2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若以集合{a,b,c,d}的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
2.已知关于x的方程9x−a⋅3x+4=0有一个大于2lg32的实数根，则实数a的取值范围为( )
A. (0,5)B. (4,5)C. (4,+∞)D. (5,+∞)
3.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
4.若向量a=(1,−1,2)，b=(2,1,−3)，则|a+b|=( )
A. 7B. 2 2C. 3D. 10
5.执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[−2,2]，则输出的y值的取值范围是( )
A. y≤−52或y≥0B. −2≤y≤23
C. y≤−2或0≤y≤23D. y≤−2或y≥23
6.函数y=2x−1x+1(x>0)的值域为( )
A. (−,+∞)B. (−1,2)C. {y|y≠2}D. {y|y>2}
7.若点O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)(其中λ>0)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，已知当x∈[0,1]时，f(x)=2x−a，若f(x)=m|x−1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为( )
A. (16,14)∪[−12，−16]B. (18,14)∪[−12，16]
C. (16,14)∪{−16}D. (18,14)∪{−16}
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关回归分析的结论中，正确的有( )
A. 若回归方程为y =6−2.5x，则变量y与x负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心(x−,y−)
C. 若决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好
D. 若散点图中所有点都在直线y=0.92x−4.21上，则相关系数r=0.92
10.已知函数f(x)=sinxcsx，g(x)=sinx+csx，则( )
A. f(x)与g(x)均在(0,π4)单调递增
B. f(x)的图象可由g(x)的图象平移得到
C. f(x)图象的对称轴均为g(x)图象的对称轴
D. 函数y=f(x)+g(x)的最大值为12+ 2
11.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是( )
A. f(0)=0
B. 若f(x)在[2,5)上有最小值−1，则f(x)在(−5,−2]上有最大值1
C. 若f(x)在[2,+∞)上为增函数，则f(x)在(−∞,−5]上为减函数
D. 若x>5时，f(x)=5x2−2x，则x<−5时，f(x)=−5x2−2x
12.已知双曲线C的方程为：4y2−9x2=36，则下列结论正确的是( )
A. 实轴长为6B. 渐近线方程为y=±32x
C. 顶点坐标为(3,0)，(−3,0)D. 焦距为2 5
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知α是第三象限的角，若csα=−45，则tan(α+π4)=______．
14.在边长为4的等边△ABC中，BD=DC，AP=PD，则BP⋅AC= ______．
15.如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标.若在该坐标系xOy中a=(1,2)，b=(−2,1)，则a⋅b= ______．
16.在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4.若点D满足AD=−2DB，则|CD|=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
讨论函数f(x)=axx−1(a>0)在(−∞,1)上的单调性．
18.(本小题12分)
画出二次函数f(x)=−x2+2x+3的图像，并根据图像回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)求函数f(x)的值域．
19.(本小题12分)
不求值，判断下列各式的符号：
(1)tan138°−tan143°；
(2)tan(−13π4)−tan(−17π5).
