递增，故正确；
C.的定义域为关于原点对称，
又 ，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；
D. 的定义域为关于原点对称，
又，则是奇函数，图象关于原点对称，故错误；
故选：B
【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题图：的定义域为，排除A；
当，
故是奇函数，排除B.
当，
故是奇函数，排除C.故选：D
【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当时，；
对CD：定义域关于原点对称，且都有，均为偶函数，故错误；
对A：当时，，故错误；故选：B.
【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，
对于A：由得：，
为偶函数，故可排除A；
对于D：由得：，
为偶函数，故可排除D；
由图知图象不经过点，
而对于C：，故可排除C；故选：B
【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数，，，则图像为下图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，该函数为奇函数，
由已知图象可得函数的图象不关于原点对称，故A不符合；
对于B，该函数为奇函数，
由已知图象可得函数的图象不关于原点对称，故B不符合；
对于C，由于，所以，
由于已知图象的值域中存在负值，故C不符合；
对于D，不是奇函数，，所以，故D图象符合.故选：D.
【题型4 根据实际问题作函数图象】
【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”；
当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”；
当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，
结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.
【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，
而变化变快，故对应的图象为B，故选B．
【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】在a中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A正确；
在b中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；
在c中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C错误；
在d中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D错误.
故选：AB.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当时，有，的图象关于点对称，排除D，
故选：A
【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑中,平面,且,,点在棱上运动,设的长度为,若的面积为,则的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作于点,作于点,连接到,
由已知可得,且平面,
所以平面,又平面,所以,
平面，平面,
平面，,
设,
则,
,
,
故,
其函数图像是关于直线对称的图像且开口上,故选项B,C,D错误．故选:A．
【题型5 函数零点所在区间问题】
【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递减，
所以函数最多只有一个零点，
因为，
，
，
，
所以函数零点所在的区间是.故选：C
【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．(1，2) B．(2，3) C．(3，3.5) D．(3.5，4)
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
因为，，
所以，函数只有一个零点，且位于区间内.故选：A．
【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数有零点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数与均在上单调递增，
所以在上单调递增.
要使函数有零点，则只需要即可，
即，解得.故选：D.
【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知，函数的零点从小到大依次为，若），请写出所有的所组成的集合___________.
【答案】
【解析】的零点可以转化为函数和图象交点的横坐标，
图象如右所示，由图可知共三个零点，
，，所以在上存在一个零点；
，则在上存在一个零点；
，，则在上存在一个零点；
所以.
【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BCD
【解析】设在区间上零点为，则，
所以点在直线上，
由，其中О为坐标原点．
又，
记函数，，
因为，所以在上单调递增
所以最小值为，所以，故选：BCD.
【题型6 函数的零点与零点个数问题】
【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数，满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】由题意得的周期为2，
作出与的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C
【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：
由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．故选：B．
【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意只有，，则方程实数根的个数为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】D
【解析】由于函数的图象关于直线对称，当，时，,
对任意都有，得，
所以函数在，上以4为周期，,
做出函数一个周期，的图象：
当时， ，由得：
令，则，
因为，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，
所以共有个交点，
当时， ，由得：,
令，得，由上述可知，有个交点，
故有个交点，
又时，，
所以方程实数根的个数为．故选：D．
【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】,
是上的偶函数，,
①当时,令,得或，
令,得.
在和上单调递增,在上单调递减.
,使得在上有两个零点.
②当时,，
在上没有零点，
由①②及是偶函数可得在上有三个零点.故选：D.
【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数 的定义域为，且 ， ，则曲线与的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意函数 的定义域为，且，
，
令，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
依次类推，可发现此时当，且x依次取时，
函数的值依次为 ，即每四个值为一循环，
此时曲线与的交点为；
故综合上述,曲线与的交点个数为3，故选：B
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】
【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．
作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．
易知：．
【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，即，
令，当时，，
，令得：或，
结合，所以，令得：，
结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，
，当时，，且，
当时，，则恒成立，
单调递增，且当时，，当时，，
画出的图象，如下图：
要想有3个零点，则故选：B
【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴函数关于直线对称，又为定义在R上的偶函数，
故函数关于直线对称，
作出函数与直线的图象，
要使关于x的方程恰有5个解，
则函数与直线有5个交点，
∴，即.故选：B.
【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图所示，画出函数的图象.
结合图象可知，
【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数恰有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设函数，根据题意函数恰有3个零点，
即为函数的图象与直线有3个公共点，
当时，可得，令，得，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由，作出的图象，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是．
【题型8 复合函数的零点问题】
【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数，则函数的零点个数为______.
