山东省济宁市梁山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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友情提示：
亲爱的同学，这份试卷将展示你的学识与才华，记录你的智慧与收获．相信你独特的思考、个性化的体验、富有创意的表达一定是最棒的！
你将要解答的这份试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，36分，第Ⅱ卷为非选择题，84分，试题满分120分，考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑．如需改动，须先用橡皮擦干净，再涂改其他答案．第Ⅱ卷在答题卷上作答，答题时按照题目顺序在各题目的答题区域内作答．考试时，不允许使用计算器．
另外，答题前请务必在答题卡及试卷的规定位置将自己的姓名、考试号、考试科目、座号等填写（涂）准确吆！
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、精心选一选，相信自己的判断力！（本题共12小题，每小题3分）
注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦！
1. 二次根式在实数范围内有意义，则取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示有理数，解题的关键是直接利用二次根式有意义的条件得到，解之，结合数轴得出答案．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示为．
故选：D．
2. 第26届杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（ ）
A. 4B. 5C. 7D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题中棋盘中黑、白两棋子的位置，构建直角三角形，利用勾股定理即可得到答案，熟练掌握网格中线段长度的求法是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
，即黑、白两棋子的距离为，
故选：B．
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母”，进行判断即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
4. 在中，斜边，则的值为（ ）
A. 15B. 25C. 50D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求得，即可求得的值．
【详解】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：C．
5. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ）
A. 直角三角形两个锐角互余B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于D. 勾股定理
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、，
∵，
∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．
6. 如图，四边形是菱形，，，于点，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键．
7. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
8. 如图，四边形是菱形，过点D的直线分别交，的延长线于点E，F，若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
，
故选：B．
9. 如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，则线段的长为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用三角形中位线定理可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，本题得以解决．
【详解】解：∵在矩形中，，O是矩形的对角线的中点，P是边的中点，
∴，
∴，
∵点O为的中点，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键．
【详解】解：A、与，被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
B、与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D、与，被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
11. 如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，连接小正方形的三个顶点，得到△ABC，则△ABC的面积为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得＝S正方形DEFA－，代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2，
∴由题意可得，
＝S正方形DEFA－
故选：B．
【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到＝S正方形DEFA－．
12. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（ ）

A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形的面积，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用矩形的性质求解面积是解本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、认真填一填，试一试自己的身手！本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填写最后结果，请把答案填写在答案卷中横线上．
13. 若，且为整数，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，被开方数越大，值越大，由此即可求解．
【详解】解：∵，且为整数，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的知识，掌握二次根式的性质，化简是解题的关键．
14. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且，则点A表示的实数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长度，也就求出了的长，结合图中点A的位置确定点A表示的数．
【详解】解：由题知，在直角三角形中，根据勾股定理得，
直角三角形斜边，
则，
∵如图，点A是以原点O为圆心为半径作弧与数轴的交点，
∴点A表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理确定斜边的长度，即确定的长度是解答本题的关键．
15. 如图，将一副三角尺叠放在一起，若cm，则的长为______cm．

【答案】
【解析】
【分析】由的直角三角形的特点可得，根据可得，进一步根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了的直角三角形、勾股定理等．推出是解题关键．
16. 如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为_________________米．
【答案】2
【解析】
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴BD=OD-OB=8-6=2（米），
故答案为：2．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
17. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
【答案】22.5°##22.5度
【解析】
【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC．
【详解】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
∴∠BAC=45°，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=67.5°，
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠EBC=22.5°，
故答案为：22.5°．
【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数．
18. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个不同的正方形组成．设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形色块图的面积为_____________.
【答案】143
【解析】
【分析】由题可知，由于矩形色块图中全是正方形，则右下角两个小正方形一样大小，而顺时针方向每个大正方形边长都增大1，等量关系：两个略小正方形的边长和+第三大的正方形的边长=次大正方形的边长+大正方形的边长．
【详解】解：设右下角的小正方形边长为x，矩形的长（下边）=2x+（x+1），矩形的长（上边）=（x+1+1）+（x+1+1+1），则
2x+（x+1）=（x+1+1）+（x+1+1+1），
解得x=4，
矩形的长=4+4+5=13，
宽=4+7=11，
面积=11×13=143．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分66分）请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 先化简，再求值：已知：，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键．
20. 如图，的周长为相交于点交于点，求的周长．
【答案】
【解析】
【分析】由平行四边形的周长可得，由其对角线互相平分可知，根据线段垂直平分线的性质，等量代换可得的周长．
【详解】解： 的周长为,
，
相交于点，
，
又交于点,
．
的周长,
的周长为
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及线段垂直平分线的性质，灵活的利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一性质是解题的关键.
21. 如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．
已知：平行四边形．
求作：点，使点为边的中点．
作法：如图，
①作射线；
②以点为圆心，长为半径画弧，
交延长线于点；
③连接交于点．
所以点就是所求作的点．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，．
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是平行四边形 （填推理的依据）．
（填推理的依据）．
点为所求作的边的中点．
【答案】（1）见解析；（2），一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图的方法，补全图形即可；
（2）如图（见解析），根据平行四边形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）根据尺规作图方法，点即为所求，补全图形如下：
（2）如图，连接，
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
（平行四边形的对角线互相平分）
点为所求作的边的中点
故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质等知识点，掌握判定方法与性质是解题关键．
22. 如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
,
在中，，
，
即,
,
的面积为,
的面积为,
阴影部分面积为，
故阴影部分面积为24．
23. 在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）根据两组对边分别平行证明该四边形为平行四边形．
（2）利用等面积法求出CD长．
【详解】（1）
证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180°，
∴AB//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴平行四边形的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∵AF＝2AE，
∴BC＝2CD＝6，
∴CD＝3．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和等面积法的使用，掌握这两点是解题关键．
24. 阅读材料：
规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与．
（1）数对的一对“对称数对”是________与________；
（2）若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？
（3）若数对一个“对称数对”是，求、的值．
【答案】（1），；
（2）
（3），或，
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值；
（3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值．
【小问1详解】
由题意得，，
数对的一对“对称数对”是与；
故答案为：，；
【小问2详解】
由题意得，
数对的一对“对称数对”为与，
数对的一对“对称数对”相同，
，
；
【小问3详解】
数对一个“对称数对”是，，
，或，，
，或，．
25. 如图，正方形的边长为4，连接对角线，点为边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等角对等边等知识，熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理是解题的关键．
（1）根据、正方形的性质推出，利用证明，即可证明；
（2）先推出，再根据勾股定理，求出正方形对角线长，再求出，得出答案即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵在正方形中，边长为，，
∴，，
，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴．
26. 如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒．
（1）当四边形是平行四边形时，求的值；
（2）当为多少秒时，四边形是矩形；
（3）在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出解出即可得出答案．
（2）由矩形的性质得出解出即可得出答案．
（3）由菱形的性质可求求出由勾股定理可求出答案．
【小问1详解】
当四边形是平行四边形时，
【小问2详解】
∵在梯形中，
∴当时，四边形是矩形，
∴当时，四边形是矩形．
【小问3详解】
如图，若四边形是菱形，则
在中，
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等，熟练运用方程的思想方法是解此题的关键．