20.(本小题12分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cs2A2=2b+2c− 3a4c．
(1)求角C的大小；
(2)若c=3，a>b，求 3a−b的取值范围．
21.(本小题12分)
设A={x|x2+ax−2=0}，B={x|x2−3x+b=0}，A∩B={1}，C={2,−4}．
(1)求a、b的值及A、B；
(2)求(A∪B)∩C−．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，根据图象：
(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间并将图象补充完整；
(2)写出函数f(x)，x∈R的解析式；
(3)若函数g(x)=f(x)−4ax+2，x∈[1,3]，求函数g(x)的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为集合中的元素是互异的，也是无序的，所以平行四边形的边长构成的集合只有2个元素；
菱形的边长构成的集合只有1个元素；矩形的边长构成的集合只有2个元素；
满足题意的可能是梯形．
故选：A．
利用集合中元素的互异性，直接判断选项多边形的边长构成的结合的元素个数即可得到结果．
本题考查集合中元素的特征互异性的应用，基本知识的考查．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．
令3x=t，因为x>2lg32=lg34⇒t>3lg34=4，转化为f(t)=t2−at+4有一个大于4的零点，结合二次函数的相关性质即可求解．
【解答】
解：令3x=t；
因为x>2lg32=lg34⇒t>3lg34=4；
即f(t)=t2−at+4有一个大于4的零点，
由函数解析式可知方程t2−at+4=0的两根之积为4，
则该方程必有两个正根，且另一个根一定在(0,4)之间，
因此，只要函数f(t)=t2−at+4满足条件f(4)<0即可，
即42−4a+4<0，得a>5．
故选：D．
3.【答案】A
【解析】解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y=0与l2：x+(a+1)y+4=0”
化为l1：x+2y=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；
如果“直线l1：ax+2y=0与l2：x+(a+1)y+4=0平行”
必有a(a+1)=2，解得a=1或a=−2，
所以“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与l2：x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件．
故选A．
利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．
本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵向量a=(1,−1,2)，b=(2,1,−3)，
∴a+b=(3,0,−1)，
∴|a+b|= 32+02+(−1)2= 10．
故选：D．
利用向量坐标运算法则求解a+b=(3,0,−1)，由此能求出|a+b|的值．
本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，属于基础题．
根据程序框图，分析程序的功能，结合输入自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=x+1x,x<0xx+1,x≥0的值．
如图：
若：−2≤x<0，则满足条件输出y=x+1x∈(−∞,−2]，
若：0≤x≤2，则不满足条件，此时y=xx+1∈[0,23]，
则：输出的y值的取值范围是y≤−2或0≤y≤23．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：y=2(x+1)−3x+1=2−3x+1．
∵x>0，
∴x+1>1，
∴0<1x+1<1，
∴−1<2−3x+1<2．
∴函数y=2x−1x+1(x>0)的值域为(−1,2)．
故选：B．
y=2(x+1)−3x+1=2−3x+1.由于x>0，可得x+1>1，0<1x+1<1，即可得出−1<2−3x+1<2．
本题考查了反比例函数的单调性、函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB|AB|,AC|AC|分别表示AB，AC方向上的单位向量
∴AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线一致，
∵OP=OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴AP=λ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴AP的方向与∠BAC的角平分线一致，
∴一定通过△ABC的内心．
故选：B．
确定AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线一致，从而可得AP的方向与∠BAC的角平分线一致，即可得到结论．
本题主要考查向量的线性运算和几何意义，考查三角形的内心，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：定义在R上的奇函数f(x)，满足f(1+x)=f(1−x)，则f(x)关于x=1对称，
f(0)=0，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−a，所以a=1，
y=m|x−1|关于x=1对称，f(x)=m|x−1|有6个根，