【答案】2
【解析】先由函数画出草图如图，函数的零点为，令，得，
函数的零点个数就是方程解的个数，也就是函数的
图像与直线交点的个数，
由图可知函数的图像与直线有两个不同的交点，，
的零点个数为2，
【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数，关于x的方程，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】设，则，当时，,当时，有两解．
则原方程等价为，即．
画出以及的图象，
由图象可知，（1）当时，，此时方程恰有2个不同的实根；
（2）当时，或或，
当时，有两个不同的解，
当时，有两个不同的解，
当时，只有一个解，所以此时共有5个不同的解．
（3）当时，或或或，此时对应着8个解．
（4）当时，或．此时每个对应着两个，所以此时共有4个解．
综上正确的是①③④．故选：C
【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，讨论函数的零点个数．
【答案】（1），；（2）答案详见解析
【解析】（1），
由，，
解得，，
故递增区间为，.
（2），则，则，
所以，
画出在区间上的图象如下图所示，
令，则，，
由，结合图象得：
①当时，，，即，此时零点唯一；
②当时，或或，此时三个零点；
③当时，或或，此时两个零点；
④当时，或或（无解），此时只有一个零点；
⑤当时，或或，此时两个零点；
⑥当，时，或或，此时有两个零点；
⑦当时，或或（无解），此时有一个零点；
综上所述：当时，只有一个零点；
时，只有两个零点；，有三个零点.
【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数，方程（其中）有6个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当时，有，
故在上图象与在上的图象关于对称，
故在上有3个不同的实数根.
下面仅在上讨论的解.
因为，故或，
当时，则有：，解得.
因为方程在上有3个不同的实数根.
故在上有2个不同的实数根且与相异，
故有两个不同的解，整理得到有两个不同的解.
设，则，解得，
故.故选：C.
【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
当时，方程为，即，
作出函数及的图象，
由图象可知方程的根为或，
即或，
作出函数的图象，
结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
当时，方程为，即，
由图象可知方程的根，即，
结合函数的图象，可得方程有四个根，
所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.
【题型9 函数零点的大小与范围】
【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知，函数，，的零点分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为单调递增,
且
由零点的存在性定理可知有唯一零点且;
因为在单调递增,
且,
由零点的存在性定理可知有唯一零点且;
因为在单调递增，且,
由零点的存在性定理可知有唯一零点，所以.故选:C.
【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的零点分别为，则的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可得即为的图象分别与，，的交点的横坐标，
如图，画出函数图象，由图可得，.故选：A.
【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则方程，在区间[-5,7]上所有解的和为（ ）
A ．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】第一步：判断函数与的图象的特征并作出图象
∵为奇函数，∴，即，
∴的图象关于点(1,0)对称．
又
，
∴是周期为4的周期函数，显然，函数的图象关于点(1,0)对称，
在同一直角坐标系中，分别作出函数与函数的图象如图所示．
（画出函数图象，注意“草图不草”）
第二步：确定交点个数，进而求解
由可知，函数与的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，
∴方程在[-5,7]上所有解的和为．故选：B
【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数若直线与的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为，则（ ）
A．12 B．16 C．18 D．32
【答案】C
【解析】作出函数的图像如图所示：
的图像关于直线对称.由图可知：，且.
所以.
由可得：，所以.
同理可得，所以.
于是.故选：C
【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数的两个零点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】令，则，
令，，
则函数的两个零点为，
即为函数，交点的横坐标，
作图如下图所示：
故，故A正确；
根据题意得，即，
因为，所以，
故，即，
所以，即，所以，故B正确；
因为，所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
又因，所以，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.故选：ABD.
【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数，如果互不相等的实数，满足，则实数的取值范围_____.
【答案】
【解析】，画出函数图象，如图所示：
不妨设，其中，故，且，所以的取值范围是.
【题型10 二分法及其应用】
【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
【答案】B
【解析】，又,A错误；
，又，
满足精度为的近似值在内，则B正确，D错误；
，C错误.故选：B.
【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知，，，，，
根据二分法可知该近似解所在的区间是．故选：C.
【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数的零点时，不可能求出的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由二分法的思想可知，零点x1，x2，x4左右两侧的函数值符号相反，
即存在区间(a，b)，使得x1，x2，x4∈(a，b)，f(a)·f(b)<0，
故x1，x2，x4可以用二分法求解，
但x3∈(a，b)时均有f(a)·f(b)>0，故不可以用二分法求该零点．故选：C
【变式10-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的部分函数值如下表所示：
那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（ ）
A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89
【答案】B
【解析】根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57，故选：B
【变式10-4】（2022·黑龙江·高三嫩江市高级中学开学考试）已知f(x)＝－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由求解方程近似解的步骤可知，需将区间等分4次．
（建议用时：60分钟）
1．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，其定义域为关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，
当时，，，，即，故排除D，故选：B.
