山东省济宁市北湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．单选题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式被开方数是非负数判断．
【详解】解：A、，被开方数是负数，不是二次根式；
B、，被开方数是非负数，是二次根式；
C、，根指数是3，不是二次根式；
D、，根指数是3，不是二次根式；
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减、乘除法则计算进行判断即可．
【详解】解：A、、被开方数不同，不能合并，计算错误，不合题意；
B、，计算错误，不合题意；
C、，计算错误，不合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．
3. 使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件、分式的分母不能为零列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，
解得且．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式的分母不能为零，解题的关键是熟知二次根式具有非负性．
4. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为1，则一次项系数是（ ）
A. B. 5C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．经过移项把一元二次方程化为一般形式，令常数项为1，找出其一次项系数即可得到答案．
【详解】解：，
移项得：，
此时常数项为1，一次项系数为：，
故选：A．
5. 如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的判定，平行线的性质对每项判断即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
故项不符合题意；
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
故项不符合题意；
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
故项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
故项不符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）

A. 只有甲B. 甲和乙C. 甲和丙D. 丙和丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握利用配方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．本题逐步分析各位同学的方程变形即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙，
故选：C．
7. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，求出长是解题的关键．由正方形的性质可求的长，可得，由线段关系可求解．
【详解】解：正方形的边长为，
，
，
，
，
故选：．
8. 如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线．下列说法错误的是（ ）
A. 当时，四边形是菱形
B. 当时，四边形是菱形
C. 当时，四边形是矩形
D. 当平分时，四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到，，得到四边形是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；
【详解】解：∵在中，E、F分别为边、的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴四边形是矩形，故D选项正确不符合题意，
当时，得不到四边形是菱形，故A选项错误，符合题意，
当时，
，
∴四边形是菱形，故B选项正确不符合题意，
当时，
∵E为边的中点，
∴，
∴四边形是矩形，故C选项正确不符合题意，
故选：A．
9. 如图，已知正方形的边长为2，为边上一点，以为边在的上方作正方形．延长边交边于点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则线段的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质、矩形的判定、以及正方形与矩形面积公式等知识．设，则，矩形的面积为，正方形的面积为，由正方形与四边形的面积相等，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
四边形为矩形，
设，则，
正方形与四边形的面积相等，
，
解得：，（不合题意，舍去），
的长为，
故选：B．
10. 如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1），
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3，
∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是：
故选：C．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．
第Ⅱ卷（共70分）
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为_______.
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，被开方数中不含字母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，这样的二次根式称为最简二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，根据最简二次根式和根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，最简二次根式与是同类二次根式，
，
，
故答案：．
12. 当时，化简：______．
【答案】1-x##-x+1
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：当x<1时，x-1<0，
则==1-x．
故答案为：1-x．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是确定x-1的符号．
13. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解；将代入原方程，可得出且，即可求解．
【详解】将代入原方程，则且
∴.
故答案为：．
14. 定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到．
【详解】解：解方程得：，
∵，
∴，
故答案为：1．
15. 如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的序号有______．

【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，过点C作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，，推出，即可判断结论①；由，可判断结论②；利用勾股定理即可判断结论③；根据现有条件无法证明的值不变，即可判断④．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形的面积是定值，故①正确；
∵，
∴的值不变，故②正确；
∵，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明的值不变，故③错误，
故答案为：①②④．
三．解答题（共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂：
（1）先计算二次根式乘法，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
18. 如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明；
（2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案．
【小问1详解】
∵ 四边形 是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
∵ 四边形是菱形，
，，
，，
，
四边形的周长．
19. 如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
（1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
（2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【答案】（1）鸡场的长为15米，宽为10米
（2）不能
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意；
（2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设养鸡场宽为，根据题意得：
，
解得：，
当时，，
当时，，（舍去），
则养鸡场的宽是，长为．
【小问2详解】
解：设养鸡场宽为xm，根据题意得：
，
整理得：，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
20. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果，，，求这个一元二次方程的根．
【答案】（1）是等腰三角形；理由见解析
（2）直角三角形；理由见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状；
（2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案；
（3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
是方程的根，
，
，
，即，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
直角三角形；
【小问3详解】
解：将，，代入方程得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
21. 阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）的最大值为2，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值．
【小问1详解】
，
，
而，，
，
；
【小问2详解】
由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
22. 探究问题：
⑴方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
⑵方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）
．
【答案】⑴EAF、△EAF、GF；⑵DE+BF=EF；⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【解析】
【分析】（1）根据正方形性质填空；（2）假设∠BAD度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,结合正方形性质可得DE+BF=EF. ⑶根据题意可得，当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【详解】⑴EAF、△EAF、GF．
⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=．
即∠GAF=∠EAF
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF
∴DE+BF=EF．
⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
【点睛】正方形性质综合运用.