∴f(x)=m(x−1)在x∈(1,+∞)有三个根，
f(2+x)=f(−x)=−f(x)，函数的周期T=4，作出f(x)图象如图：
当m>0时，kAC点m<0时，m=kAD=−16，
∴m的取值范围(18,14)∪{−16}，
故选：D．
利用函数的奇偶性以及函数的对称性，推出函数的周期，结合函数的图象，函数零点个数，列出不等式求解即可．
本题考查函数与方程的应用，零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A：因为回归方程为y =6−2.5x，可知−2.5<0，所以变量y与x负相关，故A正确；
对于选项B：由线性回归方程的性质可知：回归直线一定经过样本点的中心(x−,y−)，故B正确；
对于选项C：决定系数R2的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，故C正确；
对于选项D：散点图中所有点都在直线y=0.92x−4.21上，则|r|=1，
且0.92>0，所以变量y与x正相关，即r>0，可知r=1，故D错误．
故选：ABC．
根据统计案例相关知识逐项分析判断．
本题主要考查回归方程和相关系数，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：f(x)=sinxcsx=12sin2x，g(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
选项A，由x∈(0,π4)知，2x∈(0,π2)，x+π4∈(π4,π2)，
又函数y=sinx在(0,π2)上单调递增，
所以f(x)与g(x)均在(0,π4)单调递增，即A正确；
选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，即B错误；
选项C，令2x=π2+k1π，k1∈Z，则x=π4+k1π2，k1∈Z，
所以f(x)图象的对称轴为x=π4+k1π2，k1∈Z，
令x+π4=π2+k2π，k2∈Z，则x=π4+k2π，k2∈Z，
所以g(x)图象的对称轴为x=π4+k2π，k2∈Z，
所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，即C错误；
选项D，f(x)max=12，g(x)max= 2，
而当x=π4时，f(x)max=12与g(x)max= 2可同时成立，
所以y=f(x)+g(x)的最大值为12+ 2，即D正确．
故选：AD．
利用二倍角公式化简可得f(x)=12sin2x，利用辅助角公式化简可得g(x)= 2sin(x+π4)，再结合正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由f(0)=−f(0)得f(0)=0，A正确；
在x∈[2,5)时，f(x)≥−1，且存在x0∈[2,5)使得f(x0)=−1，
则x∈(−5,−2]时，−x∈[2,5)，则f(−x)≥−1，
则f(x)=−f(−x)≤1，且当x=−x0有f(−x0)=1，
∴f(x)在(−5,−2]上有最大值1，故B正确；
若f(x)在[2,+∞)上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，
则f(x)在(−∞,−5]上为增函数，故C错误；
若x>5时，f(x)=5x2−2x，则x<−5时，−x>5，
则f(x)=−f(−x)=−(5(−x)2−2(−x))=−5x2−2x，故D正确．
故选：ABD．
根据奇函数的定义并取特值x=0即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得f(x)在(−5,−2]上有最大值，进而判定B；利用奇函数的单调性性质判定C；利用奇函数的定义根据x>5时的解析式求得x<−5时的解析式，进而判定D．
本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的判断，最值的求法，解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：由双曲线方程为：y29−x24=1，焦点在y轴，所以a=3,b=2,c= a2+b2= 13，
所以实轴长为2a=6，故A正确；
渐近线方程为y=±abx=±32x，故B正确；
顶点坐标为(0,3)，(0,−3)，故C错误；
焦距为2c=2 13，故D错误．
故选：AB．
根据双曲线方程求解出a，b，c，由双曲线的性质逐一判断．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
13.【答案】7
【解析】解：∵α是第三象限的角，若csα=−45，
∴sinα=−35，则tanα=34，
则tan(α+π4)=tanα+11−tanα=34+11−34=7，
故答案为：7
根据同角关系先求出tanα的值，结合两角和差的正切公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的正切公式是解决本题的关键．比较基础．
14.【答案】−2
【解析】解：∵BD=DC，AP=PD，△ABC的边长为4，
∴BP⋅AC=(BD+DP)⋅AC=(12BC+12DA)⋅AC=12BC⋅AC−12AD⋅AC
=12|BC||AC|csπ3−12|AD|AC|csπ3=12×4×4×12−12×2 3×4× 32=−2．
故答案为：−2．
根据已知条件，可得BP⋅AC=(BD+DP)⋅AC=(12BC+12DA)⋅AC=12BC⋅AC−12AD⋅AC，再结合向量的数量积公式，即可求解．
本题考查了向量的线性运算，以及向量的数量积运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
15.【答案】−32
【解析】解：在坐标系中，|e1|=|e2|=1，由于a=(1,2)，b=(−2,1)，