2．（2022秋·四川·高三川大附中校考期中）方程的解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，设 ，
则方程的解等同于函数 的零点；
，所以函数是单调递增的，
又 ， ， ，
∴函数的零点在 内；故选：C.
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
所以只需把函数的图像向上平移个单位长度即可.故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，当，即时，；
当，即时，
所以
结合函数图象可知：自变量的分界线为，故排除A,C,D故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知为偶函数，由，则为奇函数，
由图象可知，该函数是奇函数，因为是偶函数，是奇函数，
所以是非奇非偶函数，A，B不符合题意.
因为当时，无意义，所以C不符合题意.故选：D.
6．（2022秋·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考阶段练习）函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，关于原点对称
，
函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A选项；
又，故排除D选项；
，
当时，，即在上单调递增，故排除C选项.故选：B.
7．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第四中学校考三模）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：，，，则（ ）
A．，，为“同形”函数
B．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
C．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
D．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数
【答案】A
【解析】，，
故，的图象可分别由的图象向左平移个单位、
向右平移1个单位得到，
故，，为“同形”函数．故选：A．
8．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）函数若方程有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程有三个不同的实数根
函数与的图象有三个不同的交点．
当时，，令，得，
则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，且，
则函数的图象如图所示：
要使函数与的图象有三个不同的交点，需，
故实数m的取值范围是．故选：D．
9．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习）（多选）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称
C．若则 D．有且仅有两个零点
【答案】ABD
【解析】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象，
再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位，
最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图，
由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确；
，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图，
如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误，
与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确．故选：ABD．
10．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）定义域和值域均为（常数）的函数和图像如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解
C．方程有且仅有7个解 D．方程有且仅有1个解
【答案】ACD
【解析】对于A中，设，则由，即，
由图像知方程有三个不同的解，设其解为，，，
由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程，，分别有且仅有一个解，
所以有且仅有3个解，故A正确；
对于B中，设，则由，即，
由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，
则直线与函数只有2个交点，
所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；
对于C中，设，若，即，
方程有三个不同的解，设其解为，，，设，
则由函数图像，可知，，
由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，
直线与函数只有1个交点，
所以或或共有7个解，
所以共有7个解，故C正确；
对于D中，设，若，即，
由图像可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，
因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：ACD.
11．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）函数的零点的个数为____．
【答案】２
【解析】当时，
根据二次函数的性质可知，此时单调递减，零点为
当时，
∵单调递增，单调递增，
∴单调递增.
,
由零点存在定理，在区间必有唯一零点.
综上所述，函数的零点个数为２．
12．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知定义域为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是________．
【答案】
【解析】定义为的奇函数满足：，
方程在上恰有三个根，
即直线与函数的图像有三个交点，
由是上的奇函数，则，
当时，，则，
当时，，当时，，
在上递减，在上递增，
结合奇函数的对称性和“周期现象”得在，上的图像如下：
由于直线过定点，
如图，连接，两点作直线，
过点作的切线，
设切点，，其中，，则斜率，
切线过点，
则，即，则，
当直线绕点在与之间旋转时，
直线与函数在，上的图像有三个交点，故．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示，令，则，
若函数恰有4个不同的零点，
则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，
14．（2023·广西梧州·统考一模）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】当，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，，
作出函数的大致图象，
设，则有两个不同的实数根，
由可知，与异号，
不妨设，要使方程有3个不同的实数根，
则或，
①当时，，得；
②当时，设，则，得，
综上，的取值范围为．
15．（2022·全国·高三专题练习）设为实数，函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，讨论在上的零点个数.
【答案】（1），；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）有2个零点
【解析】（1），,
当时，不等式为恒成立，满足条件，
当时，不等式为，，
综上所述的取值范围为，；
（2）当时，函数，
其对称轴为，此时在时是减函数，
当时，，
其对称轴为：，在时是增函数，
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，
（3）设g(x)=f(x)+|x|=x2+(2−2a)x,x⩾ax2−2ax+2a,0⩽x
当时，其对称轴为，
当时，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
，（a），
又，（a）在上单调递减，
（a）（2），
在和上各有一个零点，
综上所述时，在上有2个零点.
16．（2022秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）若函数的定义域为，满足，，且在区间上，只有和两个零点，
（1）若，求和的值；
（2）试判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）试求函数在闭区间上的零点个数，并说明理由．
【解析】（1）由题意，函数满足，，
且，可得，
.
（2）函数为奇函数，
证明如下：由函数的定义域为，关于原点对称，
任取，则，可得，
即，所以函数为奇函数.
（3）由，可得
因此函数是以8为周期的周期函数，
因为函数在区间上，只有和两个零点，
所以在内无零点，否则内有其他零点与题目矛盾，
因为函数是奇函数，
所以函数在闭区间上共有个零点.极小值
极小值
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
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