故a=e1+2e2，b=−2e1+e2，
所以a⋅b=(e1+2e2)⋅(−2e1+e2)=−2−3e1⋅e2+2=−3×1×1×12=−32．
故答案为：−32．
直接利用向量的坐标运算求出向量的数量积．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】10
【解析】解：由AD=−2DB可知B为AD的中点，如图，
在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4，
∴cs∠CBA=4 52=2 1313，
∴cs∠CBD=−2 1313．
在△CBD中，由余弦定理得：
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cs∠CBD
=42+( 52)2−2×4× 52×(−2 1313)=100．
∴CD=10．
即|CD|=10．
故答案为：10．
由题意作出图形，得到B为AD的中点，由已知条件求得∠CBD的余弦值，在△CBD中利用余弦定理得答案．
本题考查了平行向量与共线向量，考查了余弦定理的应用，是基础的计算题．
17.【答案】解：根据题意，设x1则f(x1)−f(x2)=ax1x1−1−ax2x2−1=a×x2−x1(x1−1)(x2−1)，
由于x10，a>0，
则f(x1)−f(x2)>0，
故f(x)在(−∞,1)上是减函数．
【解析】根据题意，由作差法分析可得结论．
本题考查函数单调性的判断，涉及作差法的应用，属于基础题．
18.【答案】解：f(x)=−(x−1)2+4的图像如图所示，
(1)f(0)=3，f(1)=4，f(3)=0，
所以f(1)>f(0)>f(3)．
(2)由图像可知二次函数f(x)的最大值为f(1)=4，
则函数f(x)的值域为(−∞,4]．
【解析】先画出函数的图象，由图象即可得到相应的答案即可分别求解(1)(2)．
本题考查二次函数图象的画法和识别，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为90°所以tan138°所以符号为负号；
(2)tan(−13π4)−tan(−17π5)=tan(−π4)−tan(−2π5)，
因为−π2而−π4>−2π5，可得tan(−π4)>tan(−2π5)，即tan(−π4)−tan(−2π5)>0，
所以tan(−13π4)−tan(−17π5)>0．
所以符号为正．
【解析】(1)由函数90°(2)由诱导公式可得−π2本题考查正切函数的单调性的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)∵cs2A2=2b+2c− 3a4c，
∴1+csA2=2b+2c− 3a4c，
∴csA=2b− 3a2c，
∵csA=b2+c2−a22bc，
∴b2+c2−a2=b(2b− 3a)，即c2=a2+b2− 3ab，
∴csC= 32，
∵0∴C=π6．
(2)∵由(1)可知，csinC=312=6，
∴ 3a−b=6 3sinA−sinB=6 3sinA−6sin(A+π6)=3 3sinA−3csA=6sin(A−π6)，
在锐角△ABC中，a>b，
则0∴π4∴3 2<6sin(A−π6)<3 3，
故 3a−b的取值范围为(3 2,3 3).
【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及余弦定理的公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，再结合角A的取值范围，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查看转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵A∩B={1}，故1∈A，1∈B，
∴1+a−2=0，1−3+b=0，解得a=1，b=2，
故A={x|x2+x−2=0}={−2,1}，B={x|x2−3x+2=0}={1,2}；
(2)A∪B={−2,1,2}，(A∪B)∩C−={−2,1}．
【解析】(1)根据A∩B={1}得到1∈A，1∈B，将x=1代入方程，求出a=1，b=2，从而求出A、B；
(2)求出A∪B={−2,1,2}，从而得到(A∪B)∩C−={−2,1}．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f(x)的图象，(2分)，
则f(x)的单调递增区间为(−1,0)，(1,+∞)；(5分)
(2)令x>0，则−x<0，∴f(−x)=x2−2x
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x)=f(−x)=x2−2x
∴解析式为f(x)=x2+2x,x≤0x2−2x,x>0(10分)
(3)g(x)=x2−2x−4ax+2，对称轴为x=2a+1，
当2a+1≤1时，g(1)=1−4a为最小；
当1<2a+1≤3时，g(2a+1)=−4a2−4a+1为最小；
当2a+1>3时，g(3)=5−12a为最小；
∴g(x)min=1−4a,a≤0−4a2−4a+1,0【解析】(1)根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f(x)的图象，由图象可得f(x)的单调递增区间；
(2)令x>0，则−x<0，根据条件可得f(−x)=x2−2x，利用函数f(x)是定义在R上的偶函数，可得f(x)=f(−x)=x2−2x，从而可得函数f(x)的解析式；
(3)先求出抛物线对称轴x=2a--1，然后分当2a+1≤1时，当1<2a+1≤2时，当2a+1>2时三种情况，根据二次函数的增减性解答．
本题考查函数图象的作法，考查函数解析式的确定与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．